基于傳統(tǒng)文化的向量問(wèn)題設(shè)計(jì)

于 博 (郵編:200062)

華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院

1 引 言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[1]中提出,要落實(shí)立德樹人根本任務(wù),發(fā)展素質(zhì)教育,繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.數(shù)學(xué)不是一門孤立的學(xué)科,它與我們的文化和歷史息息相關(guān).伴隨著歷史長(zhǎng)河的緩緩流淌,向量與中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化產(chǎn)生了密不可分的聯(lián)系,通過(guò)對(duì)向量“前世”的挖掘,我們驚覺(jué)向量源于物理學(xué)的發(fā)現(xiàn),流于數(shù)學(xué)的創(chuàng)想,更滌蕩著文化的芬芳.特別地,在近年中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)課程的引領(lǐng)下,我們有理由探尋來(lái)自西方的向量與中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化之間的交集.數(shù)學(xué)史是一座豐厚的寶庫(kù),通過(guò)對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的歷史挖掘,我們能夠從中尋覓到向量的蹤影;同時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光,我們能夠從代表中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的藝術(shù)、民俗等中抽象出向量.再者,從新高考的改革趨勢(shì)來(lái)看,中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化走進(jìn)課堂、融入試題勢(shì)在必行.向量作為溝通高中數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)的橋梁,與中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的若干思想和理念相關(guān)聯(lián).若能將向量與中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化較好融合,在問(wèn)題中滲透中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,或?qū)⑻嵘龁?wèn)題的文化性、素養(yǎng)性和深刻性,同時(shí)讓學(xué)生在問(wèn)題探索中感悟前人智慧,對(duì)學(xué)生文化自信的培養(yǎng)具有潛移默化的影響.

本文從有關(guān)中算史料以及其他傳統(tǒng)文化素材出發(fā),設(shè)計(jì)若干高中數(shù)學(xué)向量問(wèn)題,為教學(xué)提供參考.

2 研究問(wèn)題與框架

本文所探討的向量問(wèn)題設(shè)計(jì),包括了考試題、練習(xí)題以及課堂問(wèn)題.關(guān)于向量部分的高考題,已有許多文獻(xiàn)做過(guò)分析(如[2-6]),關(guān)于向量教學(xué)中的問(wèn)題,也有許多文獻(xiàn)進(jìn)行過(guò)探討(如[7-10]),但是有關(guān)數(shù)學(xué)文化尤其是傳統(tǒng)文化背景的向量問(wèn)題設(shè)計(jì)卻少之又少.因此,本文的主要研究問(wèn)題是:如何借助傳統(tǒng)文化素材,設(shè)計(jì)向量問(wèn)題?

基于上述文獻(xiàn)的整理和分析,梳理出本文的研究框架,如圖1所示:

圖1 研究框架

3 基于中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的向量問(wèn)題設(shè)計(jì)

3.1 依托中算史圖形

自2021年教育部頒布《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程教材指南》以來(lái),如何將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入學(xué)科教學(xué),成了學(xué)術(shù)界和一線教師十分關(guān)注的課題.就數(shù)學(xué)學(xué)科而言,中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的歷史(以下簡(jiǎn)稱中算史)是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分之一,要讓中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)入數(shù)學(xué)課程和教學(xué),教師首先需要充分利用中算史的資源.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有著悠久的歷史、輝煌的成就和豐富的內(nèi)容,中算史既是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo),也是數(shù)學(xué)教學(xué)的工具,其潛在的教育價(jià)值有待于人們?nèi)ネ诰?[11]

從《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》等中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍中[12][13]我們可以找到諸如弦圖、勾股容圓、勾股容方等有價(jià)值的圖形,依托此類圖形,可以設(shè)計(jì)頗具數(shù)學(xué)文化色彩的問(wèn)題.

趙爽弦圖

東漢末期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí),撰寫了一篇“勾股圓方圖注”,其中運(yùn)用了一幅用于證明勾股定理的圖形,后世稱之為“趙爽弦圖”.現(xiàn)今,中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)(CMS)的會(huì)徽就是在弦圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)的,這無(wú)疑體現(xiàn)其深厚的文化價(jià)值.

如圖2所示,“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形圖案.從邊長(zhǎng)關(guān)系看,只要確定一個(gè)直角三角形任意兩邊長(zhǎng),即可確定整個(gè)弦圖中所有線段的長(zhǎng)度;從角的種類看,弦圖中只有兩類銳角,知其一可得二.

