得分驅動時變DCC模型及其應用

周澤峰，沈根祥

（上海財經大學經濟學院，上海 200433）

0 引言

金融收益率波動建模及預測在投資組合構建、資產定價、風險管理等方面都具有重要應用價值，因此一直是金融計量研究的熱點。Engle（2002）[1]將GARCH模型推廣到多元情形，提出動態條件相關系數（DCC）模型來刻畫收益相關系數矩陣的動態變化。DCC 模型極大地緩解了多元波動模型的“維數災難”，該模型的簡潔性及計算上的優越性使其成為多元波動建模中最重要的模型之一。

近年來，大量研究對DCC 模型進行了改進和推廣。Kwan 等（2009）[2]將門限方法引入DCC 模型，提出了TVCC模型。Engle 和Kelly（2012）[3]將相同行業股票間的相關系數假定為相等，提出DECO 模型。Jarjour 和Chan（2020）[4]將角相關度量引入DCC 模型，提出了DCAC 模型。Engle等（2019）[5]將非線性壓縮（nonlinear shrinkage）方法用于DCC 模型中常數項矩陣的估計，有效地減小了估計偏誤。Pakel 等（2021）[6]采用復合似然（composite likelihood）方法估計DCC模型，克服了超高維波動模型估計困難的問題。

Blasques 等（2019）[7]發現常系數GARCH 模型能夠很好地刻畫平穩狀態下市場信息對波動的影響，但在市場波動期間對信息的反應過于遲鈍和緩慢，不能有效捕捉市場波動的急劇變化，為此他們將GARCH模型的參數時變化，提出了加速GARCH（aGARCH）模型，顯著提升了GARCH模型對市場變化的反應能力。DCC 模型是GARCH 模型的多元推廣，同樣存在類似缺陷。本文將DCC 模型參數時變化，提出加速DCC（aDCC）模型，以增強DCC模型對市場信息的反應能力。

模型參數時變化的方法分為兩大類：參數驅動（parameter-driven）和觀測驅動（observation-driven）。參數驅動方法將時變參數設為不可觀測的隱變量，往往需要采用數值方法，如采用MCMC 方法進行參數估計和推斷，典型的例子是隨機波動模型。觀測驅動方法則將時變參數表示為滯后期觀測變量的函數，參數時變過程中不產生隱變量，降低了模型估計的難度，典型的例子是GARCH模型。Creal 等（2013）[8]將觀測變量對數概率密度的得分函數作為時變參數的項，提出廣義自回歸得分（Generalized Autoregressive Score，GAS）模型，也稱為得分驅動（score-driven）模型。Blasques 等（2015）[9]從信息論的角度證明了GAS 模型的優越性；Koopman 等（2016）[10]通過大量的模擬實驗表明，GAS模型和參數驅動模型的均方誤差相差不到1%，而參數驅動模型的計算復雜度卻遠大于觀測驅動模型；Blasques 等（2022）[11]研究了GAS 模型參數估計的漸近性質和分布；Buccheri 等（2021）[12]給出了GAS 模型的連續時間極限隨機微分方程表達式，奠定了得分驅動方法的理論基礎。

國內很多文獻對DCC 模型進行了研究。在理論方面，劉麗萍等（2015）[13]將主成分分析和門限方法應用到DCC模型的估計中，提出poet-DCC模型，有效降低了數據維度并剔除了噪聲。趙釗（2017）[14]采用非線性壓縮方法估計DCC 模型中的無條件協方差矩陣，解決了維數大于樣本個數的問題，模型精度也有所提高。劉麗萍（2017）[15]將改進的喬勒斯基分解方法和懲罰函數方法引入DCC模型的估計中，提出了非線性DCC模型。在應用方面，王佳等（2020）[16]在DCC模型中引入Markov區制轉換，提出時變轉移概率的DCC-GARCH 模型，并將其應用于股指期、現貨的套期保值研究中。國內對參數時變化的得分驅動方法的研究主要在應用上。沈根祥和鄒欣悅（2019）[17]將得分驅動方法應用于已實現波動GARCH模型中，提出GASHEAVY波動模型。周少甫和王文暢（2019）[18]用得分驅動方法實現了用Wishart-GARCH模型預測銀行業股票的協方差矩陣，取得了良好效果。吳鑫育等（2023）[19]將得分驅動方法應用于乘性成分已實現波動模型中，將條件極差乘性中的長期成分和短期成分時變化，顯著提升了模型的預測能力。

