結(jié)構(gòu)化教學(xué)構(gòu)建高效高中數(shù)學(xué)課堂*
——以“平面解析幾何”為例

梁春波

? 廣東省珠海市田家炳中學(xué)

1 結(jié)構(gòu)化教學(xué)

結(jié)構(gòu)化教學(xué)是由有規(guī)律的或相關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容組合而成的一個有序的系統(tǒng).高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比,初中數(shù)學(xué)教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容多以“點”的形式出現(xiàn),隨著高中教材中內(nèi)容和知識難度的增加,這些以“點”存在的知識就需要進一步衍生為“線”,再由“線”衍生成為“面”,最終形成“體”,這個過程就是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的核心.結(jié)構(gòu)化課堂的構(gòu)建還需要遵循完整性、多維性、開放性和發(fā)展性幾個特點,其中完整性是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基礎(chǔ),多維性是橫向、縱向繁雜知識的有效規(guī)劃,開放性和發(fā)展性是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的延伸.

2 結(jié)構(gòu)化教學(xué)案例分析

人教版高中數(shù)學(xué)教材中“平面解析幾何”的主要內(nèi)容為直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、坐標(biāo)系與參數(shù)方程等知識.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn),在必修2解析幾何初級課程中,要求學(xué)生學(xué)習(xí)直線與方程、圓與方程的最基本內(nèi)容,并初步建立空間坐標(biāo)系的概念.由于這些內(nèi)容是必修,因此是為所有學(xué)生設(shè)計的.而在選修的課程中我們進一步學(xué)習(xí)了圓錐曲線與方程、空間坐標(biāo)系以及參數(shù)方程等.綜上,課程標(biāo)準(zhǔn)要求掌握解析幾何的最基本方法——用代數(shù)的思維研究基本曲線的幾何性質(zhì),并能將最基本的學(xué)習(xí)方法遷移到圓錐曲線的學(xué)習(xí)中.通過代數(shù)思想,一方面降低了平面解析幾何的難度,提高了學(xué)生對平面解析幾何的理解程度;另一方面,這些代數(shù)思維為選修內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

在“平面解析幾何”的教學(xué)過程中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷以下過程:(1)將幾何問題代數(shù)化,用代數(shù)語言描述幾何元素及其關(guān)系;(2)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,直接解決代數(shù)問題;(3)分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義,再回到幾何問題上,最終實現(xiàn)幾何問題的解決.這是解決平面解析幾何問題的基本思路和方法,學(xué)生需要熟練掌握這種“數(shù)形結(jié)合”的相互轉(zhuǎn)化方法.

2.1 數(shù)學(xué)知識的提煉將知識結(jié)構(gòu)化

高中數(shù)學(xué)知識的抽象性是大家所熟知的,由于太抽象,因此學(xué)生不容易理解,更別說在解題中靈活應(yīng)用了.學(xué)生需要不斷地把教師教授的知識轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識,由于高中生思維水平有限,這對學(xué)生來說顯然是有難度的,因此,在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師需要適當(dāng)利用結(jié)構(gòu)化教學(xué)方式和方法,引導(dǎo)學(xué)生找到眾多知識中的重點知識,從而完成對數(shù)學(xué)知識的提煉,幫助學(xué)生加深對知識的理解,實現(xiàn)高效的高中數(shù)學(xué)課堂的構(gòu)建.

例如,在研究“直線和圓的方程”時,可以進行如下知識提煉:

例1求圓心在直線y=2x-3上,且過A(5,2),B(3,-2)兩點的圓O的方程.

教學(xué)指導(dǎo):引導(dǎo)學(xué)生閱讀題干信息,通過相互交流或討論,找到這道題目的基本解決方法.因為題目中的條件與圓心有關(guān),所以可以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用圓心在直線y=2x-3上這一關(guān)鍵信息來解.當(dāng)然,解決問題的方法不唯一,還可以從圓心O在線段AB的中垂線上實現(xiàn)突破,從而求出方程.此外,本題的重中之重是引導(dǎo)學(xué)生提煉、總結(jié)解決此類問題的方法和步驟,將復(fù)雜問題簡單化.

因此,圓O的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.

因此,圓O的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.

本題介紹了求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法,解法1用待定系數(shù)法求圓的方程,只要確定三個參數(shù)便可求出圓的方程,一般計算量相對大一些.解法2主要利用圓心在弦的中垂線上,可得圓心滿足的直線方程,再結(jié)合題目中其他已知條件可確定出圓心,進而由兩點間的距離公式求出圓的半徑,從而可以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.基于此,提煉出求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法——待定系數(shù)法和幾何性質(zhì)法.

