合作交流 讓“教”與“學”更有效

周國維

合作交流是課堂教學的一種重要教學形式，旨在通過師生和生生的有效互動讓學生更好地理解知識，理解數學，激發學生數學學習興趣.高中數學知識是抽象且復雜的，許多內容對思維要求較高，而學生的理解能力有限，這樣學生在個別知識點的理解上難免會出現思維障礙，如果教學中教師能夠為學生提供一個平等的、民主的學習環境，學生就可以積極表達自己的意見和見解.這樣通過師生和生生的有效互動和交流，教師可以更好地了解學生、幫助學生，而學生的創造力同樣會給教師的教學提供有效的補充，從而實現教學相長.下面筆者呈現兩個具體案例，供大家商榷.

1 案例呈現

案例1? 在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，若sin A=3sin Ccos B，且c=2，則△ABC面積的最大值為.

案例1是一道期末考試試題，從試卷反饋來看，該題的得分率不高，為了找到問題的癥結，教師重點呈現學生的思維過程，并通過深度交流引領學生找到解決問題的方法.

師：對于案例1，誰來說一說怎么解？

生1：因為sin A=3sin Ccos B，由正弦定理得a=3ccos B，又cos B=a2+c2－b22ac，所以可得a2+3c2－3b2=0.又c=2，則a2+12=3b2.已知條件都用了，只能推導到這步，接下來就不知道該如何繼續了.

師：很好，充分應用了正弦定理和余弦定理的變形得到a2+12=3b2，雖然沒有得到最終結果，但是也展示了很強的推理能力.現在我們順著生1的思路想一想，看看結合三角形面積公式，能不能找到解決問題的突破口？

問題給出后，學生積極演算.幾分鐘后，學生開始主動交流討論起來，很快就有學生有了解決方案.

生2：由三角形的面積公式得S△ABC=12acsin B=asin B.又由a2+12=3b2，很容易聯想到cos B=a2+4－b24a=b2－42a.

所以，可得sin B=1－cos2B=1－b2－42a2=36－（b2－10）24a2，S△ABC=12acsin B=asin B=1236－（b2－10）2≤3，當b=10時，等號成立，所以三角形面積的最大值是3.

師：很好，為生2超強的計算能力點贊.你們還有其他的演算方法嗎？

生3：由sin A=3sin Ccos B及正弦定理，得a=3ccos B.將c=2代入，得a=6cos B，則cos B=a6，sin B=1－a62=36－a26，S△ABC=12acsin B=asin B=a·36－a26=16a2（36－a2）≤16·a2+（36－a2）2=3，當且僅當a2=36－a2，即a=32時，等號成立，所以三角形面積的最大值是3.

生3的解題過程給出后，大家的眼前一亮，兩人的計算結果一致，但是生3的運算量卻明顯減少了.此時，同學們認為已經找到了最優的解決方法.正當教師想對該方法進行總結歸納，然后結束該題的探究時，又有一位學生有了新的發現.

生4：得到a=6cos B后，可以直接將這個結果代入到三角形面積公式中，于是有S△ABC=12acsin B=asin B=6sin Bcos B=3sin 2B.由于sin 2B≤1，所以S△ABC≤3（當sin 2B=1，即B=45°時，等號成立），所以該三角形面積的最大值為3.

生4的答案給出后，教室里響起了熱烈的掌聲.

師：這個解法太簡捷了！避免了復雜的運算，大大地提升了計算效率.

師：對比以上解題過程，請大家思考一下，這些解題過程的本質是什么？

教師的話音剛落，學生積極交流起來.隨后，教師點名讓學生呈現交流結果.

生5：前面兩種方法的本質是將角化邊，而生4所采用的辦法是將邊變成角，運用整體代換的思想方法，大大地減少了運算量.

師：總結得很好，今后在解三角形的問題時，既要考慮到角化邊，也不能忽視邊化角，學會從不同角度分析，這樣往往可以達到優化解題過程，提高解題效率的效果.

案例2? 在平面幾何中有如下結論：若正三角形的內切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則S1S2=14.那么若將該結論推廣至空間幾何體中，可以得到類似的結論：若正四面體內切球的體積為V1，外接球的體積為V2，則V1V2=.

該題是一道類比推理題，學生通過類比猜想直接猜出答案，教師點名讓得到錯誤結果的學生給出答案.

