輔助角公式的蛻變之旅
——基于一道教材例題的探究

吳志玲

? 江蘇省宜興巿丁蜀高級中學

輔助角公式是歷年高考的一個基本考點與命題熱點,是三角恒等變換及其相關應用過程中一個非常重要且基本的技巧方法.借助三角函數關系式的恒等變形與轉化,巧妙利用輔助角公式將復雜的三角函數問題化為簡單的三角函數問題,綜合應用正弦型或余弦型函數的圖象與性質實現問題的突破與解決.而輔助角公式源于高中數學教材,教材中又沒有明確給出對應的公式,因此要合理加以歸納總結,便于綜合應用.

1 源于教材

例題〔人教A版《數學(必修第一冊)》“5.5三角恒等變換”中第227頁例9〕求下列函數的周期,最大值和最小值:

2 公式展現

以上例題的處理方式就是逆用和(差)角公式,將y=asinx+bcosx(ab≠0)轉化為正弦型函數y=Asin(x+φ)的形式,利用三角函數的圖象與性質來分析與轉化.

這就是三角函數中的輔助角公式:

輔助角公式在現行教材中沒有明確說明,形如“asinx+bcosx”的三角式子是高考中經常出現的一類三角函數結構式,其實際應用非常廣泛、多變.

3 高考鏈接

一般對形如y=asinx+bcosx(ab≠0)或y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x(abc≠0)的三角函數式的化簡、求值以及變換問題,往往都需要借助三角函數的輔助角公式,巧妙將兩項或三項合為一項,再利用三角函數的圖象與性質等知識來分析與處理.特別在近年高考中,輔助角公式的應用也是非常常見的一類應用技巧與方法.

3.1 判斷性問題

A.tan(α+β)=1 B.tan(α+β)=-1

C.tan(α-β)=1 D.tan(α-β)=-1

解析：由題中條件,利用輔助角公式可得

故選擇答案:D.

點評：根據題設條件,結合三角函數式的結構特征,綜合整體思想,借助輔助角公式、兩角和與差公式等的靈活應用,對相應的三角關系式進行化簡與變形,進而求得對應角的關系式的值,再進行三角函數求值與判斷.靈活應用三角恒等變換公式,結合角的關系式的整體思維來應用,是問題解決的關鍵.

3.2 求值問題

點評：根據題設條件,結合誘導公式的應用以及等式的恒等變形,利用三角函數的輔助角公式加以轉化與應用,確定對應的角的值,并利用三角函數的誘導公式來分析與求解.化為同角,輔助角引入,由三角函數值求角,綜合誘導公式應用,也是三角函數求值的一種常用技巧方法.

3.3 求角問題

解析：由B=150°,得A+C=180°-B=30°.

而0°

點評：在三角函數的求角過程中,經常利用三角恒等變換公式來建立一些相關的三角函數關系式,而其中輔助角公式也是一個非常常見的工具,在三角函數與求角之間,構建合理且巧妙的橋梁.特別地在具體求角的大小或關系時,要注意相關角的取值范圍的限制,不能盲目求解,容易產生錯解.

3.4 值域問題

故選擇答案:C.

點評：解決簡單一次型三角函數的最值問題,借助三角函數的有界性,可以直接轉化為閉區間[-1,1]上的一次函數的最值問題.根據題目條件,運用三角公式合理變形轉化,巧妙轉化為正弦型(或余弦型)函數是破解此類問題的關鍵所在.

3.5 開放性問題

高考真題5(2020年高考數學北京卷·14)若函數f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2,則常數φ的一個取值為______.

點評：涉及三角函數的最大值問題,直接聯想到正弦型或余弦型函數的圖象與性質,而通過三角恒等變換公式,并借助輔助角公式來轉化是破解的常見思維.此方法常規,也是破解此類問題第一時間想到的.

4 教學啟示

4.1 回歸教材,高于教材

正確回歸教材,挖掘教材中涉及輔助角公式的例(習)題的應用.輔助角公式在教材中雖未以公式的形式出現,但其應用廣泛,常用它對三角函數關系式進行等價變形與轉化,處理三角函數的圖象與性質、三角恒等變換和解三角形等問題.

在平時數學教學與學習過程中,在充分利用教材的同時,要合理歸納,源于教材又要高于教材,正確總結性質與規律,以方便更進一步的綜合與應用.

4.2 歸納類型,綜合應用

涉及輔助角公式的應用問題,關鍵是構造相關的主角,利用輔助角公式,構建與之對應的三角函數關系式是目的,由此解決一些相關三角函數的判斷、求值、求角、最值或取值范圍以及開放性應用等問題.其應用廣泛,在歷屆高考中也頻頻出現,倍受命題者青睞,因此在平時教學與學習過程中應予以高度重視.