本文用得分驅動方法將DCC 模型參數時變化，提出加速DCC（aDCC）模型，以增強模型對市場信息的反應能力。為便于采用得分驅動方法將參數時變化，本文先用得分驅動方法推導出DCC 模型的等價形式，然后再次使用得分驅動方法將模型參數時變化。通過蒙特卡洛模擬來檢驗加速DCC 模型的及時性和靈敏性，以及波動擬合效果，并選取分屬于不同行業的10 只股票2014 年1 月至2020年12月的日收益率進行實證分析。

1 模型設定

設rt=(r1，t，r2，t，…，rk，t)'（t=1，2，…，T）為k維收益率向量，Ft=σ(rs:s≤t)為可觀測變量rt到時刻t為止的信息集，設rt的條件分布為多元正態分布：

1.1 DCC模型

Engle和Krone（r1995）[20]將GARCH模型推廣到多元情形，提出了BEKK模型，具體為：

BEKK 模型與GARCH 模型具有類似的形式，其設定天然保證了協方差矩陣的正定性，但其參數過多，導致了“維數災難”，應用中通常對系數矩陣施加某些約束以簡化模型。如將系數矩陣簡化為標量，則獲得標量BEKK 模型：

其中，參數α、β均為標量。標量BEKK 模型極大地減少了模型參數，但約束太強，限制了模型刻畫波動調整的靈活性。Engle（2002）[1]將協方差矩陣分解為方差矩陣和相關系數矩陣，對方差矩陣的對角線元素采用一元GARCH 模型，對相關系數矩陣建立如式（3）所示的模型，得到DCC模型，其形式具體為：

其中，Rt為rt的相關系數矩陣，Dt為ri，t的條件方差形成的對角矩陣，?t為標準化收益率。因此，Rt是?t的協方差矩陣，Δt是Qt對角線元素形成的對角矩陣，是對Qt的再調整，以保證結果滿足相關系數矩陣的要求。

DCC 模型的估計采用兩步法：第一步，對各收益率序列建立GARCH 模型，得到方差估計值，進而得到，用對rt進行標準化得出，即；第二步，對建立DCC模型，用極大似然估計法估計參數α、β。

1.2 得分驅動形式的DCC模型

參數時變化的得分驅動方法將參數的動態模型設定為自回歸的形式，t時刻的更新項為t-1時刻觀測變量對數似然函數得分函數乘合適的調整項。設rt的概率密度為，則時變參數θ的得分驅動模型為：

其中，?t為得分函數，St為尺度因子，實際中可選擇rt信息矩陣的不同次方，例如取可使新增項st的協方差矩陣為單位矩陣。式（5）中自回歸項γθt用于刻畫θt的繼承性，更新項st使參數θt沿著對數似然函數變化最快的方向（梯度）變化。Blasques 等（2015）[9]基于此從信息論角度證明了得分驅動模型的優越性：得分驅動調整方式最小化了模型隱含的概率密度與真實概率密度間的K-L距離。

由得分驅動的思想可以推導出DCC 模型。根據式（1）寫出rt的對數概率密度，并將分解式代入，可得：

式（6）對Rt求導可得：

Rt的得分驅動模型為：

式（7）稍作調整后即可得到DCC 模型，與式（4）中Qt的模型本質上相同。根據平穩性=R，式（7）兩邊同時求期望可得C=(1-β)R。設為R的一個估計量，代入式（7）得到：

