借助幾何直觀 發(fā)展推理能力
——以一道初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題為例

李欣欣, 孫 凱

(蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校,江蘇 蘇州 215151)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)在命題原則中指出,堅(jiān)持素養(yǎng)立意,凸顯育人導(dǎo)向,綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng)[1].幾何直觀和推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分,在初中學(xué)業(yè)水平考試(以下簡(jiǎn)稱“中考”)數(shù)學(xué)試題命制中受到廣泛關(guān)注.數(shù)學(xué)中考試題作為義務(wù)教育階段對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)終結(jié)性評(píng)價(jià)的重要載體,不僅考查了教師教得怎么樣、學(xué)生學(xué)得如何,更重要的是通過(guò)測(cè)評(píng)引領(lǐng)教師依標(biāo)教學(xué),將發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)落地.《課標(biāo)》中明確了幾何直觀不再是一種行為,而是一種意識(shí)與習(xí)慣;推理能力是數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力之一,更是數(shù)學(xué)理性思維的主要形式[2].

在日常教學(xué)中,一線教師易將幾何直觀淺顯地理解成對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)與描述,推理能力就是證明,對(duì)關(guān)鍵能力的理解不到位,導(dǎo)致在幾何直觀和推理能力方面的培養(yǎng)效果不佳.課堂始終是培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的主陣地,需要教師加強(qiáng)對(duì)核心素養(yǎng)的理解,從更高站位設(shè)計(jì)課堂活動(dòng),準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育要求.筆者以2023年江蘇省蘇州市數(shù)學(xué)中考第25題為例,分析和呈現(xiàn)試題的常見解法,從學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)和推理能力的發(fā)展兩個(gè)方面給出教學(xué)啟示.

1 試題呈現(xiàn),命題分析

圖1

1)求證:△DBE∽△ABC;

2)若AF=2,求ED的長(zhǎng).

(2023年江蘇省蘇州市數(shù)學(xué)中考試題第25題)

1.1 依標(biāo)命題,考查能力

《課標(biāo)》將“圖形與幾何”領(lǐng)域分為“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”這3個(gè)主題.三角形、四邊形、圓是初中階段研究的主要圖形[3].在基礎(chǔ)知識(shí)方面,此題主要考查學(xué)生圓與相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識(shí);在能力素養(yǎng)方面,考查學(xué)生以具體圖形為抓手,理解問(wèn)題、分析問(wèn)題、獲取關(guān)鍵信息的能力,在經(jīng)歷得到和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程中,形成幾何直觀和推理能力,以及有條理地表達(dá)的能力.

1.2 綜合分析,關(guān)聯(lián)推演

第1)小題結(jié)合圓中弧、弦、角之間的關(guān)系易得∠BED=∠ACB=90°,∠D=∠A,從而△DBE∽△ABC.經(jīng)過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn),第1)小題的結(jié)論起著導(dǎo)引的作用.因?yàn)椤鱀BE∽△ABC,所以可先求出△DBE中的邊BE或者BD,再通過(guò)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例或者借助∠DBE的三角函數(shù)即可求出ED的長(zhǎng)度;由△DBE∽△ABC還可以發(fā)現(xiàn),∠ABC=∠DBE,由此借助∠DBE的三角函數(shù)可以將Rt△DBE的3條邊統(tǒng)一用一個(gè)未知數(shù)表達(dá)出來(lái),再構(gòu)建合適的等量關(guān)系求解未知數(shù)亦可得ED的長(zhǎng)度;另外,通過(guò)分析還可以發(fā)現(xiàn)與ED相等的線段,此時(shí)可以轉(zhuǎn)換線段,從而求解問(wèn)題.