圖2 趙爽弦圖

基于已有問(wèn)題提出新問(wèn)題,可運(yùn)用三種策略[14]:

(1)條件式策略,即改變給定情境(圖形)的條件而保持其目標(biāo)不變;

(2)目標(biāo)式策略,即改變給定情境(圖形)的目標(biāo)而保持其條件不變;

(3)自由式策略,即同時(shí)改變給定情境(圖形)的條件和目標(biāo).

以問(wèn)題1為例,運(yùn)用上述三種策略,可提出新問(wèn)題,具體示例如下:

變式6已知E是AH中點(diǎn),請(qǐng)找出圖中所有的相等向量.(自由式)

在本章節(jié)“依托中算史圖形”中,后續(xù)設(shè)計(jì)的一系列問(wèn)題均可采取以上三種策略,對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行改編,后文將不再贅述.

除弦圖外,中算史的其他證明勾股定理的圖形,用作設(shè)計(jì)向量問(wèn)題的載體,也不失為一種好的選擇,下文展示一例.

勾股容圓

勾股容圓是中國(guó)古典幾何的一個(gè)重要命題,闡述了直角三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題,出自《九章算術(shù)》第九卷《勾股》章第十六題:“今有勾八步,股十五步.問(wèn)勾中容圓,徑幾何?”術(shù)文給出容圓公式:

①

如圖4所示,“勾股容圓”可以看成三對(duì)全等的直角三角形拼成的大的直角三角形,其中一對(duì)為等腰直角三角形,并且這三對(duì)直角三角形有一條直角邊相等,大小等于內(nèi)切圓半徑,只要給定大三角形的任意兩邊長(zhǎng),就能確定圖形中所有線段的長(zhǎng)度.因此,在向量問(wèn)題的設(shè)計(jì)中,給定兩個(gè)不共線的向量作為一組基底,以及大三角形任意兩邊長(zhǎng)的比,即可將“勾股容圓”圖中任一向量以給定基底線性組合的形式表示.

除“勾股容圓”外,還有諸如“勾股容方”“勾中容橫,股中容直”等一系列圖形可作為載體.以下是根據(jù)《九章算術(shù)》問(wèn)題“已知勾弦差和股弦差,求勾,股,弦”的解法,設(shè)計(jì)的向量問(wèn)題.

《海島算經(jīng)》中的圖形

《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期劉徽所著的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作,他以應(yīng)用問(wèn)題集的形式,運(yùn)用測(cè)望法研究有關(guān)高與距離的測(cè)量問(wèn)題,共九問(wèn),其中不乏許多諸如日高圖、望邑圖、松高圖和清淵圖等有趣的圖形,下面以“松高圖”為例,改編向量問(wèn)題.

圖6 松高圖

3.2 基于中國(guó)象棋跳馬

中國(guó)象棋是中國(guó)棋類文化的經(jīng)典代表,也是中華民族的文化瑰寶,因其趣味性濃厚,基本規(guī)則簡(jiǎn)明易懂而源遠(yuǎn)流長(zhǎng).在象棋游戲中,象棋棋盤可以看作一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng),每個(gè)棋子的位置可以用坐標(biāo)表示,不同棋子的移動(dòng)受到特定規(guī)則限制,因而有其特定的移動(dòng)方式和范圍,這些移動(dòng)規(guī)則可以與向量的方向和長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)起來(lái).同時(shí)玩家需要充分考慮棋局的整體和局部的關(guān)系,這涉及到評(píng)估棋子的價(jià)值、分析棋盤的局勢(shì)和預(yù)測(cè)對(duì)手的行動(dòng)等方面,具備良好的向量思維可以幫助玩家思考棋局中的方向、趨勢(shì)和變化,從而制定更有效的戰(zhàn)術(shù).下面以象棋跳馬為例,淺談關(guān)于向量問(wèn)題設(shè)計(jì)的思考.

象棋棋盤是由九條豎線和十條橫線組成,棋子在這些交點(diǎn)上行走,“馬”由于其行動(dòng)路徑的特殊性(馬走日),常常令人捉摸不透.接下來(lái),我們通過(guò)對(duì)馬行動(dòng)路線的研究,嘗試設(shè)計(jì)向量問(wèn)題.對(duì)于棋盤上的馬,行動(dòng)一步,共有八種路線,如圖7所示.

圖7 馬的行動(dòng)路線

若將馬的每一步行動(dòng)看作一個(gè)向量,可得到向

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的向量加法運(yùn)算可以得到如下關(guān)系:

②

③

由向量加法的交換律可得,馬的移動(dòng)次序可以更換,并且合成方式不唯一,即馬有多種方式可以向右移動(dòng)一步,或者向上移動(dòng)一步,所以馬從棋盤中任一位置出發(fā),可以遍歷棋盤.

