問題驅(qū)動教學(xué),環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)*
——以“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”學(xué)歷案為例

戴 鋒 劉靜銳

? 江蘇省口岸中學(xué) ? 江蘇省泰州市口岸小學(xué)

新課程改革要求高中數(shù)學(xué)課程注重對學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗的培養(yǎng),提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.學(xué)歷案較以往的教案、學(xué)案、導(dǎo)學(xué)案等教學(xué)方式,更加注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中知識的理解、能力的提升與核心素養(yǎng)的培養(yǎng),注重“需求、目標(biāo)、內(nèi)容、實話、評價、反思”等要素一致,優(yōu)化了教育教學(xué)理念,拓展了學(xué)習(xí)思維與能力.下面以筆者“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”這節(jié)課為例,對這一單元的學(xué)歷案的教學(xué)過程和評價過程設(shè)計加以展示與剖析.

1 合理問題驅(qū)動,設(shè)計教學(xué)過程

1.1 創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

問題1教材(人教A版)在“2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”中提出:我們把使ax2+bx+c=0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn).一元二次方程ax2+bx+c=0的根,就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn),也就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).那么更一般情況,又是怎樣的?

(1)概念引入

對于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

(2)概念理解

探究1方程視角.對于不能用公式求解的方程f(x)=0,可以通過分析函數(shù)y=f(x)的圖象和性質(zhì)得到零點(diǎn)的信息,進(jìn)而得到方程的解.

方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間的聯(lián)系如圖1所示:

圖1

圖2

探究2圖象視角.如圖2,觀察函數(shù)y=f(x)的圖象,y=f(x)有幾個零點(diǎn)?零點(diǎn)分別在哪個區(qū)間?零點(diǎn)附近,圖象特征如何?

探究3函數(shù)值視角.圖2中函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)附近函數(shù)值有何規(guī)律?

師生活動:學(xué)生認(rèn)真思考、觀察,得到函數(shù)f(x)的圖象與x軸不僅僅是有公共點(diǎn),更重要的是穿過了x軸;教師利用幾何畫板展示動態(tài)圖象,凸顯函數(shù)的取值規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生把“圖象穿過x軸”這種形狀特征用“f(a)·f(b)<0”這種數(shù)值規(guī)律表達(dá)出來.

設(shè)計意圖：探究1類比一元二次函數(shù)的零點(diǎn)得出一般函數(shù)的零點(diǎn)及其相關(guān)結(jié)論,從具體到抽象的過程學(xué)生是容易接受的,沒有必要作特別的解釋;探究2給出了一個學(xué)生相對陌生且復(fù)雜的圖象,突出考查學(xué)生對零點(diǎn)的理解,圖象三次穿過x軸更容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖象的本質(zhì)特征,拓寬了學(xué)生對函數(shù)圖象的認(rèn)識,為后續(xù)自主畫出各類函數(shù)圖象并進(jìn)行研究作鋪墊;探究3有一定的難度,實際上這是一個數(shù)形結(jié)合、將形轉(zhuǎn)化成數(shù)的過程,因此教師給出的動態(tài)圖象有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)與探索.

1.2 抽象概念,內(nèi)涵辨析

根據(jù)上述探究,抽象出函數(shù)零點(diǎn)存在定理,如表1.

表1

問題2(1)你能通過作圖直觀說明零點(diǎn)存在定理嗎?為什么結(jié)論是“至少有一個零點(diǎn)”?

(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理證明方程x3+x-3=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)有解.

(3)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理說明方程lnx+2x-6=0有解,并給出解的一個存在區(qū)間.

(4)小結(jié):如何利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理證明方程有解?

師生活動:在問題1的基礎(chǔ)上,教師直接給出函數(shù)零點(diǎn)存在定理,沒有嚴(yán)格證明,僅要求學(xué)生作直觀上的認(rèn)同即可.問題2(2)(3),學(xué)生獨(dú)立完成并展示,教師點(diǎn)評指出不足,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)定理的使用方法.

設(shè)計意圖：鼓勵學(xué)生自主作出函數(shù)圖象,理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理,即函數(shù)圖象穿過x軸,由于穿過x軸的次數(shù)是不確定的,因此零點(diǎn)的個數(shù)也不確定.問題(2)屬于定理的直接應(yīng)用;問題(3)則要求學(xué)生自主取點(diǎn)求值,找到兩個函數(shù)值異號的點(diǎn)才能應(yīng)用定理;問題(4)進(jìn)一步明確利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷方程有解的步驟.

