中學數學探究性作業設計的基本策略

吳光潮

(廣州市黃埔區教育研究院,廣東 廣州 510799)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標》)指出,初中學業水平考試(以下簡稱“中考”)命題原則要堅持素養立意,凸顯育人導向,以核心素養為導向的考試命題,要關注數學的本質,關注通性通法,綜合考查“四基”“四能”與核心素養.適當提高應用性、探究性和綜合性試題的比例,題目設置要注重創設真實情境,提出有意義的問題,實現對核心素養導向的義務教育數學課程學業質量的全面考查[1].在落實“雙減”、提質增效的當下,“做好初中數學探究性作業設計,落實作業改革”是推進課程改革的重要一環.本文系統梳理了中學數學探究性作業設計的基本策略,以助力教師開展數學探究性作業的設計及實施,實現“教考一致”,落實學科育人的課改精神.

1 探究性作業的基本內涵

“探究性作業”普遍認同的定義源自“探究性學習”.人民教育出版社科研部的任長松認為,探究性學習是指學生圍繞一定的問題、文本或材料,在教師的幫助和支持下,自主尋求或建構答案、意義、理解與信息的學習活動或過程.這與《課標》倡導“實施促進學生發展的教學活動”的理念高度契合:引導學生在真實的情境中發現問題和提出問題,利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題.基于此,筆者將其進行如下界定:探究性作業指在探究性問題驅動下,以培養數學關鍵能力、核心素養為導向,學生基于自身知識基礎與思維方式展開自主探究,呈現整個發現、提出、分析、解決問題的探究過程的數學作業.探究性作業有助于學生在“做”“思考”“實驗”“探究”等一系列的活動中發現和解決問題,體現思維的問題性、深刻性、靈活性、批判性和獨創性;有助于學生在呈現個性化思考的過程中獲得高階思維(分析、綜合、評價、創造),培養和發展學生的邏輯推理、數學抽象、直觀想象、數學建模、數學運算、數據分析等核心素養,從而發展實踐能力和創新能力.

數學探究性作業有實踐性、學生主體性、過程性、知能并重性等主要特點.相比傳統作業,探究性作業更強調“做中學”,突出實踐的作用,體現了作業的實踐性,有利于提升學生學以致用的能力;探究性作業更強調“選擇性”和“開放性”,學生自主選擇工具、知識和完成方式等,突出學生個體差異化發展,體現了作業的學生主體性,有利于因材施教,落實課改精神;探究性作業更強調“自主構建的完成過程”,作業的完成過程和評價過程是作業設計的重要環節,突出學生知識與能力形成的過程,體現了作業的詳細、客觀、公平的過程性;探究性作業更強調“四基”“四能”,在完成探究性作業的過程中,學生基于“四基”逐漸養成觀察、猜想、驗證、分析、推理、解決問題的邏輯思維習慣,從而培養和發展“四能”,提升綜合運用知識的能力,體現了作業的知能并重性,有利于發展學生的數學核心素養.

2 探究性作業的基本類型

數學探究性作業按不同的分類標準會有不同的類別.本文從內容角度將其簡單分為知識探究型作業和學術研究型作業兩大基本類型.

2.1 知識探究型作業

知識探究型作業從完成方式上又細分為閱讀型、猜想型、綜合型、實驗型、實踐型.實際上,知識探究型作業可以從完成方式的角度同時融合多種類型.

2.1.1 閱讀型作業

數學閱讀型作業提供了一份數學文字材料或圖表信息,讓學生在閱讀中探索、發現,獲取信息,運用規律,相互交流,考查學生的概括、歸納﹑整合能力.

例1問題情境:小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉,為了確定售價,小瑩幫媽媽調查了附近A,B,C,D,E這5家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況,記錄如表1所示:

表1 盆栽花卉售價與日銷售量情況

1)數據整理:請將表1中的調查數據按照一定順序重新整理,填寫在表2中.

表2 重新整理后的售價與日銷售量情況

2)模型建立:分析數據的變化規律,找出日銷售量與售價間的關系.

3)拓廣應用:根據以上信息,小瑩媽媽在銷售該種花卉時,①要想每天獲得400元的利潤,應如何定價?②售價定為多少時,每天能夠獲得最大利潤?

(2023年山東省臨沂市數學中考試題第23題)

評注題目引導學生經歷“生活情境(指定情境)→獲取數據(直接給出)→數據整理→模型建立→拓廣應用”的過程,滲透數學建模思想.其中“按照一定順序重新整理”“分析數據的變化規律”等信息的提取和理解是關鍵,促使學生聯系“描點法”作函數圖象的基本活動經驗,通過列表、作圖、觀察,利用幾何直觀觀察“點列”,判斷并建立一次函數模型從而解決問題.

