關注應用 提升素養

陳霞

基本不等式a+b2≥ab（a≥0，b≥0）是高考的一個重要考點，它在證明不等式與求函數最值中都有著重要的應用，它是一個值得深入研究的知識點.在基本不等式教學中，大多教師會從教學實際出發，設計符合學生認知的教學情境來激發學生探究的積極性，并提供時間和空間讓學生經歷公式的推導過程，以此讓學生理解和掌握基本不等式.不過，學生雖然理解并掌握了基本不等式，但是在具體應用中還是會出現“一錯再錯”或“無從入手”的情況.基于此，筆者從應用的角度出發，提出了幾點教學意見，僅供參考.

1 巧借錯誤，形成正確認識

為了讓學生能夠靈活應用基本不等式這一知識點解決問題，首先要讓學生形成正確的認識.在基本不等式的教學過程中，教師會重點強調“一正、二定、三相等”這一重要的適用條件，但是學生在具體應用中還是會發生遺忘，從而引發錯誤.為了減少或避免遺忘，教師不妨主動“示錯”，讓學生在“糾錯”的過程中形成正確的、深刻的認識，以此提高解題準確率.

案例1? 判斷以下題目的解答過程是否正確？若有錯誤，請寫出糾正過程.

（1）已知x，y都是正數，且x+2y=1，求1x+1y的最小值.

解：由x+2y=1，得1x+1y=（x+2y）1x+1y≥2x·2y＼521x·1y=42.

故1x+1y的最小值為42.

（2）設y=x2+2x+5+1x2+2x+5，求函數的最小值.

解：因為x2+2x+5>0，則由基本不等式可得y≥2，所以函數的最小值為2.

問題給出后，讓學生獨立糾錯，教師巡視，并進行個別點撥，然后呈現學生的糾錯過程.

師：誰來說一說，問題（1）的解題過程正確嗎？為什么？

生1：問題（1）的解答是錯誤的，在應用基本不等式解決問題時，忽視了“相等”這一條件.若想讓等號成立，則需x=2y和x=y同時成立，顯然這是不可能的，所以該解法是錯誤的.

師：分析得非常好！你是如何求解的呢？

生1：由x+2y=1，得1x+1y=（x+2y）1x+1y=1+2yx+xy+2=3+2yx+xy≥3+2yx·xy=3+22，

當且僅當2yx=xy時，等號成立.

又x+2y=1，解得x=2－1，y=1－22.

所以，當x=2－1，y=1－22時，1x+1y取最小值，最小值為3+22.

生1的解題過程給出后，教師讓學生點評，以此進一步深化對基本不等式的理解.學生理解并掌握問題（1）后，再繼續呈現問題（2）的分析過程.

師：誰來說一說問題（2）？

生2：問題（2）的解題過程也是錯的，與問題（1）的錯誤本質是相同的，也是忽視了基本不等式的取等條件.要想取得最小值2，當且僅當x2+2x+5=1x2+2x+5，顯然該等式不成立，所以問題（2）的解題過程是錯誤的.

師：具體說一說，你是如何求解的.

生2：我是利用函數單調性來求解的.令u=x2+2x+5（u≥4），則函數f（u）=u+1u.若u1>u2≥4，則f（u1）－f（u2）=（u1－u2）1－1u1u2>0，可見f（u）在［4，+∞）上單調遞增，因此當u=4時取最小值，其最小值為4+14=174，此時x=－1.所以，當x=－1時，函數取最小值，最小值為174.

師：很好，運用基本不等式時一定要注意等號成立的條件.雖然利用基本不等式求最值是一種重要的解題方法，但是這并不代表所有的求最值問題都可以用基本不等式來求解.解題時切勿盲目套用，要充分考慮公式的適用條件.

在實際教學中，有些易錯點、重難點，教師是反復講、重復練，但是解題效果依然難以達到預期.基于此，教師不妨主動呈現錯誤，讓學生在錯誤中思考，在思考中深化，以此有效規避或減少錯誤的發生，培養學生的批判性思維能力.

2 巧借應用，促進知識深化

基本不等式在函數、不等式中有著重要的應用，是高考中極其重要的知識點.引導學生運用所學知識解決問題是數學教學的落腳點，也是提高學生學習能力，發展學生數學素養的必經之路.基本不等式的用法比較靈活，教師有必要引導學生從不同角度出發，思考不同的解決方法，讓學生學會順用、逆用、靈活用，以此提高學生解決問題的能力.另外，教學中，教師應重視呈現學生的思維過程，以此通過對比分析發現不同解決的策略，提高學生數學應用水平.

案例2? 已知a+b=1，且a＞0，b＞0，求證：1a+1b≥4.

分析：本題若直接從結論出發，很難看到基本不等式的“身影”，因為在條件“a+b=1”的作用下，基本不等式被隱藏了起來，學生對“a+b=1”這一條件的處理直接影響著解題效果.本題求解時，不妨將“1”化身為“a+b”，由此可見基本不等式的“真面目”，從而順利地解決問題.

解題時，讓學生獨立解決，并鼓勵學生應用不同的方法證明.現將學生的證法總結如下：

證法一：因為a＞0，b＞0，所以a+b≥2ab（當a=b時取等號），1a+1b≥21ab（當a=b時取等號）.

兩式相乘，得（a+b）1a+1b≥4ab·1ab=4.又a+b=1，所以1a+1b≥4.

證法二：因為a+b=1，所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+4=4（當a=b時取等號）.

教師呈現學生的解題過程，并讓學生進行歸納整理，然后給出如下變式問題.

變式1? 已知a+b=1，且a＞0，b＞0.求證：（2a+b）（a+2b）≤92.

變式2? 已知a+b=1，且a＞0，b＞0.求證：a+12+b+12≤2.

變式3? 已知a+b=1，且a＞0，b＞0.求證：（a+2）2+（b+2）2≥252.

在日常教學中，適度地運用變式訓練，不僅可以幫助學生鞏固知識、強化技能，而且可以凸顯問題的本質，提升學生舉一反三的能力.其實，基本不等式中蘊含著豐富的數學思想方法，如逆向思維、轉化與化歸、數形結合等.在日常教學中，教師應創造機會讓學生總結歸納，以此感悟思想、提煉方法，提高學生的思維品質，提升學生解題能力.

3 聯系實際，促進知識升華

在課堂教學中，教師應提供機會讓學生利用所學知識去解決實際問題，以此激發學生學習的動機，提高學生學習興趣.“學以致用”既是數學教學的出發點，也是數學教學的落腳點，教學中要引入一些學生熟悉的、感興趣的生活實例，以此引發學生情感共鳴，激發學生學習積極性.

案例3? 小明和小剛每個月都會相約到一家超市購買兩次大米，他們采用了不同的購買方式，小剛每次購買10 kg大米，小明每次購買10元大米.假設大米的價格是有波動的，第一次購買時的價格為x元/kg，第二次購買時的價格為y元/kg，試問以上兩種購買方式，哪種更劃算？

分析：要想知道哪種購買方式更劃算，其實就是要算出兩次購買大米的均價.根據已知，小剛購買大米的均價為x+y2元/kg，小明購買大米的均價為2xyx+y元/kg.接下來利用基本不等式知識探討，發現小明購買大米的方式劃算.

這樣從學生熟悉的生活情境出發，不僅可以調動學生參與的積極性，而且可以培養學生的應用意識.其實，生活中有許多關于最值問題都可以應用基本不等式來解決，教師要合理引入，以此讓學生全面、系統地理解基本不等式.