基于擴展有限元法梁裂紋擴展有限元分析

胡啟明，楊佳霖

(中國建筑第八工程局有限公司東北分公司,遼寧 大連 116000)

0 引言

混凝土是最常用的建筑材料,廣泛應用于土木工程、水利工程、礦業(yè)工程等領域。斷裂特性以及斷裂參數對工程的安全及耐久性具有重要影響[1]。近些年,由于混凝土結構破壞斷裂而引發(fā)的重大事故時有發(fā)生,造成了極其慘痛的后果,包括人員的傷亡和財產的損失。

混凝土材料具有抗拉強度低、易開裂等特點,而且絕大部分時間混凝土結構都是帶裂縫情況下工作。因此,研究出混凝土開裂破壞的機理和裂紋擴展的趨勢,并確定其中合理的斷裂參數,具有重大的理論價值和實際意義[2]。然而,混凝土結構作為一種復合材料,其機理結構并非均質,研究其斷裂過程將變得十分復雜,想要預測其裂紋的斷裂開展路徑,并確定各種斷裂參數是一個很大的挑戰(zhàn)。目前,國內外研究人員對混凝土材料損傷及斷裂破壞進行了大量研究,如何對混凝土材料斷裂破壞進行有效的數值模擬也是斷裂力學研究的熱點。

混凝土裂紋擴展數值模擬現(xiàn)在有很多有效的途徑,例如:邊界元法、無網格法、有限元法等,其中有限元方法數學理論較為成熟,并且也有各種成熟的商業(yè)軟件作為支撐,讓其成為了目前實際工程應用中使用最為廣泛的方法。盡管如此,傳統(tǒng)方法并不能有效模擬出裂紋擴展的路徑,因為傳統(tǒng)有限元方法只能使用自由面來模擬裂紋表面,當裂紋進行擴展時,計算網格不斷變化用來保證裂紋始終位于自由面[3]。而擴展有限元相比較于常規(guī)方法,在判別裂紋擴展時更具有優(yōu)勢,其中引入了富集函數,它能有效判別裂紋位移特性,使裂紋獨立于計算網格,這樣就不需要在裂紋擴展時不斷變化網格以符合裂紋擴展趨勢,解決了傳統(tǒng)有限元方法在求解此問題時遇到的困難[4]。

本文基于擴展有限元,對混凝土梁三點彎曲實驗中的裂紋擴展進行模擬,并且繪制荷載-裂紋張開曲線與既有實驗進行對比,進一步驗證數值模擬的可靠性,并且求解不同加載時間段的應力強度因子。

1 擴展有限元法(XFEM)的基本原理

1.1 虛擬節(jié)點法

擴展有限元(Extended Finite Element Method)的中心思想是利用附加函數,即富集區(qū)函數來改進傳統(tǒng)有限元,使得裂紋可以獨立于計算網格。富集區(qū)網格如圖1所示。

當使用擴展有限元模擬裂紋擴展問題時,因為裂紋兩側的位移場被間斷,位移呈現(xiàn)跳躍式變化,并且裂紋尖端區(qū)域存在應力集中現(xiàn)象[5]。為了能夠描述這種裂紋兩側的不連續(xù)位移和裂紋尖端的應力集中現(xiàn)象,擴展有限元對于包含裂紋的區(qū)域采用的位移場可表示為[6]:

(1)

1.2 裂紋擴展模擬方法

混凝土材料一般被視為脆性材料,本文應用有限元軟件ANSYS,使用最大周向應力準則。最大周向應力準則認為,混凝土裂紋是沿著最大拉應力的方向進行開裂,其裂縫條件滿足以下方程[8]。

(2)

沿著裂縫方向的等效應力強度因子KⅡ可表示為:

(3)

其中,KⅠ為一型裂紋應力強度因子;KⅡ為二型裂紋應力強度因子;θ0為開裂角[9]。

基于最大周向拉應力理論的裂紋臨界起裂角θ0可由求解式(2)推導得[10]:

(4)

裂縫尖端應力場如圖2所示。

2 三點彎曲梁裂紋擴展有限元模型建立

混凝土三點彎曲梁幾何尺寸如圖3所示,試件跨中位置設置一道預制裂紋,預制裂紋初始高度a0=80 mm,初始逢高比α0(α0=a0/h)為0.4。混凝土其他參數見表1。

表1 混凝土材料參數

本文利用有限元軟件ANSYS基于擴展有限元(XFEM)建立混凝土三點彎曲梁模型,如圖4所示。使用Solid185單元劃分網格,在預制裂紋處使用MESH200定義預制裂紋并且定義富集區(qū),裂紋擴展方向根據最大周向應力確定。