生1：我猜想答案應該是18.（部分學生點頭表示贊成生1的答案.）

師：請具體說一說你的想法.

生1：正三角形內切圓和外接圓的面積比為S1S2=14=122，猜想體積比應該是V1V2=123=18.

師：哦，按照你的思路，也就是說內接球和外接球的半徑之比是12，這個結論是否成立呢？

為了驗證結論，學生開始演算，并與同桌交流，很快就有學生提出了反對意見，并給出了自己的結論.

生2：如圖1，在正四面體ABCD中，過點A作AH⊥平面BCD，垂足為H，則H為正三角形BCD的中心.連接BH并延長，交CD于點E，則E為CD邊的中點.連接AE，設點O是正四面體ABCD的內切球球心，易證點O在AH上，則OH是內切球半徑，OA，OB為外接球半徑.設正四面體ABCD的棱長為a，根據勾股定理易得正四面體ABCD的內切球半徑為612a，外接球半徑為64a，則內切球與外接球的半徑之比為13，所以它們的體積比為127.

生1的推理過程給出后，教師沒有急于評價，而是鼓勵學生按照生1的思路驗算，大家順利求解后，教師又鼓勵學生尋找其他解決問題的方法.

生2：生1的解法很好，不過該題只需求出內切球和外接球的半徑之比，所以該解法可以進一步優化.

師：具體說一說你的想法.

生2：我是根據以前的解題經驗推理的，以前在研究正四面體的問題時曾經將其放在正方體中研究，受此啟發，得到了圖2.

設正方體的體對角線EC與平面ABD交于點F，正方體的中心為O，則O既是體對角線EC的中點，也是正四面體ABCD內切球和外接球的球心，OF為內切球的半徑（易證），OC為外接球的半徑，且OC=12EC.又EF=13EC（曾經證明過），所以OF=12EC－13EC=16EC.于是OFOC=13，從而得到V1V2=127.

師：說得非常好！充分應用學過的知識和方法，不僅提升了解題速度，而且優化了運算過程.

生3：我感覺還可以這樣解.如圖3，在正四面體ABCD中，O是正四面體的中心，AH是正四面體的高，H是點A在底面BCD上的射影，OH為內切球半徑.連接OA，OB，OC，OD，這樣正四面體被分割成四個全等的小四面體，OA為外接球半徑，VA-BCD=4VO-BCD，即13S△BCD×AH=4×13S△BCD×OH，所以OHAH=14，OHOA=13，V1V2=133=127.

師：這個方法太好了，你是怎么想到的呢？

生3：其實我是受生2的啟發，他應用的是割補法中的“補”，我就想嘗試一下割補法中的“割”，于是得到了以上解法.

師：很好，生3的解法非常簡單，運算量也特別小.你們個個都是神童.

師：回顧上述解題過程，你有什么感悟呢？

學生們紛紛感嘆割補法的魅力.

師：對于割補法大家并不陌生，在初中平面幾何中就應用過，現在將其遷移至立體幾何中，其威力同樣不可小覷.數學學習其本質就是一種遷移，在學習中要多思考、多嘗試，這樣往往會有意外的驚喜.

2 教學思考

2.1 順勢而為，發掘學生智慧

不同學生的學習能力、思考習慣、知識水平、解題經驗等有所不同，因此在遇到新的問題時，他們往往也會給出不同的解題思路.教學中，教師要尊重“不同”，并鼓勵學生合作交流，這樣不僅可以豐富學生的已有知識和已有經驗，而且通過有效的對比分析可以發現非常好的解題方法.

2.2 注重交流，實現教學相長

課堂是師生互動交流的主要場所，課堂教學是動態變化的.教學中，教師既要做好充分的預設，也要及時捕捉各種課堂資源，充分發揮個體思維差異的優勢，實現教學相長.對于教師而言，教學經驗既是寶貴的財富，也是制約思維發展的枷鎖，在慣性思維的影響下容易陷入程序化的解題過程，這樣可能難以發現最優的解題方案.因此，教學中教師不僅要鼓勵生生交流，也要進行師生交流，從而通過有效的交流相互啟發，取長補短，實現教學相長.

總之，在日常教學中，教師應將教學的重心放在促進學生學會學習上，改變傳統“以師為主”的講授模式，積極探索多樣化的教學方式，帶領學生走上會學之路.