基于四類時間序列模型的GDP預(yù)測效果比較

聶淑媛

（洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 洛陽 471934）

0 引言

國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是衡量國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的綜合性統(tǒng)計指標(biāo)，是國力和財富的體現(xiàn)，分析GDP的發(fā)展規(guī)律并適度預(yù)測其趨勢特征，是推動經(jīng)濟(jì)市場健康穩(wěn)定、優(yōu)化宏觀調(diào)控措施的前提和依據(jù)。國內(nèi)學(xué)者依托各種理論創(chuàng)建多樣化的模型開展了對GDP 的實(shí)證研究：李佳等（2020）[1]立足于最新的深度學(xué)習(xí)理論，創(chuàng)設(shè)了獨(dú)立循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)IndRNN 模型；謝成興和王豐效（2020）[2]以時間序列、灰色系統(tǒng)和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論為基礎(chǔ)，構(gòu)造了ARIMA-DGM-BP 組合模型；羅志丹和劉英（2020）[3]利用集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EEMD）法分解GDP，創(chuàng)設(shè)了BPNN 模型、ARIMA模型、EEMD-PSOBPNN-ARIMA混合模型等，并通過仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較分析；郭紅麗和王華（2020）[4]、徐映梅和陳堯（2021）[5]分別深入探討了計量經(jīng)濟(jì)模型、季節(jié)時間序列模型、LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對GDP序列的擬合效果。

本文以SAS 軟件為分析工具，擬對GDP 數(shù)據(jù)（記為xt序列）構(gòu)建多種時間序列模型，設(shè)立評價標(biāo)準(zhǔn)，從而探索其最優(yōu)擬合模型。

1 數(shù)據(jù)來源與評價指標(biāo)選取

本文選取我國1992—2020年的季度GDP數(shù)據(jù)為研究樣本，數(shù)據(jù)來源于國家統(tǒng)計局官方網(wǎng)站，其時序圖如圖1所示。總體來看，序列呈現(xiàn)明顯的上升趨勢，以及以年為周期的季節(jié)效應(yīng)，屬于具備典型周期現(xiàn)象的非平穩(wěn)序列，故首先嘗試創(chuàng)建指數(shù)平滑模型和季節(jié)ARIMA模型。

圖1 GDP序列的時序圖

為比較不同模型的擬合優(yōu)度和預(yù)測精度，統(tǒng)一采用普適性和代表性強(qiáng)的平均絕對百分?jǐn)?shù)誤差（MAPE）作為評價指標(biāo)，其計算方法為：

其中，n是樣本數(shù)量，xt是序列的真實(shí)值，是擬合值或預(yù)測值。同時選取均方根誤差（RMSE）、可決系數(shù)（R2）、最小信息量AIC和SBC準(zhǔn)則等作為標(biāo)準(zhǔn)，用于輔助判斷[6,7]。

2 模型介紹與GDP預(yù)測效果比較

2.1 三參數(shù)指數(shù)平滑模型及預(yù)測

SAS軟件的ETS模塊設(shè)有專門的forecast過程，可利用各種平滑法快速、便捷地進(jìn)行預(yù)測。由于GDP 序列具有顯著的長期趨勢、季節(jié)效應(yīng)特征，根據(jù)時間序列的確定性因素分解思想，考慮選取Holt-Winters 三參數(shù)指數(shù)平滑模型。對指數(shù)平滑預(yù)測中的加法模型、乘法模型以及平滑系數(shù)初始值反復(fù)進(jìn)行嘗試，最終確定平滑系數(shù)為weight=（0.4,0.15,0.3）的乘法模型相對最優(yōu)，其擬合結(jié)果如下頁表1所示。

表1 指數(shù)平滑法的擬合結(jié)果

表1顯示模型的可決系數(shù)高達(dá)0.99，表明擬合效果較好。該模型不僅可給出序列原始數(shù)據(jù)的擬合值，還可以直接輸出相關(guān)建模參數(shù)，如MAPE=2.90，RMSE=3589.87 等。同時，根據(jù)表1中3個參數(shù)的最終迭代值，可得到該序列的三參數(shù)指數(shù)平滑乘法預(yù)測模型為：

其中，k為預(yù)測期數(shù)，第3 個參數(shù)即Sj對應(yīng)的4 個估計值，也是序列的季度季節(jié)指數(shù)，分別約等于0.89、0.99、1.02、1.10，據(jù)此模型即可向前進(jìn)行適度預(yù)測。

