化靜為動,巧用“等腰翻折體”突破立體幾何題

潘一力, 顧予恒

(杭州第二中學錢江學校,浙江 杭州 311215)

引入空間向量后的立體幾何問題,走上了代數化的道路,這對許多空間想象能力較弱的學生來說無疑是個福音.對于題目中給出的常規幾何結構,如三線垂直、線面垂直、面面垂直,學生都能駕輕就熟地建立起空間直角坐標系.許多以往覺得困難的立體幾何問題,只要通過程序化的運算就能解決.

立體幾何研究的對象是各種幾何體,其中一些因具有某些特征而被稱為模型,如全等體、鱉臑體、陽馬體、墻角體等[1].有一個幾何體模型備受命題者青睞,那就是“等腰翻折體”模型.綜觀2023年全國數學高考試題,新課標Ⅱ卷第20題和乙卷理科第19題都考查了這個模型.筆者通過梳理近幾年高考試題以及各省市模考題,探究如何根據題干給出的條件,挖掘“等腰翻折體”,從而快速且模式化地解決問題.

1 初識“等腰翻折體”模型

一般的幾何體既可以看成是靜態的切割體(即從長方體中切割得到的),也可以看成是動態的翻折體(由平面圖形翻折得到的)[2].

圖1

1)證明:PO⊥平面ABC;

2)若點M在棱BC上,且MC=2MB,求點C到平面POM的距離.

(2018年全國數學高考Ⅱ卷第20題)

分析仔細解讀此題的條件,發現這個三棱錐里隱藏了4個等腰三角形,其中△ABC和△APC這兩個等腰三角形有一條公共的底邊AC.這個三棱錐可以看成是由兩個同底的等腰三角形沿著底邊翻折而成,它既具有翻折的動態特點,又具有等腰的幾何特征.

一般地,將兩個等腰三角形組成的四邊形沿三角形的公共底邊翻折形成的三棱錐,我們稱之為“等腰翻折體”.如圖2,三棱錐P-ABC就是由四邊形PBAC沿邊BC翻折而成,可以記為P-BC-A.

圖2

2 初探“等腰翻折體”模型的性質

性質1PB=PC,AB=AC.

性質2取BC的中點O,聯結PO,AO,則BC⊥平面POA.

性質3以O為坐標原點、OA為x軸、OC為y軸、過點O且垂直于底面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系,則點P在平面xOz內.

性質4若PO=a,則點P落在以O為圓心、a為半徑的圓上,其位置由二面角P-BC-A決定.記∠POA=θ,點P坐標為(acosθ,0,asinθ).

3 挖掘隱藏的“等腰翻折體”模型

類型1以角度為載體.

例2如圖3,在四面體A-BCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.

圖3

1)證明:平面BED⊥平面ACD;

2)設AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當△AFC的面積最小時,求三棱錐F-ABC的體積.

(2022年全國數學高考乙卷文科理科第18題)

分析由AD=CD,∠ADB=∠BDC,DB=DB,知△ADB≌△CDB,故BA=BC,△ABC是一個等腰三角形.又由條件知△ADC是等腰三角形,且兩個三角形共用了一條邊AC,于是找到了等腰翻折體D-AC-B.要注意根據題干條件,四面體A-BCD并沒有唯一確定,可視為△ADC在翻折過程中的任意位置所形成的三棱錐D-ABC都符合條件.

第1)小題只是定性的研究,由性質2知AC⊥平面BED,從而平面BED⊥平面ACD.

第2)小題長度條件的加入,使得問題從定性研究轉為定量求解.相當于△ADC恰好翻折到BD=2的位置,此時三棱錐D-ABC也唯一確定了.

評注此題的幾何解法充分挖掘了等腰翻折體的“翻折”過程,注意到圖形動態變化的特點.長度與角度等定量條件的加入,使得圖形唯一確定,從而才能求體積的確定值.

同樣的類型也出現在2023年浙江省杭州市高三數學二模試卷中,這里用空間向量的方法來解決.

例3如圖4,在三棱錐S-ABC中,底面△ABC為等腰直角三角形,∠SAB=∠SCB=∠ABC=90°.

圖4

1)求證:AC⊥SB;

(2023年浙江省杭州市高三數學二模試題第19題)

分析易知SA=SC,從而S-AC-B是一個等腰翻折體.僅憑題干條件,三棱錐S-ABC依然是不確定的幾何體.

所以

AC⊥SB.

評注此題是用坐標法解決問題,利用性質4來設點是成功的重要一步.

例4如圖5,在三棱錐D-ABC中,AB=BC=CD=DA,∠ABC=90°,E,F,O分別是棱BC,DA,AC的中點,記直線EF與平面BOD所成角為θ,則θ的取值范圍是

圖5

( )

(2021年1月浙江省高中學業水平考試數學試題第18題)

分析注意到AB=BC=CD=DA,因此,這是一個等腰翻折體.以動態視角來看,這個幾何體可以看成是一個正方形沿著對角線AC翻折得到,因此,題中點D的位置是不確定的.隨著翻折角度的變化,θ也跟著變化.

因為cosα∈(-1,1),所以

即

故選C.

評注此題限制條件的“不足”,讓幾何體變得不唯一確定,于是從靜態求值轉變為動態求范圍,經歷翻折問題一般化的過程.