1.3 學(xué)會(huì)分析,規(guī)范解答

第1)小題起點(diǎn)低,比較簡(jiǎn)單,是對(duì)圖形的性質(zhì)與變化的簡(jiǎn)單考查,書寫上要求學(xué)生說(shuō)理清晰,論證充分,前后邏輯關(guān)系正確.第2)小題僅給出一個(gè)定量條件AF=2,要求另一條定長(zhǎng)線段,此處需要精準(zhǔn)分析條件之間的關(guān)系,找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn),充分進(jìn)行推理、轉(zhuǎn)化.從教學(xué)層面上來(lái)看,第2)小題檢驗(yàn)教師在分析問(wèn)題時(shí),是否教會(huì)學(xué)生方法,即明確未知量,尋找已知量,構(gòu)建未知量與已知量之間的橋梁,充分聯(lián)想,以舊法解新題,指導(dǎo)學(xué)生方法的遷移[4];在復(fù)習(xí)“圖形的性質(zhì)”時(shí),是否規(guī)范描述定理,重視證明過(guò)程的示范性、嚴(yán)謹(jǐn)性;在教學(xué)內(nèi)容上,是否加強(qiáng)整體分析,幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系,加強(qiáng)日常教學(xué)過(guò)程中幾何直觀的形成,注重推理能力的培養(yǎng).

2 發(fā)散視角,發(fā)展能力

2.1 第1)小題的解法分析

1)證明由AB是⊙O的直徑可知∠ACB=90°.又BE⊥CD,得∠BED=90°,于是

∠BED=∠ACB.

∠BDE=∠BAC,

故

△DBE∽△ABC.

第1)小題的結(jié)論為第2)小題的解決提供了一個(gè)明顯的方向,即根據(jù)△DBE∽△ABC,利用對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可以求解ED的長(zhǎng)度.因?yàn)椤鰽BC的3條邊的長(zhǎng)度已知或可求,所以通過(guò)分析推理計(jì)算出BE或者BD的長(zhǎng)度即可,在解決新問(wèn)題時(shí)要關(guān)注前后之間的聯(lián)系.

2.2 第2)小題的解法分析

思路1構(gòu)建直觀模型,推理解決問(wèn)題[5].

圖2

從而

由CH⊥AB可知

AH=AC·cosA=1.

又AF=2,則AH=FH=1,

從而△ACF為等腰三角形,于是

AC=FC,

進(jìn)而

∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF,

得

BD=BF=AB-AF=3.

因?yàn)椤鱀BE∽△ABC,所以

故

評(píng)注解法1借助第1)小題的結(jié)論,容易想到利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的性質(zhì)求解未知量,此時(shí)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求解BD的長(zhǎng)度.通過(guò)作邊AB上的高,運(yùn)算推理發(fā)現(xiàn)BF=BD,再根據(jù)△DBE∽△ABC,分析求解第2)小題中ED的長(zhǎng)度.解法1利用兩個(gè)問(wèn)題之間的聯(lián)系,是較為常規(guī)且自然的解法.

因?yàn)?∠CHF=∠BEF=90°, ∠CFH=∠BFE,

所以

Rt△CFH∽R(shí)t△BFE,

從而

于是

評(píng)注解法2通過(guò)作邊AB上的高CH,發(fā)現(xiàn)Rt△CFH∽R(shí)t△BFE,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的性質(zhì),求出BE的長(zhǎng)度,再由△DBE∽△ABC,求解ED的長(zhǎng)度.

解法3過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M,如圖3所示.由解法1可知AB=5,BF=3.因?yàn)?/p>

圖3

FM⊥BC,AC⊥BC,

所以

FM∥AC,

從而

△FBM∽△ABC,

于是

得

故

在Rt△CMF中,

因?yàn)?∠CMF=∠CEB, ∠FCM=∠BCE,

所以

△CFM∽△CBE,

從而

于是

由△DBE∽△ABC,得

評(píng)注解法3通過(guò)△FBM∽△ABC或者∠FBM的正弦函數(shù)或者面積法求邊BC上的高FM.接著由△CFM∽△CBE,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的性質(zhì)求出BE的長(zhǎng)度,再由△DBE∽△ABC,求解ED的長(zhǎng)度.解法3在過(guò)程上相較解法1和解法2要復(fù)雜一些,其主要目的仍然是先求出BE的長(zhǎng)度.

