借助“一題多解”,進行“一題多變”
——以2023年高考數學新高考Ⅱ卷第5題為例

于 丹

? 遼寧省大連經濟技術開發區第八高級中學

平面解析幾何眾多元素的交匯與融合問題,契合新高考考查的基本特征,是新高考命題的一大熱土,創新點多,交匯性強,在注重數學基礎知識、思想方法和基本能力的基礎上,展示數學學科價值,合理調控綜合程度,考查考生各方面的基本素質,具有較強的選拔性與區分度,備受各方關注.

1 真題呈現

此題以橢圓為問題場景,結合定斜率的含參直線與橢圓交于不同的兩點,通過這兩個交點與兩個焦點所構成的兩個不同三角形的面積之比來確定參數值.

實際解題時,可以從解析幾何本質入手,利用解析幾何法來分析與運算;也可以從平面幾何直觀入手,利用平面幾何法來分析與數形結合;而定比分點公式法是一個課外拓展與提升的機會.

2 真題破解

方法1：解析幾何法.

4x2+6mx+3m2-3=0.

由于直線y=x+m與橢圓C交于A,B兩點,則判別式Δ=36m2-16(3m2-3)>0,解得-2

故選擇答案:C.

解后反思：根據解析幾何中直線與橢圓的位置關系,聯立方程,通過消參轉化為對應的方程問題,合理確定參數的取值范圍,為問題的進一步求解限定條件.而同底的兩個三角形面積的比值問題可轉化為對應頂點到同底所在直線的距離的比值問題,借助點到直線的距離公式加以轉化與應用.

方法2：平面幾何法.

設直線y=x+m交x軸于點M,則M(-m,0).

圖1

解后反思：根據平面幾何圖形的直觀性質,同底的兩個三角形的面積的比值問題可以轉化為對應線段的比例問題,結合坐標軸上的線段的長度計算公式來轉化與應用.借助平面幾何圖形的幾何性質與結構特征加以數形結合,處理問題更加直觀簡捷,減少數學運算,優化解題過程.

方法3：定比分點公式法.

而△F1AB的面積是△F2AB的面積的2倍,且兩三角形同底,可知點M分線段F1F2的比為2.

解后反思：借助同底的兩個三角形面積的比值,轉化對應線段的比例關系問題,在x軸上借助定比分點公式來分析與求解.定比分點公式是平面向量的坐標表示與運算的一個深入與拓展,在現行高中數學教材中并沒有涉及,只是作為一個課外知識加以補充與拓展,供學有余力的同學參考.

3 變式拓展

3.1 一般性拓展

基于高考真題,可以由一類定斜率的直線拓展到一般直線,也可以將兩個三角形的面積之比拓展為其他倍數關系,合理變式應用.

(答案:C.)

3.2 規律性拓展

基于高考真題與變式1,抓住滿足條件的一般性直線的共同特征——過定點,合理變式應用.

以上變式1～3的解析過程,可以直接參考原高考真題的解析,這里不多加以展開與敘述.

3.3 結論性拓展

將問題進一步深化,化具體的橢圓問題為一般性的橢圓問題,可以得到更具一般性的結論,合理歸納總結.

結論1與結論2的證明,大體思維過程與原高考真題類似,留給有興趣的讀者獨立完成.這里要注意的是,在雙曲線問題中,直線l恒過的x軸上的定點可以在兩焦點之間,也可以在兩焦點外側(具體位置與λ的取值有關).

4 教學啟示

4.1 掌握“通性通法”,守住知識“底線”

解析幾何思維與方法是解決直線與圓錐曲線的位置關系問題最常用的思維方法,也是破解此類問題的“通性通法”之一.其基本思路是聯立直線與圓錐曲線的方程,結合函數與方程思想,借助韋達定理以及相應的公式等來構建對應的關系式,進而合理轉化與應用.

解析幾何思維與方法是破解此類問題的常規思維,是該模塊知識的“底線”,但數學運算量往往比較大,因此要認真仔細.掌握相應題型與常見的技巧方法,也是解題經驗的積累與知識的鞏固.

4.2 開拓數學思維,變式拓展提升

直線與圓錐曲線的位置關系問題,要充分挖掘條件的內涵與本質,深入理解題意條件與所求,從題設條件與所求結論等不同層面合理整合,從不同思維視角“一題多變”與拓展,發散數學思維,達到“一題多得”,真正達到融會貫通,從數學知識、數學能力、數學思維等層面融合,形成數學知識體系,轉變為數學能力,得以創新拓展.