圖6

1)證明:EF∥平面ADO;

2)證明:平面ADO⊥平面BEF;

3)求二面角D-AO-C的大小.

(2023年全國數學高考乙卷理科試題第19題)

分析由BF⊥AO易得F為AC的中點,從而OF是BC的中垂線,故BF=FC.由PB=PC,我們找到了等腰翻折體P-BC-F.

評注由于等腰翻折體建系的優勢,點P的坐標只包含兩個未知數,利用方程的思想,就可以求出點的坐標.有了所有點的坐標,后續證明面面垂直或求二面角就易如反掌.

類型2以多面體為載體.

例6如圖7,在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.

圖7

1)證明:BC⊥DA;

(2023年全國數學高考Ⅱ卷第20題)

分析由△ADC≌△ADB知AC=AB,可找到等腰翻折體A-BC-D.

若設DA=1,則由題目條件知等腰翻折體的每條邊長都可求,不難發現這個等腰翻折體形成的二面角恰好為直二面角,可以建立如圖7所示的空間直角坐標系,后面的解答過程不再贅述(略).

類型3以四棱錐為載體.

圖8

1)證明:平面PAC⊥平面ABCD;

2)若PA⊥PC,求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值.

(2023年廣東省深圳市數學一模試題第19題)

分析由PD=PB和菱形ABCD易得等腰翻折體P-BD-A.由BD⊥平面PAC,得平面PAC⊥平面ABCD.

類型4以斜棱柱為載體.

圖9

1)證明:A1A=A1C;

(2023年廣東省深圳市數學二模試題第19題)

分析例8從結論倒推,由于第1)小題要證A1A=A1C,結合題干條件AB=BC易知這個斜棱柱里藏著一個等腰翻折體A1-AC-B.

第1)小題簡證:不妨取AC的中點O,聯結A1O和OB.由等腰翻折體性質2知AC⊥平面A1OB,因此,可以反過來通過證明AC⊥平面A1OB來說明A1A=A1C.顯然由于AC⊥OB,AC⊥A1B,可得AC⊥平面A1OB.

類型5以棱臺為載體.

例9如圖10,在正三棱臺ABC-DEF中,M,N分別為棱AB,BC的中點,AB=2DE.

圖10

1)證明:四邊形MNFD為矩形;

2)若四邊形MNFD為正方形,求直線BC與平面ACFD所成角的正弦值.

(2023年山東省濟南市數學二模試題第19題)

分析許多學生卡在了第1)小題,不知道如何證明MN⊥MD.事實上,如果能夠在這個正棱臺中發現等腰翻折體,問題就迎刃而解了.

將正三棱臺ABC-DEF補成正三棱錐,如圖10所示.由于PA=PC,AB=BC,易得等腰翻折體P-AC-B,取AC的中點O,由等腰翻折體性質2知AC⊥平面POB,故AC⊥PB.由于MD∥PB,MN∥AC,因此MN⊥MD.

對于第2)小題,若MNFD為正方形,則正三棱錐P-ABC就變成正四面體,線面角呼之欲出.

例10如圖11,在三棱臺ABC-A1B1C1中,A1C1=4,AC=6,D為線段AC上靠近C的三等分點.

圖11

(Z20名校聯盟2023屆高三第三次數學聯考試題第20題)

4 利用“等腰翻折體”解決立體幾何問題的基本步驟

第1步,理清題干條件,找到“等腰翻折體”.

值得關注的題干條件包括線段長度相同、角度相同、等邊三角形、等腰三角形、直角三角形斜中線、菱形等.若遇臺體,則可嘗試補全為錐體再找是否存在等腰三角形,也可關注臺體底面圖形的邊長和夾角,在內部找等腰三角形.

第2步,以“等腰翻折體”公共底邊的中點為原點建立空間直角坐標系.

這樣建系的好處是等腰翻折體的頂點在坐標平面內,點的坐標越簡單,后續向量的坐標運算越簡便.

第3步,求出“等腰翻折體”頂點的坐標(幾何法、代數法),代數求解問題.

幾何法需要找到等腰翻折體的二面角大小,通常情況下是由這兩個等腰三角形頂點在翻折后連成的線段長度決定的.代數法本質上就是方程思想.由于等腰翻折體的建系方式使得一個頂點落在坐標平面內,因此,點的坐標只含兩個未知數,利用兩個條件轉化為兩個方程求解即可.

5 結束語

等腰翻折體在近幾年的高考試題和模擬題中出現的頻次很高,是一個值得引起教師和學生重視的基本模型.它變化多端,不僅存在于三棱錐,也深藏于四棱錐、斜棱柱和棱臺之中.兩個同底的等腰三角形的結構不僅會以長度相等的形式給出,也可以以角度相等的形式出現.

“化靜為動”是利用等腰翻折體解決立體幾何問題的核心.在靜態的圖形中找到動態的等腰翻折體,從而成功地建立空間直角坐標系,為定性證明和定量求值做好鋪墊.熟悉基礎模型,可以幫助學生突破建系和設點的難度.

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中指出,在空間向量與立體幾何的教學中,要鼓勵學生靈活運用向量法與綜合幾何法,從不同角度解決立體幾何問題,通過對比體會向量法的優勢.而本文闡述的利用等腰翻折體模型的解題方法充分體現了向量法的優勢.對于學生而言,理解起來并不困難,是一個易于掌握的“模式化”解題方法.