發(fā)揮學(xué)生主體作用，助推學(xué)生深度學(xué)習(xí)

韓雪梅

目前，數(shù)學(xué)教學(xué)中依然存在著程序化、形式化、碎片化的淺層學(xué)習(xí)方式，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升和思維能力的發(fā)展.為了幫助學(xué)生獲得更好的學(xué)習(xí)效果，數(shù)學(xué)課堂上需要對數(shù)學(xué)知識的深度學(xué)習(xí)，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)層次，強化學(xué)生學(xué)習(xí)能力，建構(gòu)知識體系，讓學(xué)生獲得可持續(xù)學(xué)習(xí)能力，促進終身學(xué)習(xí)目標的達成＼.筆者以“等比數(shù)列的前n項和”教學(xué)為例，談?wù)勛约簩ι疃葘W(xué)習(xí)的一些認識，供參考.

1 教學(xué)過程

1.1 聯(lián)系舊知，明晰方向

問題1? 回顧已學(xué)的等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關(guān)知識，完成表1.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)知識，以期通過新舊知識的有機融合讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解更加系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣.

1.2 創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)引思

問題2? 為了讓全世界（約75億人）的人都能了解南京，南京某校欲開展“信息傳遞”活動.小明作為第1天的“傳遞官”需要將南京的人文歷史介紹給兩個人.第2天包括小明在內(nèi)就有3人知道信息了，兩名新的“傳遞官”將之前獲得的信息分別傳遞給兩個人，這樣第3天就有7人得知信息，以此類推，多少天后能夠?qū)崿F(xiàn)目標呢？請嘗試用數(shù)學(xué)語言表述.

問題給出后，學(xué)生積極思考，很快就有了發(fā)現(xiàn).

生1：第1天1人，第2天新增2人，第3天新增22人，第4天新增23人，……，第n天新增2n－1人，問題可以轉(zhuǎn)化為不等式問題，即求1+2+22+……+2n－1≥7.5×109.

師：分析得很有道理，不過這個不等式該如何求解呢？（學(xué)生陷入沉思）

師：64天后會有多少人知道呢？S64=1+2+22+23+……+263=？

問題給出后，讓學(xué)生分組探索求解方法.在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生給出了如下解法：

解法1：錯位相減.

S64=1+2+22+23+……+263，①

2S64=2+22+23+……+263+264.②

②－①，得S64=264－1.

解法2：猜測歸納.

S1=1=21－1，S2=3=22－1，S3=7=23－1，……，猜測S64=264－1.

解法3：內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析.

S64=1+2+22+23+…+263=1+2（1+2+22+23+…+262）=1+2S63，

所以S64=1+2（S64－263）.

故S64=264－1.

設(shè)計意圖：活動與體驗是發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.教學(xué)中，教師以貼近學(xué)生的生活情境為背景，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言去表述，用數(shù)學(xué)思維去思考，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力.在問題的解決過程中，教師沒有直接呈現(xiàn)問題分析和解決的過程，而是放手讓學(xué)生去思考、去合作，鼓勵學(xué)生從不同角度探尋解決問題的方法，以此提高思維活力，引發(fā)深度學(xué)習(xí)＼.

1.3 公式推導(dǎo)，揭示本質(zhì)

問題3? 如果將推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式轉(zhuǎn)化為一道數(shù)學(xué)題，可以怎樣轉(zhuǎn)化呢？

生2：已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比q（q≠1），記Sn=a1+a2+a3+……+an，求Sn=f（n）（n∈N*）的解析式.

問題4? 請結(jié)合探索“S64=1+2+22+……+263=？”的經(jīng)驗，求Sn=f（n）（n∈N*）的解析式.

問題給出后，預(yù)留充足的時間讓學(xué)生思考.通過積極思考與交流，學(xué)生給出了如下推導(dǎo)過程：

證法1：當q≠1時，? Sn=a1+a2+a3+……+an+0，③

qSn=0+a2+a3+……+an+an+1.④

③－④，得（1－q）Sn=a1－qan=a1－a1qn.

故Sn=a1－a1qn（1－q）（q≠1）.

證法2：當q≠1時，因為

Sn=a1+a2+a3+……+an=a1+q（a1+a2+a3+……+an－1）=a1+qSn－1，

所以Sn=a1+q（Sn－an）.

故Sn=a1－a1qn（1－q）（q≠1）.