下面討論馬從某一位置出發(fā),需要經(jīng)歷多少步才能回到原來(lái)位置這一問(wèn)題.

④

k1·(2,1)+k2·(1,2)+

k3·(-1,2)+k4·(-2,1)=(0,0)

⑤

(2k1+k2-k3-2k4,k1+

2k2+2k3+k4)=(0,0)

⑥

由⑥式可得

k2-k3=2(k1+k4)

⑦

k1+k4=-2(k2+k3)

⑧

考慮步數(shù)之和

k1+k2+k3+k4=

k1+k4+k2-k3+2k3

⑨

等式右邊為三組偶數(shù)之和,還是一個(gè)偶數(shù),故等式左邊也是一個(gè)偶數(shù).即馬從某一位置出發(fā),一定經(jīng)歷偶數(shù)次跳躍才能回到原位置.

基于上述思考,進(jìn)行如下問(wèn)題設(shè)計(jì).

問(wèn)題6在象棋中,不同棋子有其獨(dú)特的移動(dòng)方式,我們知道“車”和“炮”可以移動(dòng)到棋盤的任意位置,“卒”“象”“士”“將”因移動(dòng)范圍受限,不能遍歷棋盤,而“馬”的移動(dòng)方式十分特別,是走“日”字,那么“馬”究竟能否走遍棋盤呢?嘗試給出你的理由.

問(wèn)題7在中國(guó)象棋中,“馬”可謂八面威風(fēng)、八面玲瓏,在某個(gè)恰當(dāng)?shù)奈恢?“馬”可以有八種走法.假設(shè)“馬”在O點(diǎn)準(zhǔn)備跳出,再跳回O點(diǎn),則“馬”跳的步數(shù)可能是( )[15]

A. 5,6 B. 4,7 C. 6,8 D. 7,8

3.3 融合傳統(tǒng)文化背景

在近年全國(guó)各地的高考模擬題中,其實(shí)已有傳統(tǒng)文化背景下的向量問(wèn)題出現(xiàn)[16][17].盡管多以附加式背景出現(xiàn),去掉文化背景并不會(huì)對(duì)解題產(chǎn)生影響,即都是在與傳統(tǒng)文化相關(guān)的模型基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學(xué)圖形,文化與數(shù)學(xué)是可分離的,但一定程度上增添了問(wèn)題的文化韻味.對(duì)于此類問(wèn)題設(shè)計(jì)的建議,若能巧妙添加一些現(xiàn)實(shí)情境,或?qū)⑻岣邌?wèn)題的趣味性、可做性.

圖8 問(wèn)題8圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文從“依托中算史圖形”“基于象棋跳馬”“融合傳統(tǒng)文化背景”三個(gè)方面闡述了在向量問(wèn)題設(shè)計(jì)中融入傳統(tǒng)文化的若干思路與方法,提出三條在向量問(wèn)題中融入傳統(tǒng)文化的策略:

(1)古圖今用式策略,以中算史圖形為載體,添加向量條件與目標(biāo),形成向量問(wèn)題.同時(shí),可靈活運(yùn)用條件式策略、目標(biāo)式策略以及自由式策略對(duì)已有向量問(wèn)題進(jìn)行改編,提出新問(wèn)題.

(2)寓教于樂(lè)式策略,如結(jié)合中華傳統(tǒng)棋類規(guī)則,設(shè)計(jì)向量問(wèn)題.此種策略下的問(wèn)題設(shè)計(jì)可以偏開放式,關(guān)注學(xué)生的思維訓(xùn)練,在解決問(wèn)題的過(guò)程中感悟傳統(tǒng)文化的思想內(nèi)涵,體會(huì)“探究之樂(lè)”.

(3)附加情境式策略,選取傳統(tǒng)文化素材作為載體,將向量這一抽象的數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系,解決生活中的向量問(wèn)題.

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化博大精深,歷久彌新,本文所討論的向量問(wèn)題設(shè)計(jì)僅僅是“冰山一角”,由點(diǎn)及面,若在數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)中,巧妙地將數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)文化交融,定會(huì)使數(shù)學(xué)問(wèn)題的層次提到一個(gè)新的高度.數(shù)學(xué)教師的職責(zé)不僅要“教書”更要“育人”,新課改后“育人”的重要性被反復(fù)提及,反復(fù)強(qiáng)調(diào),如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值,是當(dāng)下數(shù)學(xué)教育工作者需要共同思考的問(wèn)題,而傳統(tǒng)文化的融入無(wú)疑提供了一條可行、有效的途徑.