2.2 SARIMA模型及預(yù)測效果比較

2.2.1 選取模型

圖1 顯示，GDP 序列的周期波動范圍呈喇叭狀，即每個季節(jié)的振幅都隨著趨勢遞增而擴(kuò)大，說明季節(jié)效應(yīng)和趨勢特征之間具有顯著的交互作用，通常可采用乘法季節(jié)SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)S模型，其結(jié)構(gòu)表達(dá)式為：

其中，S是周期時間間隔，d是趨勢差分階數(shù)，D是以S為步長的季節(jié)差分階數(shù)；Φ(B)、Θ(B)分別是短期相關(guān)的p階自回歸和q階移動平均多項(xiàng)式；ΦS(B)、ΘS(B)分別表示季節(jié)性P階自回歸和Q階移動平均多項(xiàng)式。

2.2.2 創(chuàng)建SARIMA模型

在時間序列分析領(lǐng)域，差分運(yùn)算是一種極其簡便高效的確定性信息提取方法，先通過1階差分和4步差分提取xt序列的長期趨勢和季節(jié)效應(yīng)，時序圖和單位根檢驗(yàn)顯示差分后的dif1_4xt序列平穩(wěn)。進(jìn)一步考察其自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，圖2顯示4階內(nèi)二者均拖尾，且ARMA模型的階數(shù)通常都不是太高，故對短期相關(guān)特征p和q從1階到2階反復(fù)進(jìn)行嘗試。再考慮季節(jié)自相關(guān)階數(shù)，重點(diǎn)考察延遲4階、8階等以周期長度為單位的相關(guān)系數(shù)特征，可以認(rèn)為自相關(guān)系數(shù)截尾、偏自相關(guān)系數(shù)拖尾，故嘗試季節(jié)相關(guān)特征P=0，Q=1，2。

圖2 dif1_4 xt 序列的相關(guān)圖

以AIC、SBC 準(zhǔn)則為評價標(biāo)準(zhǔn)，最終選擇了最優(yōu)模型SARIMA（1，1，1）×（0，1，1）4，其參數(shù)估計結(jié)果見表2，檢驗(yàn)顯示4個參數(shù)和模型均顯著有效，由此可確定模型口徑為：

表2 SARIMA（1，1，1）×（0，1，1）4模型的參數(shù)估計和檢驗(yàn)

2.2.3 模型效果比較

為比較模型精度，先計算出SARIMA 模型的平均MAPE=2.14，結(jié)果遠(yuǎn)低于指數(shù)平滑模型的2.90，進(jìn)一步考察上述兩個模型擬合過程中的相對誤差指標(biāo)，其折線比較圖如圖3所示。顯然，指數(shù)平滑模型最初的擬合誤差特別大，這是因?yàn)槠涑跏计交禂?shù)是嘗試給定的。隨著平滑過程的迭代遞推，其MAPE 值逐步減小，但總體上略高于SARIMA模型的擬合誤差。

圖3 指數(shù)平滑和SARIMA模型的MAPE

同時，根據(jù)圖3 很容易注意到，兩個模型在2020 年第一季度的擬合誤差都極其異常，分別是13.67%和12.75%，幾乎是整個擬合過程中最大的相對誤差，后三個季度的MAPE大幅度降低，但仍明顯高于前幾年的擬合誤差。究其原因，2020 年初，新冠肺炎疫情暴發(fā)，交通運(yùn)輸、旅游、餐飲、教育培訓(xùn)等多個行業(yè)陷入前所未有的危機(jī)，致使第一季度GDP 負(fù)增長6.80%，幾乎回落到2017 年的同期水平。因此建模時要充分考慮疫情這一外部事件的“干預(yù)”效應(yīng)。

2.3 干預(yù)模型及預(yù)測效果比較

2.3.1 干預(yù)模型

1975年，美國統(tǒng)計學(xué)家博克斯（George E.P.Box）和刁錦寰（George C.Tiao）研究加州63 號法令對空氣污染現(xiàn)象的抑制效應(yīng)時，首次將定性的政策法規(guī)設(shè)為虛擬變量，并作為輸入變量引入多元時間序列分析領(lǐng)域，創(chuàng)建了含虛擬變量的ARIMAX模型，也稱為干預(yù)模型。根據(jù)外部事件的不同作用機(jī)制，干預(yù)變量可劃分為下述3種類型。

（1）階梯干預(yù)：指干預(yù)事件對響應(yīng)序列一直有影響，且影響力度基本保持不變。

干預(yù)變量通常可設(shè)為：

（2）脈沖干預(yù)：指干預(yù)事件只對當(dāng)期有影響。

干預(yù)變量可設(shè)為：

（3）混合類型的干預(yù)：一般是階梯干預(yù)和脈沖干預(yù)的轉(zhuǎn)換函數(shù)或組合。如干預(yù)事件對響應(yīng)序列一直有影響，但影響力度隨著時間推移而持續(xù)遞減，此時可利用階梯干預(yù)的傳遞函數(shù)表示干預(yù)變量：