1.3 加速DCC模型

常系數模型能夠較好地刻畫平穩狀態下波動的變化，但在市場劇烈波動期間，調整的靈活性有所不足，因此本文在式（8）的基礎上將參數α時變化，提出加速DCC（aDCC）模型。

參數α的時變化仍然采用得分驅動方法。由于需要滿足平穩性約束條件，因此將α再參數化為α=βlogit(f)，其中，函數logit(x)=ex/(1+ex)，此時時變參數為f，從而有：

約束條件0 ≤β-αt=β(1-logit(ft+1) )＜1保證了Rt的平穩性和正定性，|γ|＜1保證了ft的平穩性。需要注意的是，αt是ft+1的函數，不是ft的函數，這是因為αt由到t期為止的觀測值確定。基于以上設定，可得：

Dk、Bk分別滿足Dkvech(Rt)=vec(Rt)，Bkvec(Rt)=vech(Rt)，A?=A?A，符號⊕定義為A⊕B=(A?B)+(B?A) 。尺度因子選擇Fisher 信息量倒數的平方根，其中：

其中，κ為常數，矩陣Pt定義為為K2×K2矩陣，元素gij為：

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式（9）至式（11）構成了加速DCC模型。

1.4 加速DCC模型和DCC模型的比較

由式（8）和式（9）中Qt+1的計算公式可以看出，兩個模型的更新項都是?t?t'-Rt，區別在于在DCC模型中其影響力度為常數α，在加速DCC模型中則由時變參數αt控制，通過分析ft的動態可直觀考察加速DCC 模型調整的本質。

為便于觀察，考慮二維情形，并將尺度因子設為單位矩陣，此時模型只有一個時變參數，即?1，t和?2，t的相關系數ρt=Et-1(?1，t?2，t)，其調整項為：

其中，g(·)為取正值的單調遞增函數。第一個方括號中的表達式為兩項之和，當ε1，tε2，t大于（小于）ρt時，新增項增大（減小），使得下一期ft+1上升（下降）。由Qt≈Rt可知，q11，t-1≈1，q22，t-1≈1，q12，t-1≈ρt-1，以及q12，t/q22，t≈ρt。第二個方括號中的表達式近似為：

由此可以看出，加速DCC 模型更新項的調整系數αt=logit(ft+1) 依賴于相鄰兩期信息對其預期值的偏離，乘積大于0 表明和符號相同，意味著連續大于（或者小于）其預期值Rt，模型下一期應當加快調整速度，因此稱其為加速DCC模型。

2 模型估計方法

加速DCC模型的估計也采用兩步法：第一步，對每個rt，i建立一元GARCH 模型，計算方差估計值，得出標準差矩陣估計，用對rt進行標準化，得出，即，i=1，2，…，k；第二步，對建立加速DCC模型。具體而言：

設k個一元GARCH模型的全體參數為Θ，其估計值為。以??t代替式（6）中的?t，得出樣本對數似然函數：

給定Qt、ft的初始值，利用式（9）將所有Rt表示為樣本和參數的函數，代入式（13）得到似然函數，極大化似然函數得到參數估計值。

3 蒙特卡洛模擬

本文主要驗證兩個問題：第一，極大似然估計能否以合理的精度恢復模型參數？第二，也是更為重要的是，對于不同的數據生成過程，與DCC模型相比，加速DCC模型是否有更好的樣本內擬合效果？

3.1 參數估計準確性檢驗

參考Pakel等（2021）[6]的研究，考慮k=5 和k=10 兩種情形。用GARCH（1，1）模型生成，設ARCH 系數為0.05，GARCH 系數為0.94。加速DCC 模型部分，β取0.98，時變參數ft模型中，αf和βf分別取0.03和0.95，時變參數αt的無條件期望設定為=0.04，以此確定ft模型的常數項。以隨機選出的5個（10個）行業指數（采用申萬一級行業分類）的樣本相關系數矩陣作為Qt模型中的錨定矩陣，樣本期為2014 年7 月至2021 年6 月。模擬樣本長度為1200，相當于約5 年的日交易數據，和實證部分樣本時間長度相當。分別重復100 次，表1 為參數估計結果。