問題5? 當q=1時，如何求等比數(shù)列的前n項和？請寫出等比數(shù)列的前n項和公式.

學(xué)生歸納總結(jié)，得到等比數(shù)列的前n項和公式：

Sn=f（n）=na1，q=1，a1（qn－1）q－1，q≠1.

設(shè)計意圖：公式推導(dǎo)是本節(jié)課的重難點內(nèi)容，是誘發(fā)深度思考的重要途徑.在本課教學(xué)中，教師一改往日以師為主的講授模式，引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作自主推導(dǎo)公式，以此通過經(jīng)歷公式推導(dǎo)的過程，理解公式的本質(zhì)屬性.在以上教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生用精準的數(shù)學(xué)形式進行問題的表征，用不同的方法證明，讓學(xué)生體驗了等比數(shù)列前n項和的本質(zhì)，為后期應(yīng)用打下了堅實的基礎(chǔ).同時，不同角度的證明方式，拓寬了學(xué)生的視野，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的進階.

1.4 公式應(yīng)用，提高能力

問題6? 回歸最初的問題2，按照以上傳遞方式，多少天后可以讓全世界的人認識人文薈萃的南京呢？

學(xué)生根據(jù)公式求解：2n－1≥7.5×109，所以n≥log2（7.5×109+1）≈32.8，故33天后可以完成.

問題解決后，教師又給出例題幫助學(xué)生鞏固強化，題目如下：

例1? 判斷下列各式中公式的使用是否正確？若不正確，請給出理由.

（1）1－2+4－8+……+（－2）n－1=1（1－2n）1－2；

（2）1+2+4+8+……+2n=1（1－2n）1－2；

（3）若c≠0，c≠1，則c2+c4+c6+……+c2n=c2［1－（c2）n］1－c2.

例2? 已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項為a1，公比為q，Sn為數(shù)列{an}的前n項的和.

（1）若a1=1，ak=243，q=3，求Sk；

（2）若q=12，n=6，Sn=1894，求an；

（3）若S3=72，S6=632，求an.

設(shè)計意圖：例題是課堂教學(xué)的重要組成部分，通過問題的解決既能達到鞏固強化的目的，又能幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗.教師設(shè)計以上題目旨在引導(dǎo)學(xué)生辨析公式的本質(zhì)屬性，加強公式理解的深度，進一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2 教學(xué)思考

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要打破傳統(tǒng)的“講授＋題海”，提供機會讓學(xué)生去思考、去探索、去交流，以此通過親身經(jīng)歷逐步培養(yǎng)“四基”、落實“四能”.為了實現(xiàn)這一目標，教師在教學(xué)設(shè)計中應(yīng)注意以下幾點：

2.1 重視突破重難點

公式的推導(dǎo)是本課教學(xué)的重點，也是難點.為了凸顯重點、突破難點，教師沒有直接將教材中的推導(dǎo)過程呈現(xiàn)給學(xué)生，而是讓學(xué)生結(jié)合已有的知識和能力尋找適合的推導(dǎo)方法，以此激發(fā)學(xué)生探究興趣，讓學(xué)生更加全面、深刻地理解公式.推導(dǎo)公式時，學(xué)生給出了3種不同的推導(dǎo)方案，獲得了對公式不同角度的理解，充分展示了思維的創(chuàng)新性，提高了自身的思維品質(zhì).

2.2 重視公式本質(zhì)的理解

數(shù)學(xué)公式具有高度的抽象性，教學(xué)中需要引導(dǎo)親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式抽象的過程，以此幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)公式的本質(zhì).本課教學(xué)中，教師將公式推導(dǎo)的主動權(quán)交給學(xué)生，學(xué)生得到了不同的推導(dǎo)方案，對數(shù)學(xué)公式獲得了本質(zhì)的理解.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要認真研究教學(xué)內(nèi)容，認真研究學(xué)生，結(jié)合教學(xué)實際創(chuàng)設(shè)有效的問題，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動下積極思考、積極合作，通過深度學(xué)習(xí)加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提升教學(xué)品質(zhì).

參考文獻：

[1]吳小兵.結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實踐探究＼.教學(xué)與管理，2020（10）：53-55.

[2]馬敬雄.以助力深度學(xué)習(xí)為目標的小組合作策略探究＼.新教師，2022（6）：53-54.