基于改進Ratio統計量的重尾AR(p)時間序列均值變點檢驗

張 思，劉 葉，金 浩,b

（西安科技大學a.理學院；b.計算機科學與技術學院，西安 710600）

0 引言

在過去的幾十年里，時間序列均值變點問題受到了廣泛的關注[1]。在現有的研究成果中，誤差項大多是高斯吸收域，事實上，許多經濟和金融時間序列可能具有重尾無限方差，因此，具有重尾無限方差信息過程的序列引起了統計學家極大的興趣[2—6]。

均值變點是最常見的變點，其最常用的檢驗統計量是基于回歸殘差的累積和（CUSUM）統計量。然而，Antoch等（1997）[7]強調CUSUM統計量需要估計長期方差，即使在獨立的情況下，長期方差估計也很難取得成效，特別是在備擇假設下。針對此不足，Cs?rg?和Horváth（1997）[8]指出，Ratio 檢驗統計量不需要被方差估計量標準化，這使它成為CUSUM 統計量的合適替代變量，尤其是在難以找到令人滿意的方差估計量的情況下。雖然Ratio統計量有效避免了長期方差估計問題，但對于重尾序列，其漸近分布包含未知且難以估計的重尾指數，因此，在實證分析中，由于重尾指數未知致使無法確定統計量的臨界值，因此極大地限制了檢驗方法的適用性。在此啟發下，本文構造了兩個修正的Ratio 檢驗統計量，并從理論角度說明其對于解決重尾AR（p）時間序列均值變點檢驗問題的有效性。

眾所周知，重尾序列含有“異常值”，這使得統計量的檢驗功效呈現不穩健性，如在原假設下會出現經驗水平扭曲的現象。因此，本文采用Wild Bootstrap（WB）重抽樣方法克服此缺陷。WB方法最初由Wu（1986）[9]提出，Djogbenou等（2019）[10]給出了帶有聚類錯誤的Wild Bootstrap漸近理論。本文通過數值模擬及仿真實驗證明所提方法的相關特性，并通過一組實際的金融數據，從實際應用角度分析本文所提出的檢驗統計量的適用性。

1 模型與統計量

本文考慮含有一個均值變點的AR（p）重尾時間序列模型：

其中，μ和?是未知參數，1{}?是示性函數，k*是變點時刻，隨機序列是一個AR（p）過程，p是大于0 的整數，是滿足給定假設的獨立同分布重尾序列。假設檢驗如下:

原假設為H0:k*=T

備擇假設為H1:1

為得到檢驗統計量的漸近分布，先給出必要的假設條件和引理。

假設1：方程1-β1z-β2z2-…-βpzp=0 的根都在單位圓之外。

引理1（中心極限定理）：在假設1和假設2下，有：

引理1 是關于一階和二階樣本矩的聯合泛函中心極限定理。Resnick（1986）[14]給出了引理1的證明，同時指出aT=T1αl(T)，其中l(?)是慢變函數。

在給出檢驗統計量在原假設和備擇假設下的漸近分布之前，先定義如下隨機變量：

定理1（原假設）：在原假設H0和假設1 至假設2 下，當T→∞時，有：

證明：根據最小二乘估計，計算殘差序列：

構造對角元素為aT的對角矩陣A，則有這表明估計量?是β的一致估計量，且有用類似的處理方法，同理可證基于殘差序列得到的回歸系數估計量?均是一致估計。

利用式（5），最值型Ratio統計量M(k)的分子有：

同理可證統計量分母的極限分布為：

聯立式（8）至式（10），最值型Ratio 統計量M(k)在原假設下的漸近分布為:

同理可證，統計量S(k)的漸近分布為:

