加強“構”“悟”融合 促進思維靈活進階

何獻菊 廖雪剛

? 重慶市萬州區教師進修學院 ? 重慶市萬州職業教育中心

1 問題提出

最近幾年的高考全國卷數學試題,大大降低了“題海戰術”“機械刷題”的效益,部分學生在高考場上手足無措,覺得試題難度大,計算量大,思維量大,從而發揮失常.針對以上現象,在二輪復習中,可以嘗試對解析幾何、立體幾何、導數、數列、解三角形等模塊內容進行“一題一課”教學,建立知識結構框架,訓練學生靈活運用基礎知識解答問題的能力.下文中,以一道高考數列題為例嘗試進行二輪復習“一題一課”教學.

2 教學過程

2.1 精選例題,“一題”引入學習主題

教學實踐表明,在高考復習中,“一題一課”多解變式教學模式的運用應常態化.學生經過一輪復習,雖然知識體系系統化,解題方法通性化,但是一題多解不熟練,變式能力較欠缺.二輪復習精選試題,一題多解,變式變解,能激發學生的思維,加深學生對知識、題型間相互聯系的理解,從而提高學生應對綜合性、應用性和創新性考查的能力.

例(2020年·全國卷Ⅲ)設數列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)計算a2,a3,猜想{an}的通項公式并加以證明;

(2)求數列{2nan}的前n項和Sn.

試題分析：該試題起點低,背景深,是一道值得細品多悟的高考好題.第(1)問計算a2,a3,猜想{an},體現了特殊到一般的思想,數學歸納法順勢而生,解題思路直截了當.學生對于數學歸納法不熟悉,書寫格式模糊,是一個“會而不全”的典型試題.第(2)問為錯位相減求和,第(1)問即使不會證明也可進一步完成第(2)問,層次明顯,面向各個層次的學生.

2.2 巧設問題鏈,架構“一課”學習序列

問題1(展示真題)請同學們迅速閱讀題目,思考第(1)(2)問的解題方法.

設計意圖：一方面,訓練學生的審題能力,相信解題的第一感覺,了解學生對基本解法的掌握情況;另一方面,第(1)問因學生對數學歸納法不熟練,書寫上不嚴謹,因此可以此為契機,改編條件,一石激起千層浪,進入主題.

問題2請改變條件“an+1=3an-4n”,變成大家熟悉的遞推公式,并根據a1=3,求{an}的通項公式.

生1:改為“an+1=3an”,則數列{an}是公比、首項均為3的等比數列,an=3n.

生2:改為“an+1=an-4”,則數列{an}是公差為-4,首項為3的等差數列,an=7-4n.

生3:改為“an+1=3an-4”,變形后利用待定系數法,得an+1-2=3(an-2),解得an=3n-1+2.

設計意圖：讓學生改變題目條件,回到熟悉的等差數列、等比數列和利用待定系數法求通項公式,回歸基礎,回憶通性通法.

問題3我們熟悉的形如“an+1=pan+q”的結構,涉及等差數列、等比數列,或者待定系數法.若將其中的q變為f(n),即an+1=pan+f(n).當p≠1時,條件的改變中f(n)涉及了常數、指數,均可用待定系數法求解.那么,對于該題中“p=3,f(n)=-4n”,請同學們嘗試解答.

生4:設an+1+λ=3(an+λ),得λ=-2n,則an+1-2n=3(an-2n),求得an=3n-1+2n.

思考：根據這個結果計算可得a2=7,但題目條件得a2=5,問題出在哪里?

問題4若用待定系數法,對于“a1=3,an+1=3an-4n”,如何求{an}的通項公式?

生5:根據f(n)=-4n是一次式結構,設

an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B).

于是an+1=3an+2An+2B-A.

故an+1-2(n+1)-1=3(an-2n-1).

又a1-2×1-1=0,所以數列{an-2n-1}為常數列,解得an=2n+1.

設計意圖：暴露“待定系數法”中的共性、高頻錯誤(生4的解法),以錯糾錯.抓住待定系數法相鄰項的結構一致求解問題,為利用待定系數法解決錯位相減類型求和問題做鋪墊.

問題5請用錯位相減法求數列{2n(2n+1)}的前n項和Sn.

生6:記Sn=3×21+5×22+……+(2n-1)2n-1+(2n+1)2n,2Sn=3×22+5×23+……+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1,所以-Sn=3×21+2×22+……+2×2n-(2n+1)2n+1.化簡,得

Sn=(2n-1)2n+1+2.

設計意圖：回歸通性通法,提高計算能力,便于與待定系數法進行比較.

問題6請思考如何利用待定系數法求數列{2n(2n+1)}的前n項和Sn.

生7:考慮到2n(2n+1)中“2n+1”為一次式,設

2n(2n+1)=2n+1[A(n+1)+B]-2n(An+B),

即2n(2n+1)=2n(An+2A+B).

2n(2n+1)=2n+1[2(n+1)-3]-2n(2n-3).

所以Sn=2n+1(2n-1)+2.

設計意圖：靈活運用待定系數法解決錯位相減類型求和問題,感悟待定系數法的妙處,思維遷移.

生8:第一感覺想用錯位相減法,但發現還必須再使用一次錯位相減才能完成.因此嘗試利用待定系數法,考慮到分子為n2,所以設

設計意圖：增加難度,“逼迫”學生想辦法解決問題,避免生搬硬套.學生在變式中要敢于利用通性通法,大膽嘗試,積極思考;同時,在變式中靈活選擇解題方法,深度思考問題.

2.3 回望梳理過程,悟出解題思路

問題8請同學們梳理思路,然后自由發揮,解答例題第(2)問.(學生多種解答方法略.)

數列解答題的通性通法較多,學生難以發散思維,靈活運用通法解答變式創新題,幫助學生在二輪復習中建構數列解題體系.環節一(問題1～2),從學生熟悉的等差數列、等比數列入手改編真題,步步為“營”,改變條件,增加難度,拓展思維,促進學生思維的靈活性,提煉出解答數列一般題型的本質即待定系數法.環節二(問題3～7),在環節一的鋪墊下,學生求解真題.環節三(問題8),一題多解,提升解題能力.此過程重點是教師對問題的“架構”,關鍵是讓學生經歷解題全過程,形成自己的“領悟”.

3 課后反思

高三二輪復習主要關系到兩個方面:一是在解題教學中,如何構建兼顧數學核心素養培育與高考應試能力培養的教學模式;二是在教學中如何落實數學核心素養的培育[1].萬變不離其宗,“問題是數學的心臟”.如何借題發力,培育學生的核心素養,楊孝斌教授認為,借助波利亞解題思想與“三教”理念,可構建“一題一課多解變式”教學模式.高三二輪復習“一題一課”,有一題多解、一題多變、一題多說三種教學模式,教師可在實踐中摸索以上教學模式.