3 結果比對分析

3.1 建立荷載-裂紋張開位移曲線

根據以上建立的梁裂紋模型,固定時間施加位移荷載對裂紋擴展進行有限元模擬。選取同尺寸模型,將模擬結果與論文中實驗結果進行對比。圖5為混凝土三點彎曲梁荷載-裂紋張開位移曲線,分別畫出有限元模擬結果與實際實驗結果,兩者進行對比可以發(fā)現(xiàn)吻合程度較高。

當達到峰值荷載時關鍵的斷裂參數見表2。

表2 試驗和數值模擬結果

3.2 荷載-裂紋張開位移曲線研究

根據圖5可以了解到,在裂紋擴展前期,荷載與裂紋張開位移之間基本呈現(xiàn)一種線性關系,加載至某一時刻時,梁構件發(fā)生開裂,荷載與裂紋張開位移之間呈現(xiàn)出一種非線性關系;當荷載到達峰值荷載之后進行卸載。由圖5可以看到實際實驗的峰值是略高于有限元模擬的峰值結果,這是因為實驗中存在摩擦力,產生于支座與平臺之間,但是有限元模擬中顯然是不存在這種摩擦力阻止混凝土構件開裂,所以兩者會產生這種誤差。

當荷載達到峰值之后,實驗所得到的曲線呈現(xiàn)快速下滑的趨勢,而有限元模擬的曲線比較圓滑,這是因為實驗中有加速度的作用,加速了混凝土構件的開裂,從而兩者曲線在此階段存在一定不吻合。

圖6—圖8為混凝土三點彎曲裂紋擴展有限元模擬的應力云圖,選取三個階段分別為:施加荷載初期階段、峰值荷載階段、卸載階段。可以很直觀地發(fā)現(xiàn)在施加荷載初期階段以及峰值荷載階段裂紋尖端拉應力較大,存在應力集中現(xiàn)象[11]。在卸載階段,裂紋尖端還是存在奇異性,應力集中現(xiàn)象存在但是變小。

擴展有限元模型基本模擬出了梁構件從裂紋萌生直到失穩(wěn)破壞的整個過程,裂紋擴展的趨勢大概可分為三個階段:第一階段為線性上升階段,這個階段梁裂紋并沒有發(fā)生擴展;第二階段為非線性上升階段,此時的荷載已經基本達到峰值荷載,裂紋發(fā)生擴展;第三階段為非線性下降階段,這時的梁處于失穩(wěn)狀態(tài),裂紋發(fā)生快速擴展[12]。

有限元模型可以改變不同的尺寸數據,結果表明,混凝土抵抗斷裂破壞的能力隨著梁長L的增加而降低,隨著預制裂紋長度增加而降低。

4 應力強度因子分析

混凝土三點彎曲梁裂紋擴展可以近似看為在拉力作用下單邊Ⅰ型裂紋擴展,其中應力強度因子KⅠ的計算表達式如式(5)所示。

(5)

其中,σ為應力;a為裂紋初始長度;W為截面寬度。

本文利用GET函數提取裂紋張開位移來求解三維應力強度因子。在裂紋尖端厚度方向分別根據不同的加載速率提取出4個對稱積分點,利用其計算出的應力強度因子進行對比[13],得到時間與應力強度因子曲線圖(見圖9),并且根據式(5)中理論值與有限元分析求解出的應力強度因子進行對比分析,可以發(fā)現(xiàn)兩者較為接近。

當計算應力強度因子時,相比較于傳統(tǒng)有限元計算應力強度方法,如相互作用積分法或者位移外推法,利用擴展有限元具有較多便利之處[14]。因為利用擴展有限元方法模擬裂紋擴展的時候,其網格是獨立于裂紋面的,所以就不需要像傳統(tǒng)方法一樣對裂紋尖端的網格進行加密,同時也不需要像位移外推法一樣對裂紋尖端進行1/4節(jié)點網格退化用來滿足裂紋尖端的奇異性。這就很大程度地簡化了前處理階段,提升了計算效率。

5 結語

本文基于最大周向應力準則,應用有限元軟件ANSYS對混凝土三點彎曲裂紋擴展進行數值模擬。在含有初始裂紋情況下,利用擴展有限元方法模擬了三點彎曲梁裂紋擴展的全過程。對比數值模擬與實驗所得的荷載-裂紋張開位移曲線,兩個吻合度較高。

提取裂紋張開位移以用來求解裂紋擴展各階段應力強度因子,XFEM方法對比與其他方法前處理過程較為簡單。擴展有限元方法作為一種計算非連續(xù)體變形的新方法,具有廣闊的應用前景。