其中，是階梯干預(yù)變量。

2.3.2 建立干預(yù)模型

毋庸置疑，新冠肺炎疫情對國內(nèi)外的經(jīng)濟(jì)循環(huán)和發(fā)展態(tài)勢呈現(xiàn)持續(xù)性影響，故設(shè)干預(yù)變量為：

為探究該變量對GDP 序列的影響力度和作用效應(yīng)，先得到干預(yù)變量和GDP序列xt的互相關(guān)圖，如圖4所示。圖4顯示，延遲0階時二者的互相關(guān)系數(shù)最大，其次是1 階，其余互相關(guān)系數(shù)均位于2 倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。仍然通過差分運(yùn)算把原序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，然后嘗試擬合干預(yù)模型：

圖4 兩個變量的互相關(guān)圖

綜合考察1 階4 步差分后，回歸模型中干預(yù)變量的傳遞函數(shù)階數(shù)，以及殘差序列的短期相關(guān)、季節(jié)相關(guān)階數(shù)，結(jié)合AIC、SBC 和RMSE 等指標(biāo)，得到了相對最優(yōu)干預(yù)模型，其參數(shù)估計結(jié)果見表3。

表3 干預(yù)模型的極大似然參數(shù)估計結(jié)果

由此可確定擬合的干預(yù)模型口徑為：

其中，εt～WN(0,21102)。

2.3.3 模型效果比較

根據(jù)表3可知，干預(yù)變量前的系數(shù)為負(fù)值，且t檢驗(yàn)顯著非零，表明疫情確實(shí)阻礙了經(jīng)濟(jì)發(fā)展。圖5是干預(yù)模型和SARIMA模型擬合過程中的MAPE折線比較圖，清晰顯示了對于絕大多數(shù)的擬合值，干預(yù)模型的MAPE都明顯低于SARIMA模型。計算可知，該干預(yù)模型的平均MAPE=1.47，比前兩個模型的平均相對誤差顯著減小。

圖5 SARIMA模型和干預(yù)模型的MAPE

特別值得強(qiáng)調(diào)的是，干預(yù)模型在2020 年第一季度的擬合誤差是3.48%，比SARIMA 模型的同期誤差下降了近10 個百分點(diǎn)，雖然第二季度的擬合誤差略有增大，但第三、第四季度的擬合誤差亦明顯降低，體現(xiàn)了干預(yù)的有效性。在時間序列分析領(lǐng)域，除了干預(yù)模型，經(jīng)常用于處理特殊事件影響的還有X-12-ARIMA模型[8]。

2.4 X-12-ARIMA模型及預(yù)測效果比較

2.4.1 X-12-ARIMA模型

經(jīng)濟(jì)時間序列一般都具有明顯的季節(jié)波動特征，為剔除經(jīng)濟(jì)發(fā)展總體趨勢中的季節(jié)影響因子[9]，早在1954 年，美國國情普查局就委托統(tǒng)計學(xué)家創(chuàng)設(shè)了計算機(jī)自動進(jìn)行計算的因素分解模型，經(jīng)過不斷地調(diào)試和完善，到1965年形成了相對比較完整、成熟的X-11 模型。在此基礎(chǔ)上，1998年進(jìn)一步研發(fā)了X-12程序，并和時間序列分析領(lǐng)域經(jīng)典的ARIMA 模型相結(jié)合，構(gòu)建了X-12-ARIMA 模型。其建模思路是：首先，借助回歸模型考察月度長度、季度長度、特殊節(jié)假日、交易日等不同因素對經(jīng)濟(jì)序列的影響效應(yīng)，對序列的特殊性進(jìn)行預(yù)處理；其次，對預(yù)處理后的序列（若回歸方程顯著則選取回歸殘差序列，否則選取原序列）擬合適當(dāng)?shù)腁RIMA模型；最后，根據(jù)上述擬合模型自動向前或向后預(yù)測，仍然依據(jù)X-11 過程的3 階段10 步迭代運(yùn)算原理進(jìn)行因素分解，最終實(shí)現(xiàn)回歸ARIMA 模型（記作regARIMA）和X-11模型的結(jié)合，從而完成擬合和預(yù)測。

