導數在不等式證明中的應用探究

夏奕雯

? 浙江省寧波中學

1 利用函數凹凸性證明不等式

判斷函數凹凸性并以此來證明不等式較為直觀.首先要明確凸(凹)函數的定義.

定義1[1]：若f(x)為定義在區間I上的函數,若對I上的任意兩點x1,x2和任意實數λ∈(0,1),總有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f(x)即為I上的凸函數.反之,如果總有

f(λx1+(1-λ)x2≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f(x)為I上的凹函數.

如果函數二階可導,則可得出以下定理.

定理1[2]：若f(x)為開區間I上的二階可導函數,且滿足f″(x)>0(f″(x)<0),x∈I,則f(x)為區間I上的凹(凸)函數.

因此,可以通過凹凸函數定義對不等式進行證明.現通過以下例題來詳細說明.

已知閉區間上的連續函數存在著最大值與最小值,根據以上函數的凹凸性,能夠得出以下定理.

定理2：若f(x)在區間[a,b]上為連續凸函數,則f(x)≤max{f(a),f(b)};若f(x)在區間[a,b]上為連續凹函數,則f(x)≥max{f(a),f(b)}.

通過以上定理,可以有效證明部分不等式,但必須要采用構造函數的方法,一般是對不等式的兩邊作差,可通過以下例題進行詳細說明.

通過例1～2的分析不難看出,利用函數凹凸性來證明不等式,雖然過程較為繁復,但是也更加清晰明了.因此,在具體實踐當中,若是遇到一些相對特殊的不等式題型,可合理利用函數凹凸性來求解,但首先必須要掌握函數凹凸的定義,進而對問題進行準確判斷,消除解題過程中的不利因素,思路才會更加清晰明了.

2 利用拉格朗日中值定理證明不等式

利用拉格朗日中值定理解決一些不等式的證明問題,可以簡化解題的過程,并且非常直觀清晰,所以,有必要深入探究其在不等式證明中的具體應用.為此,我們首先需要明確該定理,具體如下:

定理3[3]：假如f為閉區間[a,b]上的連續函數,且在開區間(a,b)上可導,那么,其必然存在一點ξ∈(a,b),使得

①

例3證明:對于任意實數x1,x2,總有

|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.

對于例3,可以輕易判斷出所需要構造的具體函數f(x),因此,利用拉格朗日中值定理證明該類不等式非常簡單.但是,在具體的實踐當中,通常會遇到許多特殊的題型,此時就需要將不等式作適當的變形,才可以判斷出具體的函數.比如例4:

通過上述例題的分析可知,利用拉格朗日中值定理證明不等式,關鍵在于要使構造的函數f(x)符合拉格朗日中值定理的相應要求,且需要明確具體的區間[a,b],因此,學生在日常學習當中要加強相關的練習,以此鞏固對該方法的有效掌握.

3 利用導數定義證明不等式

在不等式的證明中,要根據現有條件,將信息轉變成適當的數學表達式,使用正確的方式表達導數的定義,進而得出結果.

例5設f(x)=a1sinx+a2sin 2x+……+ansinnx,并且滿足|f(x)|≤|sinx|,由此證明|a1+2a2+……+na|≤1.

證明：由題意知f′(x)=a1cosx+2a2cos 2x+……+nancosnx.

由f(x)=a1sinx+a2sin 2x+……+ansinnx,可得f(0)=0.

又f′(0)=a1+2a2+……+nan,所以由導數定義可得

故|a1+2a2+……+nan|≤1.

本文中對導數在不等式證明中的具體應用進行了探討,并給出了幾道例題,值得關注的是通過導數證明不等式,不只有本文當中所闡述的幾種方式,還包括其他方法,如導數與積分的融合等.利用導數證明不等式時,一般要構造輔助函數,然后結合具體問題和函數的性質靈活加以運用.當然,證明不等式,還可以通過綜合多種方式達到目的.