解法4如圖2,由解法1可知

因?yàn)?/p>

所以

由△DBE∽△ABC,得

評(píng)注解法4通過(guò)面積法求邊CF上的高BE,相對(duì)解法3更加巧妙.解法3和解法4殊途同歸,最終都是為了求出BE的長(zhǎng)度,再根據(jù)△DBE∽△ABC,求解ED的長(zhǎng)度.

思路2構(gòu)建等量關(guān)系,推理解決問(wèn)題.

解法5如圖1,由解法1可知BF=3.在Rt△BED中,

設(shè)ED=x,則

因?yàn)?∠A=∠D, ∠AFC=∠DFB,

所以

△ACF∽△DBF,

從而

于是

DF=2x,

即

解得

解法6如圖1,與解法5類似,設(shè)ED=x,則

DF=2x,

從而

EF=DE=x.

在Rt△BEF中,

BE2+EF2=BF2,

即

x2+(2x)2=32,

解得

評(píng)注解法6通過(guò)代數(shù)推理發(fā)現(xiàn)EF=DE,以構(gòu)建等量關(guān)系為原則,求解方程.在解題過(guò)程中,以建構(gòu)關(guān)系為根本任務(wù),主動(dòng)進(jìn)行信息加工,突破思維障礙,在學(xué)會(huì)求解策略的同時(shí),也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[6].

解法7過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CF于點(diǎn)G,垂足為G,如圖4所示.因?yàn)椤螦GF=∠BEF=90°,∠AFG=∠BFE,所以

圖4

△AGF∽△BEF,

從而

設(shè)AG=4x,BE=6x,由

∠ACG+∠BCG=90°, ∠BCG+∠CBE=90°,

可知

∠ACG=∠CBE.

又

∠AGC=∠CEB=90°,

從而

△AGC∽△CEB,

于是

故

CG=3x.

在Rt△ACG中,

AG2+CG2=AC2,

從而

解得

于是

由△DBE∽△ABC,得

評(píng)注解法7構(gòu)建△AGF∽△BEF,根據(jù)已知的相似比,用一個(gè)未知數(shù)表示出AG,BE的長(zhǎng)度.再根據(jù)△AGC∽△CEB表示出CG的長(zhǎng)度,此時(shí)在Rt△ACG中利用勾股定理構(gòu)造等量關(guān)系求解方程,易得BE的長(zhǎng)度,再由△DBE∽△ABC,求解ED的長(zhǎng)度.

在求解線段長(zhǎng)度的時(shí)候,若不容易直接求解,則可以尋找長(zhǎng)度相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解.

思路3構(gòu)建相等線段,推理解決問(wèn)題.

解法8過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB,垂足為H;過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M,垂足為M,如圖5所示.

圖5

根據(jù)第1)小題可知

∠DBE=∠ABC.

由解法1可知

∠BFD=∠BDF,

則

BF=BD.

由BE⊥CD知

∠FBE=∠DBE,EF=ED,

從而

∠FBE=∠ABC.

又FM⊥BC,FE⊥BE,得

FM=FE,

從而

FM=ED.

所以

故

評(píng)注解法8是解法1和解法3的融合,利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)建相等線段,轉(zhuǎn)換求解ED的長(zhǎng)度.

解法9如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB,垂足為H.由解法1可知

又BE⊥CD,從而

EF=ED.

因?yàn)镽t△CFH∽R(shí)t△BFE,所以

故

評(píng)注解法9通過(guò)推理發(fā)現(xiàn)與ED相等的線段EF,綜合解法2中Rt△CFH∽R(shí)t△BFE,得到EF的長(zhǎng)度,從而求解ED的長(zhǎng)度.在教學(xué)過(guò)程中,題目的解決僅僅是起點(diǎn),數(shù)學(xué)思維方法的歸納和提煉才是落腳點(diǎn)[7].這里提出的“構(gòu)建相等線段,推理解決問(wèn)題”為日后遇到類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了思考的方向.