2.1.2 猜想型作業

數學猜想型作業能充分激發學生的觀察力、想象力、推理類比能力等,在初中數學實施猜想型作業比完整的探究作業更精短、靈活,可以為綜合的探究性作業鋪路奠基.

例21)觀察分析:在一次數學綜合實踐活動中,教師向學生展示了如圖1～3所示的3幅圖形,請你結合自己所學的知識,觀察圖中陰影部分構成的圖案,寫出3個圖案都具有的2個共同特征:______,______;

圖1

圖3

2)動手操作:請在圖4中設計一個新的圖案,使其滿足你在1)中發現的共同特征.

(2023年山東省棗莊市數學中考試題第18題)

評注題目呈現了3個具有“軸對稱”“中心對稱”“面積相等”特征的圖形,引導學生觀察、歸納、猜想.

2.1.3 綜合型作業

數學綜合型作業是指綜合運用橫向或縱向多維度的知識、方法,以培養和發展學生“四基”“四能”為主要目的、純數學情境的題目.

例3如圖5,二次函數y=-x2+4x的圖象與x軸的正半軸交于點A,經過點A的直線與該函數圖象交于點B(1,3),與y軸交于點C.

圖5

1)求直線AB的函數表達式及點C的坐標.

2)如圖6和圖7,點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點,過點P作直線PE⊥x軸于點E,與直線AB交于點D,設點P的橫坐標為m.

圖6

②如圖8,當點P在直線AB上方時,聯結OP,過點B作BQ⊥x軸于點Q,BQ與OP交于點F,聯結DF,設四邊形FQED的面積為S,求S關于m的函數表達式,并求出S的最大值.

圖8

(2023年山西省數學中考試題第23題)

評注此題屬于二次函數綜合題,將二次函數的性質、一次函數的性質、特殊四邊形的判定和性質等知識綜合考查,運用分類討論思想是解題關鍵,屬于中考壓軸題.綜合型探究性作業多指此類具有綜合性,有一定挑戰性和思維含量的純數學情境問題.

2.1.4 實驗型作業

數學實驗型作業是指以動手實驗為情境特征和探究基礎的作業.實驗探究型作業凸顯“做中學”,使學生通過實驗去發現、提出問題,從而在分析、探究、解決問題的過程中,鞏固數學知識、形成關鍵能力、發展核心素養.

例4如圖9,將矩形紙片ABCD對折,使AD與BC重合,展平紙片,得到折痕EF;折疊紙片,使點B落在EF上,并使折痕經過點A,得到折痕AM,點B,E的對應點分別為點B′,E′,展平紙片,聯結AB′,BB′,BE′.請完成:

圖9

1)觀察圖9中的∠1,∠2和∠3,試猜想這3個角的大小關系;

2)證明1)中的猜想.

3)類比操作:如圖10,N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點,聯結BN,在AB上取一點P;折疊紙片,使點B,P重合,展平紙片,得到折痕;折疊紙片,使點B,P分別落在EF,BN上,得到折痕l,點B,P的對應點分別為點B′,P′,展平紙片,聯結P′B′,BB′.請證明BB′是∠NBC的一條三等分線.

圖10

(2023年廣西壯族自治區數學中考試題第26題節選)

評注此題以折紙這個操作簡單、富有數學趣味的動手實驗活動為情境載體,開展數學探究,探索數學奧秘.大量解決問題的點、線、角的關系等關鍵條件都隱含在折紙過程中,綜合考查學生問題解決的必備知識,以及幾何直觀和空間想象等核心素養,對學生發現問題、提出問題能力的培養具有重要作用.

2.1.5 實踐型作業

數學實踐型作業將自主探究、實踐體驗、合作交流的學習方式與更廣泛的社會實踐有機結合,形成體現豐富多彩的學習環境的相關作業,如調查型作業、體驗型作業等.

表3 活動報告

(2023年山西省數學中考試題第20題)

評注此題以“綜合與實踐”主題中實踐調查課題活動為背景,創設真實情境,并以活動報告的形式呈現解決問題的主要信息,同時滲透了學術調查的部分元素,體現了項目化學習的理念和學科育人的課程思政功能.

2.2 學術研究型作業

學生在學習過程中對某個數學內容或相關問題產生濃厚興趣,教師可從中選擇代表性的主題作為短程、中程或長程項目化作業,引導學生去探索研究,寫出研究報告等成果.例如,“綜合與實踐”類主題,可以調查當地水資源的利用和污染狀況并提出建議.

