基于“創(chuàng)造性使用教材”的創(chuàng)新性教學(xué)設(shè)計
——透過“等差數(shù)列的前n項和公式”的視點

林澤華 李孝誠

? 山東省煙臺市福山區(qū)崇文中學(xué) ? 山東省蘇州科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

1 問題提出

自高中新課改實施以來,教材使用的觀點已不再是傳統(tǒng)的“教教材”,而是轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝媒滩慕獭?這對教師解讀教材的能力提出了更高的要求[1].《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中突出強調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng),教材的編寫和排版也做出了相應(yīng)的調(diào)整,其內(nèi)容的設(shè)計也更加科學(xué)合理.然而,這也導(dǎo)致了在教學(xué)活動中教師過分依賴教材,不敢對教材進行延伸[2].“用教材教”無疑能夠達到課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求,但是只用教材去教學(xué)生,照搬他人的想法去實施教學(xué),有時并不能適應(yīng)真實的課堂教學(xué),而是僅僅達成了教材編寫者的設(shè)計意圖.學(xué)生對于知識的探索只停留在課本表面,并沒有深入數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),其思維能力和推理能力也缺乏相應(yīng)的鍛煉.

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為“數(shù)學(xué)是一種人類活動”,并提倡以“再創(chuàng)造”原則進行數(shù)學(xué)教學(xué),即學(xué)生要參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,重新創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學(xué)知識.這種再創(chuàng)造需要教師精心設(shè)計,而不是引導(dǎo)學(xué)生機械地學(xué)習(xí)教材中所呈現(xiàn)的有關(guān)歷史發(fā)現(xiàn).因此,對于教材的使用要更加注重創(chuàng)新,不能局限于教材編寫的內(nèi)容,要結(jié)合實際情況創(chuàng)造性地使用教材.筆者以“等差數(shù)列的前n項和公式”為例,選取2019年新人教A版教材,基于教材內(nèi)容進行創(chuàng)新性教學(xué)設(shè)計,剖析在具體教學(xué)過程中僅依賴教材教的現(xiàn)象,提出使用教材的反思與改進策略.

2 教材內(nèi)容分析

2.1 設(shè)計意圖

教材以數(shù)學(xué)家高斯的算法作為導(dǎo)入,從數(shù)學(xué)史開篇,這樣學(xué)生會對等差數(shù)列前n項和公式的探索產(chǎn)生興趣,有利于學(xué)生對該公式的探究.在推導(dǎo)過程中,引導(dǎo)學(xué)生感受從特殊到一般的研究方法,開發(fā)理性思維品質(zhì),最終學(xué)生通過自主探究得出等差數(shù)列前n項和公式的一般形式.這樣設(shè)計的主要目的是期望在增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)信心的同時,培養(yǎng)學(xué)生積極探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣[3].

2.2 存在的缺陷

如果僅僅借助教材中數(shù)學(xué)家高斯的算法進行導(dǎo)入而不加以創(chuàng)新,難免會存在幾點缺陷:一是高斯的首尾相加法僅僅是高斯的想法,不是學(xué)生想出來的,是強加給學(xué)生的,同時也失去了“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)的意義.二是從高斯的算法到倒序相加法的過渡,對于學(xué)生來說比較難以理解,如果處理不好就會造成灌輸式教學(xué).在此過程中,教師也僅僅只是完成了教學(xué)任務(wù),學(xué)生的思維并沒有得到實效性的鍛煉.三是學(xué)生對等差數(shù)列前n項和公式的理解僅僅停留在表面,并沒有深入實質(zhì),容易導(dǎo)致死記公式現(xiàn)象的發(fā)生.

3 創(chuàng)新性教學(xué)的課例分析

為落實和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),就需要創(chuàng)造性地使用教材,進行創(chuàng)新性教學(xué)設(shè)計.創(chuàng)造性地使用教材要求教師在充分了解數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上,以教材為載體,靈活有效地組織教學(xué),拓展課堂教學(xué)空間.