定理1證畢。

定理2（備擇假設）：在備擇假設H1和假設假設1至假設2下，令，當T→∞時，有：

證明：當k*

向量中其他元素同樣以Op(T-1) 的速度收斂，則=Op(1)。構造對角元素分別為aT和T的對角矩陣A和B，綜合以上的結論，不難發現，因此，在備擇假設下，當k*

下面僅證明最值型統計量M(k)的發散性，積分型統計量S(k)的發散性同理可證。現分三種情形討論M(k)在備擇假設下的漸近性。

（1）當k=k*時，整個樣本被分為兩個子樣本。因其分子包含了整個樣本信息，因此，依據上述證明過程可知，基于殘差序列及回歸系數估計量，有：

注意到：

顯然上式右邊后兩項起決定性作用，則：

根據M(k)統計量的構造形式，分母不包含均值變點，則其漸近分布保持不變，即：

聯立式（14）和式（15），當k=k*時，統計量的漸近分布為：

此時，統計量以速度發散到無窮。

（2）當k>k*時，由上述證明可知，統計量分子的漸近分布為：

由于統計量分母的第一部分包含變點，則：

同樣，上式右邊后兩項起決定性作用，于是：

所以此時統計量的極限分布為：

但統計量分母的第二部分不包含變點，所以與原假設有相同的結論。綜合式（16）和式（17），則此時統計量有界不發散。

（3）當k

結合式（16）至式（18），最值型Ratio 統計量M(k)在k*=k時達到最大值，且以速度發散。類似的，積分型Ratio 統計量S(k)在備擇假設下具有類似漸近分布。定理得證。

由于統計量的漸近分布依賴于未知的重尾指數α，因此Mandebro（t1963）[15]提出了一種粗略估計α的方法，但其準確性較低。研究表明，Wild Bootstrap重抽樣法可以有效避免估計重尾指數α，定義如下：

其中，ζt是一個獨立同分布的標準正態分布隨機變量，yt和ζt相互獨立。具體步驟如表1所示。

表1 Wild Bootstrap重抽樣法步驟

Wild Bootstrap 重抽樣的思想在某種意義上是通過Bootstrap檢驗統計量的分布逼近檢驗統計量的原始分布，從而模擬（經驗）分布來計算Bootstrap臨界值，并將其與原始檢驗統計量的值進行比較，以判斷是否拒絕原假設。

2 數值模擬

本文采用Monte Carlo數值模擬分析修正的Ratio統計量對重尾AR（p）時間序列均值變點檢驗的有效性。以一階自回歸過程為例：

其中，εt和ηt是滿足假設1和假設2的隨機變量。

不失一般性，假設μ=0，重尾指數為α={1.1,1.2,…,2.0}的對稱重尾隨機數據，均使用John P.Nolan 提出的STABLE 4.0 軟件生成。參數設置：樣本容量為T={100,300,500,1000}，跳躍幅度為?={1 ,3,5} ，變點位置為v*=，自回歸系數為β={-0.8,-0.5,-0.3,0,0.3,0.5,0.8}，拒絕率在5%的顯著性水平上循環3000次實現。

統計量在原假設和備擇假設下的拒絕率見圖1 至圖3。圖1中所有子圖描述了在原假設不同參數條件下兩個統計量的經驗水平，結果表明，隨著樣本容量T的增大，統計量的經驗水平逐漸接近顯著性水平，而對于不同的重尾指數α和自回歸系數β，檢驗統計量M(k)和S(k)的經驗水平沒有明顯的波動。這表明統計量在原假設下的經驗水平不受重尾指數α和自回歸系數β的影響。但對比自回歸系數β≤0 和β>0 兩種情況發現，β≤0 的經驗水平精確性略高于β>0 的情形。比較兩個檢驗統計量的經驗水平的精確性，積分型Ratio 統計量S(k)比最值型Ratio統計量M(k)能更好地穩定在顯著性水平附近。