3 教學(xué)啟示

3.1 借助幾何直觀,構(gòu)建直觀模型

達(dá)成幾何直觀的過(guò)程是指從對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)開始,理解圖形的特征、性質(zhì),逐步建立起圖形和其他問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系,習(xí)得數(shù)形結(jié)合的方法,最后主動(dòng)應(yīng)用圖形來(lái)分析、探索其他問(wèn)題.在幾何教學(xué)過(guò)程中,教師要指導(dǎo)學(xué)生充分挖掘圖形的有效信息,建立數(shù)與形之間的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型.例如,例1第2)小題的思路1就是構(gòu)建直觀的相似三角形,利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)求解問(wèn)題.在確定好方法后,就需要去分析梳理圖中線段之間的關(guān)系,在作出輔助線發(fā)現(xiàn)△ACF是等腰三角形后,圖中隱藏的關(guān)系就全部顯現(xiàn)出來(lái).思路2雖然是以代數(shù)的方法建立等量關(guān)系進(jìn)行求解,但在推理運(yùn)算求解之初,仍然是從幾何直觀的角度發(fā)現(xiàn)了Rt△BED的3條邊關(guān)系,才得以用一個(gè)未知數(shù)巧妙設(shè)出3條邊的長(zhǎng)度.在平時(shí)教學(xué)中,教師要鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度考慮問(wèn)題,幫助學(xué)生感受幾何直觀的優(yōu)勢(shì)所在,在遇到新問(wèn)題時(shí)形成自己的方法和策略.同時(shí),教師應(yīng)不斷挖掘幾何直觀的素材,為學(xué)生發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)創(chuàng)造機(jī)會(huì).例如,在“尺規(guī)作圖”教學(xué)中,可以讓學(xué)生先感受圖形的存在性,由直觀建立表象[8],分析各元素之間的關(guān)系,教師可以與學(xué)生一起動(dòng)手實(shí)踐,構(gòu)建直觀模型.借助直觀圖形合理地提出與作圖相關(guān)的問(wèn)題,再研究作圖的步驟,思考作圖過(guò)程的合理性,反思作圖過(guò)程的邏輯性,使幾何直觀與推理能力相輔相成.

3.2 發(fā)展推理能力,提升數(shù)學(xué)思維

《課標(biāo)》指出,在義務(wù)教育階段,數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)和推理能力,而推理是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中最能反映數(shù)學(xué)獨(dú)特思維價(jià)值的部分.在“三會(huì)”結(jié)構(gòu)中,數(shù)學(xué)思維事實(shí)上也側(cè)重于推理.因此,在教學(xué)實(shí)踐中,發(fā)展推理能力是一種提升數(shù)學(xué)思維較為直接的方式.例1體現(xiàn)了對(duì)推理能力的考查,而推理能力的培養(yǎng)應(yīng)該重在平時(shí),落實(shí)在日常的每一節(jié)課中.例如,在“乘法公式”的教學(xué)中,教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)關(guān)注公式的推理和形成過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生猜想、歸納、總結(jié),繼而形成嚴(yán)密的代數(shù)推理過(guò)程,而不是簡(jiǎn)單記憶公式結(jié)果.又如,在引導(dǎo)學(xué)生探究“三角形三邊關(guān)系”時(shí),可以通過(guò)小組合作的方式,借助有長(zhǎng)度標(biāo)識(shí)的小木棒進(jìn)行實(shí)踐操作,合情推理發(fā)現(xiàn)三角形任意兩邊之和大于第三邊,在此基礎(chǔ)上依據(jù)理論事實(shí)演繹推理結(jié)果的合理性.在日常教學(xué)過(guò)程中,還可以有梯度地進(jìn)行追問(wèn),以此激發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深度理解與思考,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體把握,讓數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)得以落實(shí).在推理過(guò)程中,教師應(yīng)重視推理的層次性、連貫性、嚴(yán)謹(jǐn)性,在學(xué)生剛剛接觸代數(shù)或幾何推理的時(shí)候,要花大量的時(shí)間進(jìn)行示范,讓學(xué)生體會(huì)推理的意義與價(jià)值,發(fā)現(xiàn)推理在分析和解決問(wèn)題過(guò)程中不可替代的作用,這對(duì)于提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維、培育核心素養(yǎng)具有重要意義.