表1 模擬樣本參數估計結果

由表1可知，無論是GARCH模型部分（參數a、b）還是加速DCC模型部分，參數估計值和真實值都十分接近，標準誤也較小，表明極大似然估計法能夠較為準確地估計出模型參數。

3.2 樣本擬合效果檢驗

樣本擬合能力評價采用非隨機和隨機時變參數模型兩類數據生成過程。對于非隨機時變參數模型，參考Engle（2002）[1]和Creal等（2011）[22]的研究，采用三種不同的數據生成過程，時變相關系數分別表現為平滑變動、階梯變動、快速變動，以此考察加速DCC 模型對變化的捕捉能力。方便起見，考慮二維情形，r1t和r2，t的條件方差和仍采用GARCH（1，1）模型得出，參數與前文相同。?1，t和?2，t的相關系數ρt分別采用如下三種數據生成過程：

其中，I( ·) 為指示函數，A={t:0 ≤t＜200，400 ≤t＜600，800 ≤t＜1000}，mod為取余函數。三個模型給出的時變參數ρt隨時間變化的劇烈程度逐漸加大：Molde1較為平緩，Model2呈現階梯變動，Model3最劇烈。同樣分別重復100次，利用DCC模型和加速DCC模型擬合ρt，擬合值為ρ?t，基于MAE和MSE評估擬合效果：

表2給出了擬合效果，將DCC模型的擬合效果標準化為1，若加速DCC模型的結果小于1，則表明其擬合效果優于DCC模型。由表2可知，加速DCC模型在三種設定下的擬合效果均優于DCC 模型。從Model1 到Model3，時變相關系數變化越劇烈，加速DCC模型的優勢越明顯，說明其對數據變化更靈敏。

表2 非隨機時變參數模型樣本擬合效果比較

圖1 給出了時變相關系數實際值和加速DCC 模型、DCC模型的擬合值，從中可直觀地看出他們擬合效果的差異。圖1（a）與Model1對應，變化較為平滑，二者的擬合效果十分接近。圖（1）b和圖1（c）分別與Model2和Model3對應，存在結構變化，加速DCC模型的擬合效果優于DCC模型，尤其是在相關系數發生劇烈變化的區域（圖1（b）中的階梯突變點、圖1（c）中的三角尖點部分）優勢更為明顯，直觀展示了加速DCC模型更為快速的反應能力。從風險管理的角度看，市場劇烈變化時的波動估計比平穩時更為重要，因此對DCC模型進行推廣具有現實意義。

圖1 不同情況下時變相關系數擬合時序圖

對于隨機時變參數的模擬，本文考慮如下標量BEKK（1，1）模型：

參數取值為α=0.05、β=0.9。為引入結構性變化，無條件協方差矩陣Γ每300 期調整一次，具體如下：當1 ≤t≤300 時，Γ與前文中的一致；當301 ＜t≤600 時，Γ=D300(0.8R300)D300；當601 ＜t≤900 時，Γ=D600(1.2R600)D600；當901 ＜t≤1200 時，Γ=D900(0.8R900)D900。同樣假設rt|Ft-1～N(0，Σt)，考慮5維、10維兩種情形，樣本長度為1200，重復100次。分別對每個模擬序列應用加速DCC模型、DCC模型得到。參考Engle等（2019）[5]的研究，使用如下損失函數評估擬合效果：

其中，tr(A)為矩陣A的跡。表3給出了最終結果，所有損失函數值均為100 次重復的平均值。由表3 可知，加速DCC模型的擬合效果在兩種情形下相比DCC模型都有所改善。