問題3(教材第155頁習(xí)題4.5第2題)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有如下對應(yīng)數(shù)表(表2):

表2

問:函數(shù)y=f(x)在哪幾個區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)?為什么?

探究1因為f(1)f(4)>0,f(1)f(2)>0,那么是否可以說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,4),(1,2)內(nèi)沒有零點(diǎn)?你能畫出y=f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)的圖象并作出直觀解釋嗎?

探究2根據(jù)上面的分析,“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)”的什么條件?

探究3能確定函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)嗎?若要確定零點(diǎn)的個數(shù),還需要知道什么?

師生活動:學(xué)生獨(dú)立思考并板書展示,教師結(jié)合學(xué)生作答補(bǔ)充完善.

設(shè)計意圖：進(jìn)一步挖掘教材習(xí)題的價值,在學(xué)生自主分析、作圖、判斷的前提下,提醒學(xué)生注意,函數(shù)零點(diǎn)存在定理只是給出了函數(shù)有零點(diǎn)的一個充分不必要條件,利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理可以證明函數(shù)有零點(diǎn),但不能判定函數(shù)無零點(diǎn)或零點(diǎn)的個數(shù).如果要判斷零點(diǎn)的個數(shù),還要與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,為問題4的解決做鋪墊.

1.3 例題練習(xí),鞏固理解

問題4(教材第143頁例1)求方程lnx+2x-6=0的實數(shù)解的個數(shù).

追問:討論方程lnx=6-2x解的個數(shù)與分布情況.

師生活動:學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論,教師展示學(xué)生答案并引導(dǎo)學(xué)生得出判斷簡單函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的一般方法,并得出函數(shù)零點(diǎn)存在定理在單調(diào)基礎(chǔ)上的推論——如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn).

設(shè)計意圖：追問中,學(xué)生容易將方程lnx=6-2x的解轉(zhuǎn)化為方程lnx+2x-6=0解,即和問題4一致.除此之外,教師也可引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度分析,y=lnx,y=6-2x都是基本初等函數(shù),其圖象學(xué)生已經(jīng)掌握,方程lnx=6-2x的解也是函數(shù)y=lnx與y=6-2x圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo),通過畫圖,很直觀就能觀察得到公共點(diǎn)的個數(shù)和橫坐標(biāo)的范圍,進(jìn)一步拓展數(shù)形結(jié)合思想.

2 檢測學(xué)習(xí)成果,落實評價任務(wù)

問題5總結(jié):談?wù)勀銓夥匠谭椒ǖ恼J(rèn)識和對函數(shù)零點(diǎn)存在定理的理解.

學(xué)生一起歸納總結(jié),形成知識體系(如圖3).

圖3

練習(xí)(1)(教材第155頁習(xí)題4.5第3題)略.

(2)求方程x3+x-3= 0實數(shù)解的個數(shù).

設(shè)計意圖：進(jìn)一步鞏固函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,形成知識的應(yīng)用遷移.

3 學(xué)后反思,發(fā)展核心素養(yǎng)

3.1 過程展示,暴露思維

通過一系列問題的巧妙設(shè)置,借助學(xué)歷案的合理設(shè)計,從概念的引入到定理的給出、理解與應(yīng)用等展示這節(jié)課的整個過程,充分暴露學(xué)生數(shù)學(xué)思維中的一些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),克服難點(diǎn),進(jìn)一步有效理解定理.其實,函數(shù)零點(diǎn)存在定理只是給出了函數(shù)有零點(diǎn)的一個充分不必要條件,“連續(xù)不異號”不能判定該函數(shù)是否有零點(diǎn),另外零點(diǎn)存在定理也不能判定零點(diǎn)的個數(shù),這些都是學(xué)生容易混淆的地方.

3.2 思想引領(lǐng),關(guān)注主體

基于學(xué)歷案的教學(xué)設(shè)計,是通過數(shù)學(xué)思想方法與任務(wù)驅(qū)動引領(lǐng)課堂.在實際課堂教學(xué)中,以問題驅(qū)動教學(xué),通過合理的設(shè)問、追問等方式,問題設(shè)置層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣,清晰、準(zhǔn)確地把握學(xué)生的思維狀態(tài),把課堂還給學(xué)生,關(guān)注學(xué)生的主體地位,真正做到了將以學(xué)生為本、問題引導(dǎo)、任務(wù)驅(qū)動的理念貫穿堂課始末.