圖1 修正統計量M( k )和S( k )在原假設下的Size-power圖

圖2 給出了在備擇假設下變點位置為v*=T/4 時，檢驗統計量在不同參數條件下的拒絕率。結果表明，即使在小樣本下，統計量也表現出良好的性能，尤其隨著樣本容量和重尾指數的增大，拒絕率逐漸趨近于1；隨著回歸系數趨近于1，統計量的經驗勢逐漸降低，即越難檢測出變點；但隨著回歸系數趨近于-1，統計量的經驗勢卻逐漸增大，即使對于小的跳躍幅度也能容易檢驗。例如，在同種情形下，β=-0.8 的拒絕率遠高于β=0.8 的拒絕率，這一性質與統計量在備擇假設下極限分布中的相呼應。以上是修正的統計量M(k)和S(k)所具有的共同特點，但對比統計量M(k)和S(k)發現，在同等條件下，統計量M(k)的拒絕率略高于統計量S(k)的拒絕率。這一結論與在原假設下的結論恰好相反，這說明在不同的需求下，應當選擇更為合適的統計量進行檢驗。

圖2 修正統計量M( k )和S( k )在備擇假設下的Size-power圖(?=1,3,5,v*=T/ 4)

圖3 給出了在備擇假設下變點位置為v*=T/2 時檢驗統計量在不同參數條件下的拒絕率。圖3 具備與圖2類似的基本規律，但不同的變點位置對拒絕率有一定影響。當變點位置位于v*=T/2 時，拒絕率高于變點位置位于v*=T/ 4 的拒絕率。事實上，在所有的變點位置中，v*=T/2 處的拒絕率最高。總之，從數值角度證實了本文所提出的兩種修正的檢驗統計量關于重尾AR（p）時間序列均值變點檢驗的有效性。

圖3 修正統計量M( k) 和S( k) 在備擇假設下的Size-power圖(?=1,3,5,v*=T/2)

3 實證分析

本文以上證交易所上海第一百貨有限公司（No.1 SDS）每日股票開盤價共700 個觀測值為樣本（1999.7.16—2002.6.28，數據來源于http：//stock.business.sohu.com），分析樣本可能存在的均值變點。結果顯示，觀測序列顯示出大量的“離群值”，這是他們具備重尾分布特性的表現。通過擬合，該組數據為重尾指數α=1.72 的重尾時間序列，采用AIC定階準則建立一階自回歸模型。

將觀測樣本分別代入兩個Ratio統計量，得到M700(k)=1.5188 和S700(k)=7.0481。兩個統計量的臨界值分別為M7*00(k)=1.35 和S7*00(k)=6.55，兩個統計量都拒絕原假設，這表明該組數據均值存在變點。利用變點位置估計量估計得到變點位置k?*=480，對應于2001年7月19日的股票數據。此前的股票價格均值約為11.16，之后的均值約為8.63，所以No.1 SDS股票價格在7月之后有明顯下降。

究其原因，這一變化源于No.1 SDS 在2001 年的一系列結構變化。2001 年4 月7 日，公司召開三屆六次監事會，會議審議并通過《公司監事會換屆選舉提案》；在5 月24日第8次董事會第3次會議上，公司宣布決定剝離其子公司，并將其出售給其股東之一的華聯集團有限公司；接著在6月1日，公司召開股東大會審議并通過《公司董事會換屆選舉議案》。這一系列決策意味著公司結構存在重大變化，同年7月公司實施了上年股東大會審議通過的該年度資本公積金轉增股本方案，即以上年末公司總股本為基數，以資本公積金向全體股東每10股轉增1股，股權登記日為7月19日，除權日及新增可流通股份上市交易日為7月20日，這一方案調整直接導致了公司股票價格下降。

4 結束語

為避免長期方差的估計問題，本文提出兩個修正的Ratio統計量研究重尾AR（p）時間序列變點檢驗問題。在原假設下推導了兩個統計量的漸近分布，并在備擇假設下證明其一致性。針對重尾序列易受“異常值”影響的不足，通過采用Wild Bootstrap 重抽樣方法來獲得較為精確的臨界值。數值模擬表明，兩個統計量都表現出很好的檢驗功效；特別的，在原假設下臨界值均不受重尾指數和自回歸系數影響。最后采用上海第一百貨有限公司股票數據，從實際應用角度進一步說明本文統計量的適用性。