表3 隨機時變參數模型樣本擬合效果比較

4 實證分析

最小方差組合的構建是多元協方差矩陣在金融中的主要應用之一，常被用于評估多元波動模型的實際表現。

4.1 最小方差組合

設rt=(r1，t，r2，t，…，rk，t)'為k個風險資產的收益率，μ=(μ1，μ2，…，μk)'為期望收益率，Σ=Var(rt)為協方差矩陣。設ω=(ω1，ω2，…，ωk)' 為權重向量，滿足ω'1=1，1=(1，1，…，1)'。投資組合收益為rp，t=ω'rt，期望收益和方差分別為μp=ω'μ和=ω'Σω。本文考慮全局最小方差（GlobalMinimum Variance，GMV）組合，其權重向量由如下最優化問題給出：

最小方差投資組合依賴于對協方差矩陣的精確估計，采用投資組合效果評價協方差矩陣模型是常用做法。

4.2 基于投資組合的預測能力評估

參考Engle 和Kelly（2012）[3]的做法，本文基于投資組合中的表現對兩種模型的預測能力進行評估。具體做法為：以每個月份的首個交易日為投資日，以投資日過去五年的日收益數據為樣本估計模型，用估計出的模型向前一步預測獲得收益率協方差矩陣的預測值，以其替換ωGMV表達式中的相應部分獲得組合權重。組合每月更新一次，預測區間為2019 年1 月1 日至2020 年12 月31 日共487個交易日。投資標的的選取方法為：將每個投資日前5年中存在缺失值的股票剔除，在A股余下股票中選擇投資日市值最大且屬于不同行業（按申萬一級行業分類）的10只股票構造投資組合。計算組合的平均收益率、標準差以及夏普比率，據此評價兩個模型的預測能力。本文采用Ledoit和Wol（f2018）[23]提出的檢驗方法（以下稱LW檢驗）對投資組合的方差和夏普比率是否存在顯著差異進行檢驗。

LW 檢驗。設θ1和θ2為兩個投資組合的方差或夏普比率，定義Δ ?θ1-θ2，檢驗的原假設、備擇假設分別為：

H0：Δ=0

H1：Δ≠0

Ledoit 和Wol（f2018）[23]認為，由于金融時間序列數據存在自相關性和分布厚尾性，文獻中類似檢驗統計量中的估計方法（例如HAC 方法等）存在諸多缺陷，因此他們提出用循環分塊自助法（circular block bootstrap）獲取的近似分布，據此計算檢驗統計量的P值。LW檢驗的P 值按如下步驟獲得：首先，計算統計量LW=；其次，通過循環塊自助法抽取M組自助樣本，基于第m組自助樣本計算估計量Δ?m及其標準誤，進而計算統計量，m=1，2，…，M；最后，得到LW檢驗的P值：

表4和表5分別給出了基于兩種模型的最小方差組合的收益率、標準差、夏普比率及LW 檢驗的結果。可以看到，基于加速DCC 模型得到的組合具有更小的標準差與更大的夏普比率，同時這兩個方面的差異分別在5%與10%的水平上顯著異于0，這表明加速DCC模型在預測能力上也有一定的優化。

表4 最小方差組合結果比較

表5 LW檢驗結果

5 結束語

多元波動DCC以模型計算上的便利性和高維可行性得到廣泛研究和應用，但參數非時變性削弱了其對數據變化的捕捉能力。本文采用得分驅動模型將DCC模型的參數時變化，提出加速DCC（aDCC）模型。隨機模擬結果顯示，本文考慮的兩步估計方法能以合理的精度恢復模型參數，同時對于多種不同數據生成過程，加速DCC模型相比DCC模型有更好的樣本擬合表現，尤其是在時變參數發生突變的時段，其優勢更為明顯。基于A 股2014 年1 月至2020 年12 月日收益率數據的實證分析表明，基于加速DCC模型構建的最小方差組合能實現比DCC模型更小的標準差及更大的夏普比率，LW檢驗表明，改進具有統計學意義，因此加速DCC 模型在預測能力方面也取得了一定的優化。