3 探究性作業的設計原則

在素養導向、以生為本的當下,作業設計理念既要關注知識、能力的考查,也要關注素養立意,彰顯育人本質.基于此,數學探究性作業需要遵循以下3個基本原則.

1)設計分層,注重面向全體學生.

數學探究性作業的完成過程要注重面向全體學生,有層次性,體現對個性差異的關注.由于探究性作業相比常規作業,多具有開放性、綜合性、探究性、難度較大等特點,尤其對學習基礎不扎實的學生“不太友好”.但探究性作業作為學科育人的一種方式,必須堅持以“學生的發展”為核心,面向全體,尊重個體差異,讓優等生、學困生都有收獲.層次性指作業探究過程有層次,完成方式和路徑多樣,如問題解決能逐層進階、一題多解、舉一反三、一題多變等.

2)情境科學性,凸顯問題探究價值.

數學探究性作業的問題情境要科學設置,能真實探究,促進學生的學習方式從“被學”向“自學”轉變.情境科學是指問題嵌套在真實的情境中,問題是學生未知的,能激發學生的好奇心與探究欲;解決問題的工具和條件隱含在情境中,需要學生進行批判性選擇和轉化;問題解決的方法不唯一,甚至最終答案也不唯一.問題情境要能引導學生從多個角度對有關問題做出思考和價值判斷,并能進行自主探究,從而使得情境對培養學生的參與意識、決策能力、創新意識以及科學精神、人文精神具有積極意義.探究性作業是探究式教學的延伸,可以促進教師教學方式、學生學習方式的進一步轉變,并形成良性循環,最終有效提升學生的探究意識和探究能力.

3)注重開放性,強化作業育人功能.

數學探究性作業要注重作業的開放性,以強化高階認知能力的培養.探究性作業的探究性與開放性緊密聯系.開放性作業設計可以是任務本身具有開放性,學生通過經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程,多角度、全方位地分析探索;可以是問題解決方法或任務完成過程具有開放性,切入口較寬,不能靠機械記憶、套用模式來尋求解決問題的方案,而需要運用多種思維方式;可以是答案不唯一,解法靈活多樣;也可以是多種開放的結合.開放性的作業更能有效激發學生的探究意識,以及獨立思考與合作探究的能力,有利于認知目標分類學體系中理解、應用、分析、綜合、評價、創造等高階認知能力的培養.

4 探究性作業的設計策略及案例分析

4.1 設計數學探究性作業的基本策略

基于中學數學探究性作業的內涵、特點、類型及設計原則,可結合設計框架(如圖12)設計探究性作業[2].

圖12 探究性數學作業的設計框架

首先,明確設計方向與類型.即在深刻理解《課標》、透徹分析教材、準確把握學情、明確素養導向的教學目標的基礎上,確定探究性作業的方向、類型,明確作業設計所蘊含的核心素養.

其次,設置作業情境與任務.通過整合優化教材中原有的探究性作業、改編教材或中考試題中的作業素材、聯系社會生產生活實際等方式進行作業情境與任務設計,著力設計能激發求知欲的情境與任務,以激活、強化學生在情境與任務中運用特定必備知識、關鍵能力、核心素養和具體目標行為解決問題的能力;將作業蘊含的核心素養表現特征具體化,并融入作業的探究過程設計中,促使學生在作業探究過程中有充分的展現空間.

最后,強化內容審查與改進.對情境的趣味性、綜合性與實踐性進行優化,包括情境對學生主動性學習、綜合性學習、問題解決能力培養等方面的促進效果;解決作業情境創設中的常見問題,如情境創設缺乏真實性、情境創設“穿靴戴帽”(情境任務與作業目標聯系不緊密,只是物理意義上的拼裝)、情境創設中的倫理問題等,確保情境真實(現實存在能重復或模擬的,反映真實生活對學生學習的要求)、復雜(需要進行判斷、分析、探索、整合與創新,以展現必備知識、關鍵能力,反映現實生活的復雜性)、有效(能有效激發學生的目標行為,促進深度學習發生,使學習表現得到準確評價);對探究過程、完成形式等載體進一步打磨,也可結合評價量表、量規等工具對評價方案進行完善.

4.2 數學探究性作業的案例賞析

圖13

圖14

圖16

(2023年湖北省鄂州市數學中考試題第23題)

數學探究性作業能促進教與學方式的轉變,加強“教考一致”,落實學科育人.數學教學要以學生發展為中心,數學教師要積極開展數學探究性作業的設計與實踐,在作業設計中增加探究性作業的實踐性、綜合性、探究性、開放性,從而更好地發揮作業的育人功能,促進學校教育教學質量的提升.