2.4.2 創(chuàng)建X-12-ARIMA模型

（1）構(gòu)建GDP序列和疫情因素的回歸模型

首先考察新冠肺炎疫情對GDP 的異常影響，回歸模型的自變量即干預(yù)變量StT，特別強(qiáng)調(diào)，該變量并非SAS系統(tǒng)的預(yù)定義自變量，不能通過regression predefined 語句直接調(diào)用函數(shù)。在SAS程序中需要先自行定義變量StT，然后借助regression uservar=StT命令構(gòu)造回歸模型[10]。運(yùn)行結(jié)果顯示，回歸系數(shù)為-16966，對應(yīng)t統(tǒng)計量的P值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.0001，可決系數(shù)R2=0.9994，回歸模型xt=-16966StT+x*t顯著有效。

（2）對回歸殘差序列構(gòu)建ARIMA模型

考察回歸殘差序列x*t自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾或截尾特征，通過反復(fù)嘗試，最終確定擬合模型為SARIMA（1，1，0）×（1，1，0）4，其參數(shù)輸出結(jié)果見表4，由此可得regARIMA模型口徑為：

表4 regARIMA模型的參數(shù)估計和檢驗(yàn)結(jié)果

其中，x*t=xt+16966StT。

（3）擬合X-11模型

根據(jù)GDP 序列中季節(jié)、趨勢兩個因素之間的交互關(guān)系，再結(jié)合建模過程所顯示的“乘積季節(jié)模型始終優(yōu)于加法模型”，對regARIMA模型繼續(xù)構(gòu)造X-11乘法模型，從而可得X-12-ARIMA 模型季節(jié)效應(yīng)、趨勢效應(yīng)和隨機(jī)波動的因素分解以及對原始數(shù)據(jù)的擬合值、預(yù)測值等。

2.4.3 模型效果比較

X-12-ARIMA模型的輸出結(jié)果極其豐富，同樣根據(jù)擬合值計算MAPE，圖6 是X-12-ARIMA 模型和干預(yù)模型的MAPE比較圖，直觀顯示X-12-ARIMA模型的擬合誤差大幅度降低。為對比擬合精度，表5列出了所有模型在2020年4 個季度和1992—2020 年的平均MAPE 數(shù)值，先關(guān)注2020 年第一季度的擬合情況，后兩個模型顯著優(yōu)于前兩個模型，體現(xiàn)了異常值干預(yù)處理的必要性。對于后3個季度，X-12-ARIMA 模型的MAPE 也遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于前3 個模型。同時，從三參數(shù)指數(shù)平滑模型和SARIMA 模型到干預(yù)模型，再到X-12-ARIMA模型，平均MAPE迅速減小，特別是X-12-ARIMA 模型的平均MAPE=0.21，相比前3 個模型可謂斷崖式下降，比指數(shù)平滑模型的2.90減少近93%。

表5 不同模型的MAPE比較

圖6 干預(yù)模型和X-12-ARIMA模型的MAPE

2.5 模型預(yù)測結(jié)果分析

選取擬合精度最高的X-12-ARIMA模型作為GDP數(shù)據(jù)的相對最優(yōu)模型，依此向未來進(jìn)行4 步預(yù)測，可得2021年4 個季度的GDP 數(shù)值分別是249842、309567、331151、367241，與國家最新發(fā)布的2021 年第1 季度GDP 真實(shí)值249310 相比，其絕對誤差是532，相對誤差是0.21%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于上一年的同期誤差，擬合效果極其理想，圖7 是整個模型的擬合與預(yù)測效果圖。根據(jù)模型的因素分解結(jié)果，與前幾年同期進(jìn)行對比，2021年的季節(jié)因子和趨勢因子波動穩(wěn)定，表明疫情導(dǎo)致的危機(jī)逐漸減弱，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行環(huán)境趨好。

圖7 X-12-ARIMA模型的擬合與預(yù)測效果

3 結(jié)論

綜合4個模型的建模過程和實(shí)證分析，可以明確如下結(jié)論：

（1）新冠肺炎疫情這一突發(fā)性事件，對GDP有不容忽視的特殊影響。

（2）季節(jié)效應(yīng)和趨勢特征是對GDP 影響力度最強(qiáng)的兩大因子，總體而言，長期趨勢顯著上升，并且和季節(jié)因素相互交融。

（3）基于上述兩大特點(diǎn)，分別選取指數(shù)平滑乘法模型、SARIMA 模型、干預(yù)模型和X-12-ARIMA 模型，對GDP 序列進(jìn)行建模，并依據(jù)MAPE 等評價指標(biāo)對比模型精度，結(jié)果表明，X-12-ARIMA模型擬合效果最佳。

（4）根據(jù)X-12-ARIMA 模型進(jìn)行短期預(yù)測，結(jié)果顯示新冠肺炎疫情對經(jīng)濟(jì)的影響效應(yīng)越來越小，我國的GDP保持穩(wěn)步增長。