定理、公式的教學(xué)要充分暴露思維過程,包括問題的提出過程、問題的求解與探索過程以及證明思路的形成過程三方面,因此,定理與公式的教學(xué)可以通過歸納推理、類比推理、直覺思維活動等合情猜測數(shù)學(xué)結(jié)論[4].華羅庚教授曾指出“數(shù)缺形時少直覺,形缺數(shù)時難入微”[5].利用圖形的直觀誘發(fā)直覺思維活動即是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).以“等差數(shù)列的前n項和公式”為例,基于教材內(nèi)容設(shè)計滲透數(shù)形結(jié)合思想的創(chuàng)新性教學(xué),能夠幫助學(xué)生經(jīng)歷等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程,加深對公式的理解和感悟.本文中僅對“等差數(shù)列前n項和公式”的導(dǎo)入過程進行創(chuàng)新,以下是本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計.

圖1 圓木樁堆

師:(情境導(dǎo)入)如圖1,一堆圓木樁頂層1根,下層依次為2根、3根、……,按照這種規(guī)律一直擺放到100層,一共有多少根圓木樁?

生1:將第1層與第100層進行配對,第2層和第99層配對,以此類推就可得到50對,于是圓木樁的總數(shù)為

(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5 050.

(注意:若沒有學(xué)生提出該方法,則需要教師引出.若這種方法是由教師引出就是灌輸式教學(xué),這也是教材設(shè)計欠考慮的地方.)

師:很好!這也是偉大的數(shù)學(xué)家高斯計算1+2+3+……+100的方法.這種方法技巧性很強,是從數(shù)的角度進行計算,那么從圖形的角度,大家能否發(fā)現(xiàn)一種簡便的計算方法呢?

生2:這100層圓木樁堆成了一個三角形,我在想是否可以和三角形的面積聯(lián)系起來,但是圓木樁的個數(shù)又不完全是三角形的面積,所以我遇到了困難.

生3:三角形面積是等底等高平行四邊形面積的一半,可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形來求!

師:沒錯!那大家對求解100層共有多少根圓木樁有思路了嗎?

生4:再找一堆同樣的圓木樁拼湊成平行四邊形,這樣每一層圓木樁的個數(shù)都為1+100=101,一共有100層.那么,可以得出這兩堆圓木樁的根數(shù)一共是100×(1+100)=10 100,所以這樣一堆圓木樁一共有5 050根.

師:很好!如果將原來每一層的圓木樁根數(shù)依次寫成一個數(shù)列,那是一個什么樣的數(shù)列呢?

生:首項為1,公差為1的等差數(shù)列.

師:1+2+3+……+100=5 050就是這個數(shù)列前100項的和.將其推廣到n項,用Sn來表示它的前n項和,仿照前面的圖形直觀,大家能寫出這個數(shù)列的前n項和公式嗎?

師:你能用圖形直觀表示一下嗎?

圖2 數(shù)列{n}前n項和推導(dǎo)圖

師:很好,將其推廣到一般形式的等差數(shù)列{an},它的前n項和公式的表達式是什么呢?

師:那在計算Sn的過程中,需要知道哪些量呢?又該如何計算呢?

生6:需要知道第一項a1和最后一項an以及項數(shù)n.將首項與末項相加,所得之和乘項數(shù),之后再除以2.

圖3 梯形面積公式推導(dǎo)圖

師:你能總結(jié)一下它們的原理嗎?

生7:構(gòu)造相同的部分,然后倒序相加.

師:那倒序相加的目的是什么呢?

生7:將原本不同的部分變?yōu)橄嗤牟糠?

師:沒錯!這就是倒序相加法的原理.通過將一個等差數(shù)列倒序后再相加,從而構(gòu)造出一個數(shù)值全部相同的新數(shù)列,也就是一個常數(shù)列.先求出常數(shù)列的和,再求這個數(shù)列的和.而梯形面積公式的推導(dǎo)也是這個原理.

