基于邏輯推理素養的排列組合教學設計

王冬月

? 哈爾濱師范大學教師教育學院

1 問題提出

《普通高中數學課程標準(2017年版)》重視培養高中生數學核心素養,著重邏輯推理素養,數學課程承擔著培養學生數學思維品質、創新能力和發現問題能力等的重任.幾何課程中邏輯推理素養的研究較多,但“數與代數”“統計與概率”教學中邏輯推理素養的研究卻寥寥無幾.邏輯性和推理論證是數學最突出的特性,為了更好地落實邏輯推理素養,“統計與概率”是很好的實施素材和載體.下面以“組合”教學過程為例,引導學生在邏輯推理的過程中吸收知識,提升自身能力;在體驗知識生成的過程中,培養思維,發展素養,增進問題解決技巧.

2 教學片段

2.1 創設情境,溫故知新

師:上節課我們剛剛學習了排列的知識,下面一起回顧一下.

問題1從我們班語數外物化生六位老師中選出兩位老師參加活動,一名帶隊,一名協助,可以有多少種不同的選法?

師:選擇使用排列方法分析、解決問題的理由是什么呢?

預設:要從中選出不同的老師,并且安排不一樣的任務.

師:我們能列出所有可能的30種不同方案,列舉時要思考差異性——元素的差異性及位置的差異性,先取后排.

2.2 實例分析,概念辨析

問題2從這6位老師中選出2位組織下午的課外活動,可以有多少種不同的選法?

追問:問題1與問題2一樣嗎?

預設:問題1有位置的差異性,問題2沒有.

師:那大家認為有多少種不同的方案?

預設:15種.從6位中選2位,且工作不同有30種選法,但問題2中2個人的工作沒有差異,應該用30除以2,是15種.

師:問題2中從6個不同元素中選2個元素,直接合成一組,不需要按順序排成一列,即使變換元素的位置或順序,也不影響最后的選擇.這就是我們今天要學習的組合問題.

組合的概念:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

2.3 不斷深化,概念理解

師:思考“兩個相同的組合滿足什么條件”?

預設:元素相同.

師:那兩個相同的排列呢?

預設:元素相同且相同元素的位置也相同.

師:排列與組合共同點——兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素;不同點——排列與元素的順序有關,組合與元素的順序無關.

問題3結合組合的定義,判斷下面的問題是排列問題,還是組合問題?

平面中有A,B,C,D,E共5個點.

(1)以其中2個點為端點的線段共有多少條?

(2)以其中2個點為端點的有向線段共有多少條?

問題4判斷一個問題是排列問題或是組合問題的依據是什么?

師生合作:排列問題需要考慮元素的差異性和位置的差異性;組合問題只需考慮元素的差異性,不需要考慮位置的差異性.

設計意圖：在分析和練習中讓學生熟悉組合和組合數的概念,進而靈活運用排列數解決問題.數學推理的表現是問題解決的過程,在此過程中要注重發展學生邏輯推理等核心素養.

師:問題2的選法種數可以表示成什么?

師:這個猜想是否正確呢?下面我們一起證明這個猜想.

2.4 合作探究,嚴謹證明

師:每一種取法對應多少種排法?

師:怎么用排列數求出對應的組合數?

師:我們驗證了之前的猜想是正確的!因此,可以得到組合數的公式

3 教學反思

3.1 讀懂吃透教材,教學內容整體分析

排列、組合是兩類重要的計數問題,也是培養學生邏輯推理素養的好素材,要讀懂吃透教材,對內容整體分析后再開始教學.本節課教學中,先提出學習任務,然后通過實例概括出組合的概念,最后應用分步計數原理和排列數公式推出組合數公式[1].在教學中,難點是學生對問題背景的理解,不然會導致重復或遺漏.這是個數學化的過程,學生需要掌握一些技巧,如“插空法”“捆綁法”“先分類、后分步”等,可以通過不同情境進行訓練和辨析,結合具體問題的對比來啟發學生,抓住“順序”這個不同點來區別排列問題與組合問題.

3.2 融合關鍵要素,落實邏輯推理素養

在教學過程中培養學生邏輯推理素養要融合邏輯推理素養的關鍵要素,組合的教學設計片段中就是按照“定義與命題的表達、推理的一般形式、歸納推理及演繹推理的思維過程”這四個關鍵要素[2]來進行培養邏輯推理素養的教學.首先創設情境,讓學生體會排列與組合間的共性和差異,抽象現實背景,抽象成數學問題,用數學的語言表達組合的定義,對概念進行辨析,進一步明確組合問題的概念.其次在解決問題時,應該明白推理過程具有動態性,通過歸納推理尋找規律并形成數學命題,再通過演繹推理驗證所得數學命題的正確性.從特殊、具體的排列數與組合數之間的關系,歸納推理得到一般性規律,獲得猜想,理解歸納推理得到命題具有或然性,需要數學證明來證明準確性.最后通過公式的推導,歸納得到一般性的規律,再演繹推理進行驗證,潛移默化落實邏輯推理素養.

3.3 理解感悟思考,緊抓教學設計重點

創設合適的情境、提出啟發性的數學問題是促進學生邏輯思維發展的有效方法,教學過程不能單純依靠教師的講述.對于高中數學教師來說,創設合適的教學情境和提出合適的數學問題的關鍵在于深刻理解數學知識的本質,理解概念或方法產生的必要性和應用性.教師應注重定義和命題的準確表達,明確推理的一般形式,清晰闡明演繹推理和歸納推理的思維過程,鼓勵學生進行思考和推理,培養他們的數學思維能力和解決問題的能力.這樣的教學方式可以促進學生對數學的深入理解,并且能夠使他們在實際問題中更好地運用所學的概念和方法.在“理解”與“感悟”的基礎上學會思考,最終發展和落實邏輯推理核心素養,是一線數學教師進行教學設計所必須思考的重點.