突破函數零點問題區間端點賦值的一種思維策略*

白志峰 張 力 王 輝

? 北京市通州區潞河中學 ? 北京市通州區教師研修中心

函數的零點問題涉及的知識面廣、綜合性強,解決問題時常常需要把問題轉化為探求某個單調區間上存在異號的函數值,結合函數的單調性進一步說明該區間上零點的唯一性.但是,面對靈活多變的函數關系,如何合理賦值,是一個難點.對于含參數的問題,往往更加復雜.有些試題的答案給出的方法取值巧妙,構思靈活,似有突如其來之感,實際解答時很難想到.極限分析法又似乎缺乏理論依據.正所謂“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”.本文中通過實例,探析突破解決這一難點的一種易于操作的思維策略——合理放縮,探析零點存在的充分條件.

1 典例分析

例已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x有兩個零點,求a的取值范圍.

解析：求導,可得f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

(1)當a≤0時,f′(x)=(aex-1)(2ex+1)<0恒成立,故函數f(x)遞調遞減,最多一個零點.

因為ae2x>0,所以

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x>(a-2)ex-x.

又因為0

f(x)>(a-2)ex>a-2-x.

到此,證明了x0的存在性,無需再取特值驗證.事實上,鑒于以上思路,取x0=a-2,a-3,a-4,……,均可,例如f(a-3)>a-2-(a-3)=1>0.

證法二:f(x)=ae2x+aex-2ex-x>-2ex-x,只需存在x0<0,使f(x0)>0.

鑒于以上思路,取x0=-3,-4,……,均可.

證法一:因為ex>x,所以

證法二[1]:整理得f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ex[aex+(a-2)]-x.

注意到ex>x,所以只需aex+(a-2)≥1.

綜上,a的取值范圍為(0,1).

本例中我們的目標是尋求函數存在一個正值,在函數具備單調性的條件下,通過加強條件,利用合理縮小,證明了x0的存在性,同時也找到了特值的選取方法.同樣地,如果需要證明一個函數存在負值,可以適當放大,放大以后存在負值即可.

2 思維策略

本題解題的思維策略是通過合理的放縮進行轉化與化歸,減少參數的干擾或降低超越函數的復雜程度,撥云見霧,化生為熟,化繁為簡,逐步分析、探究零點存在的充分條件.在此,一個簡單的不等式鏈lnx≤x-1

3 類比練習

練習1已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(a>0)有兩個零點,求實數a的取值范圍.

提示:f(x)在(-∞,1)上是減函數,在(1,+∞)上是增函數.

因為f(1)=-e<0,f(2)=a>0,所以(1,+∞)上f(x)有唯一零點;當x<1時,考慮x<0,ex<1,且x-2<0,所以f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2>(x-2)+a(x-1)2=ax2-(2a-1)x+a-2.

練習2已知函數f(x)=xe2x-a,x>0,討論該函數零點的個數.

提示:f(x)在(0,+∞)上是增函數,f(x)>f(0)=-a.

當a≤0時,f(x)無零點.

當a>0時,f(0)=-a<0,注意到e2x>2x,所以f(x)=xe2x-a>2x2-a.

因為f(0)=b-1≤2a-1<0,注意到ex≥x+1,不妨考慮x>1,可得

f(x)=(x-1)ex-ax2+b≥(x-1)(x+1)-ax2+b=(1-a)x2-1+b.