2.2 揭示知識點間的聯(lián)系將知識結(jié)構(gòu)化

由于高中數(shù)學(xué)課程分為必修和選修,因此明明可以設(shè)計在一起的知識卻因為必修和選修的區(qū)分被編排在不同的教材中.學(xué)生由于思維能力受限,不能及時將相關(guān)聯(lián)的知識聯(lián)系起來,此時教師在教學(xué)過程中就需要采用結(jié)構(gòu)化教學(xué)模式,適當(dāng)揭示各個知識點之間的聯(lián)系.比如,在學(xué)習(xí)“平面解析幾何”時需要向?qū)W生揭示,“平面解析幾何”主要包含直線、曲線、方程三方面的知識.直線與與方程主要包含直線的傾斜角和斜率、直線方程的基本形式、點和直線的位置關(guān)系、兩條直線的位置關(guān)系等.曲線與方程主要包含三個方面的知識:(1)圓——圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì);(2)橢圓——橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì);(3)雙曲線——雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì);(4)拋物線——拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì).而橢圓、雙曲線與拋物線又統(tǒng)稱為圓錐曲線.直線、曲線與方程方面知識的研究都需要借助平面直角坐標(biāo)系來完成,這就形成了“數(shù)向形,形向數(shù)”的轉(zhuǎn)化.

2.3 循序漸進、逐步提高問題難度,將知識結(jié)構(gòu)化

在高中數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)用結(jié)構(gòu)化教學(xué)時,在提升學(xué)生理解能力的基礎(chǔ)上還應(yīng)不斷發(fā)展學(xué)生解決問題的能力.具體來說,教師需要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際需求,逐步提高問題設(shè)置的難度和深度.基礎(chǔ)難度的題目可以讓所有學(xué)生參與思考和討論,難度較大的題目可以引發(fā)學(xué)生深入思考,使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可以感受到分析和解決問題是由易到難而產(chǎn)生良好的學(xué)習(xí)體驗,幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維.

例如,在研究“軌跡方程”時,可以進行如下教學(xué):

軌跡問題是高中數(shù)學(xué)中的一個難點,大多以解答題的形式出現(xiàn)在高考試卷中.首先我們應(yīng)總結(jié)求軌跡方程的幾個常用方法:(1)單動點的軌跡問題——直接法十待定系數(shù)法;(2)雙動點的軌跡問題——代入法;(3)多動點的軌跡問題——參數(shù)法+交軌法.

例2已知動圓過定點(1,0),且與直線x=-1相切.

(1)求動圓圓心軌跡C的方程.

圖1

解：(1)如圖1,設(shè)M為動圓圓心,F(1,0),過點M作直線x=-1的垂線,垂足為N.由題意知|MF|=|MN|,即動點M到定點F與到定直線x=-1的距離相等.由拋物線的定義可知,點M的軌跡為拋物線,其中F(1,0)為焦點,x=-1為準(zhǔn)線,所以動圓圓心的軌跡方程為y2=4x.

高中數(shù)學(xué)中軌跡方程問題往往是通過圓錐曲線的定義來求解的,本題中的軌跡方程問題就是通過拋物線的定義來解決的.因此,在遇到此類題目時,可將軌跡問題構(gòu)建為圓錐曲線問題來解決,這就需要學(xué)生充分掌握圓錐曲線的定義并且能靈活應(yīng)用.在例2的教學(xué)中,筆者圍繞直線和圓錐曲線精心設(shè)計了一組難度不同的梯次問題,帶領(lǐng)學(xué)生在思考和分析中逐漸了解直線和圓錐曲線的位置關(guān)系及特點,從而引導(dǎo)學(xué)生直觀感知直線與圓錐曲線相交的相關(guān)知識,形成結(jié)構(gòu)化思維.

2.4 利用知識遷移將知識結(jié)構(gòu)化

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,為了利用結(jié)構(gòu)化教學(xué)構(gòu)建高效課堂,教師應(yīng)將知識遷移的教學(xué)模式運用到教學(xué)中,激發(fā)學(xué)生利用現(xiàn)有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和方法繼續(xù)探索新的知識,能通過舉一反三和觸類旁通的學(xué)習(xí)模式,掌握結(jié)構(gòu)化的具體學(xué)習(xí)方法.

例如,在教學(xué)“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”時,可以借助例2中“圓與方程”的相關(guān)知識來解決例3中“直線與圓錐曲線”的相關(guān)問題:

(1)求在k=0,0

(2)當(dāng)|AB|=2,S=1時,求直線AB的方程.

在例3的教學(xué)過程中,筆者結(jié)合學(xué)生對例2的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和方法來講述,使例2的解題思路有效遷移至例3中,幫助學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)方法,有助于高效數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu).

3 小結(jié)

綜上所述,結(jié)構(gòu)化教學(xué)提倡的教學(xué)理念是根據(jù)知識之間存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián),將相關(guān)知識巧妙聯(lián)系起來,形成相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu).對于內(nèi)在聯(lián)系不太明確的知識,在教學(xué)設(shè)計時教師需要投入更多的心思,深度探索和挖掘其相關(guān)性.同時,在總結(jié)、實踐、拓展等環(huán)節(jié),教師也需要將構(gòu)建等思想滲透到教學(xué)活動中,幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)方法.結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)方法不僅能促進知識的學(xué)習(xí),也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分,可為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ).