一道解三角形模擬試題的探究

梁正玲

? 江蘇省華羅庚中學

解三角形是新教材“平面向量及其應用”章節(jié)中的一個重要知識點,是平面向量的一個重要應用方向,成為聯(lián)系初、高中數(shù)學基礎知識的一個良好載體,同時也合理交匯并融合平面向量、三角函數(shù)以及函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識,充分落實“在知識交匯點處命題”的高考命題指導思想,是高考命題的一個基本考點,備受各方關(guān)注.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求sin∠ABC;

(2)若D為BC上一點,且∠BAD=90°,求△ADC的面積.

此題以一個三角形的兩邊以及兩邊對應的平面向量的數(shù)量積來創(chuàng)設問題場景,在確定的三角形背景下,第(1)小問直接確定另一個角的正弦值;第(2)小問再利用一個確定的小三角形的設置,進而求解相關(guān)三角形的面積.

此題以確定的幾何圖形為場景,綜合運用解三角形的相關(guān)定理、公式,以及三角函數(shù)的相關(guān)公式等.筆者認為:仔細審題,妙用定理,借助公式,采用有效的策略,是合理化歸與轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵.

2 真題破解

本題第(1)問有如下兩種破解方法.

方法1：解三角形法1.

方法2：解三角形法2.

由余弦定理,可得

又依題知∠ABC為銳角,所以由平方關(guān)系可得

解后反思：要求解確定的三角形內(nèi)角的正弦值,可以直接利用正弦定理,借助邊與角的關(guān)系求值;也可以利用三角函數(shù)中的平方關(guān)系,通過余弦定理求解.兩種解法都是解決此類問題比較常見的思維方式.

第(2)問的破解也有如下兩種方法.

方法1：面積公式法.

圖1

方法2：比例性質(zhì)法.

由∠BAC=120°,∠BAD=90°,得∠DAC=30°.

解后反思：根據(jù)題設中所要求解的三角形的面積,可以借助三角形的面積公式或基本性質(zhì)來切入與應用.利用三角形的面積公式求解時,關(guān)鍵在于確定對應三角形的邊與角;而利用三角形的基本性質(zhì)求解時,關(guān)鍵在于確定對應三角形之間的面積比例關(guān)系,合理構(gòu)建關(guān)系式加以轉(zhuǎn)化與應用.

3 變式拓展

在典型真題“一題多解”的基礎上,合理發(fā)散思維,靈活變通,巧妙地“一題多變”,從不同層面加以合理變式與拓展,在原有基礎上達到“一題多得”.

3.1 低階變式

(1)求sin∠ABC;

(2)若D為BC上一點,且∠BAD=90°,求AD的長度.

3.2 中階變式

(1)求sin∠ABC;

(2)若D為BC上一點,且在∠BAC的角平分線上,求△ADC的面積.

3.3 高階變式

(1)求sin∠ABC;

(2)若D為BC上一點,且∠BDA=90°,求△ADC的面積.

利用平方關(guān)系,可得

所以,△ADC的面積

4 教學啟示

4.1 開拓數(shù)學思維

解決三角函數(shù)與解三角形綜合問題的關(guān)鍵在于“變”:三角函數(shù)關(guān)系式的變角、變名、變式,解三角形中的邊與角的互變等.

在解三角形中,合理利用三角形中邊與角關(guān)系的互化,三角函數(shù)關(guān)系式的變角、變名、變式,在同一標準形式下,開拓數(shù)學思維,加以深入邏輯推理或數(shù)學運算,實現(xiàn)問題的分析與解決.

4.2 培養(yǎng)核心素養(yǎng)

在實際數(shù)學教學與復習備考時,要借助典型實例的應用,或教材例(習)題,或高考真題,合理開展“一題多解”,“串聯(lián)”起不同的知識點,構(gòu)建相應的數(shù)學知識網(wǎng)絡,同時進一步加以變式拓展,結(jié)合“一題多變”,實現(xiàn)“一題多得”的效果.

特別要注意的是,不能片面注重“刷題”,只注重數(shù)量,這樣往往會事倍功半;做題要注重質(zhì)量,要少而精.只有這樣,才能更加有效地掌握數(shù)學基礎知識,提升數(shù)學思維能力,培養(yǎng)思維的靈活性,避免思維定式,做到舉一反三.