“千言萬語不及一張圖”,這是美國圖論學(xué)者哈里的名言[6].相比文字和符號,借助圖形探索出的數(shù)學(xué)知識更加形象直觀,更易于學(xué)生理解.本節(jié)課打破“代數(shù)式”的束縛,利用數(shù)形結(jié)合的方式,以三角形面積來推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式,幫助學(xué)生理解倒序相加法的原理,從而更加深入理解公式的本質(zhì).若只用教材中高斯的算法在代數(shù)層面進行探究,容易導(dǎo)致學(xué)生死記公式.而采用圖形來推導(dǎo),借助幾何直觀建立數(shù)與形之間的聯(lián)系,學(xué)生能夠更好地理解倒序相加法的原理,更好地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).

4 “用教材教”的反思與改進

教材具有規(guī)范作用.借助教材中的例子進行教學(xué)無可厚非,但是以教材為本并不是將教材中的所有內(nèi)容都照搬,也不意味著要完全按照教材編寫者的思路進行教學(xué).用教材進行教學(xué)的意義在于要結(jié)合學(xué)生實際情況,以教材為參考來教學(xué),其關(guān)鍵是要解決怎么“用”的問題.教師要能夠在教材的基礎(chǔ)上,設(shè)計出真正有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)過程.對于“等差數(shù)列的前n項和公式”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計,教師可以采用教材中高斯的例子來帶領(lǐng)學(xué)生感悟等差數(shù)列的相關(guān)數(shù)學(xué)史,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.但是,具體的教學(xué)設(shè)計與實施應(yīng)以學(xué)生的實際情況為依據(jù).想要幫助學(xué)生深入理解利用倒序相加法求等差數(shù)列前n項和的原理,就需要進行一定的創(chuàng)新性教學(xué).值得注意的是,數(shù)學(xué)創(chuàng)新性教學(xué)不是憑空產(chǎn)生的,需要教師靈活運用教材,并充分利用各種課程資源來設(shè)計教學(xué).因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,不能過分依賴教材,要以教材為基礎(chǔ)創(chuàng)造性地使用教材.

創(chuàng)造性地利用數(shù)學(xué)教材教學(xué),應(yīng)注意以下幾個方面:

首先,讀懂教材是創(chuàng)造性使用教材的基礎(chǔ),需要教師在仔細分析數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)基本要求的基礎(chǔ)上,認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)教材.高中數(shù)學(xué)教材有不同版本,常見的主要是人教版、滬教版、北師大版、蘇教版、湘教版等.不同版本的編排內(nèi)容不同,各有特色,在教學(xué)過程中要注意在主版本的基礎(chǔ)上,汲取其他版本中值得借鑒的優(yōu)點,優(yōu)化數(shù)學(xué)知識的教學(xué).“等差數(shù)列的前n項和公式”的創(chuàng)新性教學(xué)課例就是在人教A版教材的基礎(chǔ)上,結(jié)合北師大版教材情境所進行的改進.

其次,教師要提高自身素質(zhì),在讀懂教材設(shè)計意圖的基礎(chǔ)上,研讀數(shù)學(xué)思想方法,并將之滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)中.數(shù)形結(jié)合思想的運用,使得等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)更加直觀,同時,能讓學(xué)生更加深入理解倒序相加法的本質(zhì).

最后,在教學(xué)設(shè)計的過程中,要從整體上把握數(shù)學(xué)知識,分析本節(jié)數(shù)學(xué)知識在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位和作用,注重前后知識之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系,體會整體知識與局部知識之間的關(guān)系;注重創(chuàng)新性以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達成程度,將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展?jié)B透于教學(xué)全過程.

高中數(shù)學(xué)教材是專家根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的,是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的專門用書,是教學(xué)的前提.但是,有太多教師過于依賴教材,只是按部就班地按照教材內(nèi)容進行教學(xué),而沒有仔細研讀內(nèi)容的邏輯是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.書面化的語言難免會過于理想化,將文字性的知識教授給學(xué)生是教師必備的能力,這就需要教師在仔細分析教材的基礎(chǔ)上,在適當(dāng)?shù)臅r候設(shè)計創(chuàng)新性的教學(xué),創(chuàng)造性地利用教材,深入數(shù)學(xué)本質(zhì),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).