一類具有復雜執行器動態的雙曲線型偏微分方程輸出調節

肖 宇 徐曉東 陽春華

雙曲線型偏微分方程 (Partial differential equation,PDE)廣泛用于描述一類具有傳輸現象的物理系統,例如: 熱交換器[1],油井鉆探[2]和管狀傳輸過程[3]等.近些年,這一類系統的輸出調節問題已成為學術界及工業界的挑戰.基于幾何設計方法和無限維反步法,一些針對雙曲線型PDE 系統的輸出調節理論成果已提出[4-10].文獻[11]研究了2×2雙曲線型PDE 系統的有限時間輸出調節問題.然而,上述輸出調節工作只考慮PDE 系統的直接邊界控制.換言之,控制輸入直接作用在PDE 系統的邊界點上而忽略了執行器動態特性的影響.這往往不合理,由于普遍存在于控制系統中的耦合現象,例如: 電磁耦合[12]、傳感器和設備之間的耦合[13]以及耦合的化學反應過程[14]等.在控制系統中,當執行器動態特性顯著時,忽略執行器的影響將導致控制性能直接下降.由于動態執行器的存在,現存的基于直接邊界控制的輸出調節策略[4-11]將無效,考慮執行器動態特性的分布參數系統輸出調節策略有待提出.

事實上,對于具有執行器動態特性的PDE 系統的穩定控制,一些試探性的結果已經被提出.具體地,文獻[15-17]允許低階線性或非線性執行器動態特性在PDE 系統邊界點存在.在文獻[18-20]中,執行器動態特性由線性可控高階常微分方程(Ordinary differential equation,ODE)主導.文獻[21]研究了具有高階非線性執行器動態特性的拋物線型PDE 系統的穩定控制.進一步,文獻[22]采用神經網絡首次解決了具有未知非線性執行器動態特性的雙曲線型PDE 系統的跟蹤控制.我們從上述工作注意到執行器動態特性通常由ODEs 描述,因此具有執行器動態特性的PDE 系統事實上是耦合的PDE-ODE 系統.盡管文獻[15-22]在控制器設計過程中充分考慮了執行器動態特性,但這些工作并未考慮外界干擾的影響,無法解決系統受擾動時的信號跟蹤問題,即輸出調節問題.

本文考慮了一類由高階非線性ODE 執行器驅動的 2×2 雙曲線型PDE 系統輸出調節問題,所研究的系統由非線性ODEs 串聯PDE 模型描述.不同于文獻[21-22]忽略了擾動影響,本文研究的ODE執行器和PDE 系統均受到外界的干擾,控制策略需實現全局擾動估計和抑制,這使得本文的工作更加困難且區別于現有的文獻.為解決高階執行器動態特性給調節器設計帶來的挑戰和對控制性能產生的不利影響,我們拓展了文獻[11]的輸出調節控制器設計框架,將有限維反步法與非線性觀測器設計方法引入并與無限維反步法和幾何設計方法相結合,分別設計了基于狀態和輸出反饋的調節器.具體地,狀態反饋調節器包括前饋和反饋兩部分,首先通過構建并求解反步坐標下的調節方程獲得前饋增益,而后采用有限維反步法逐步獲得反饋部分的顯式表達.對于輸出反饋調節器,本文分別設計了一個參考觀測器和兩個擾動觀測器.參考觀測器觀測參考信號的狀態,兩個擾動觀測器分別觀測PDE系統和執行器所受到的擾動及實際狀態.設計輸出反饋調節器的關鍵在于求取觀測器增益使得參考及擾動觀測誤差能夠穩定收斂,為狀態反饋調節器提供準確的系統狀態.本文主要貢獻包括:

1) 擴展了現有的雙曲線型PDE 系統的直接邊界輸出調節工作[4-11],所考慮的執行器動態特性由具有廣泛代表性的高階嚴格反饋形式非線性ODEs描述,這使得控制器的設計變得更加實際但困難.此外,不同于文獻[15-22]只研究系統的穩定或跟蹤控制而未考慮外界干擾,本文解決了更加復雜的輸出調節問題.

2) 針對具有高階執行器動態特性的 2×2 雙曲線型PDE 系統,本文建立了一個新的輸出調節控制器設計框架,在有限維和無限維空間中充分利用幾何設計方法使得跟蹤誤差及閉環系統在范數意義上指數穩定.該框架同樣適用于具有相似結構的耦合PDE-ODE 系統的輸出調節器設計.

本文其余部分組織如下: 第1 節給出了所考慮的被控系統、虛擬外部系統及控制目標,第2 節給出了狀態反饋調節器的設計過程,第3 節設計了參考及擾動觀測器,第4 節分析了輸出反饋控制下閉環系統的穩定性及跟蹤誤差收斂性,第5 節進行數值仿真對比驗證了所提出控制方法的有效性和先進性,第6 節是總結性評述.

1 問題描述

考慮如下具有高階執行器動態特性的 2×2 雙曲線型PDE 系統1本文使用的符號說明如下: R 為所有實數的集合;C 為所有復數的集合;Cn 表示 n 階連續可微;|·| 表示歐幾里得范數;對于一個時變的信號ω(x, t) ∈R, x ∈[0,1],令表示其L2范數.此外,令 vx(x, t) 和 vt(x, t) 分別表示偏導為避免混淆,時間和空間變量在一些函數中常被忽略,例如:v(x, t)=v(x), v(x, t)= v.:

注 1.如圖1 所示,在流程工業中,系統(1)可描述一類多反應器串聯的被控對象[14,23].如串聯的連續攪拌反應釜(Continuous stirred tank reactor,CSTR)可被描述成高階耦合的非線性ODE 系統(1d)～(1e),且非線性函數fi代表后續環節對先前環節的反饋.由于串聯CSTRs 受到非線性反饋及外界干擾的影響,其高階動態特性將給后續裝置帶來不穩定的因素.活塞流反應器(Plug flow reactor,PFR)可由耦合雙曲線型PDE (1a)～(1c)建模,其中PFR 的輸入端u2(1) 通過邊界條件(1c)與CSTRn的輸出端X1相連.控制輸入U代表進料的速率,為實現PFR 的精準控制,控制器U既要考慮PDE 耦合特性帶來的不穩定因素,也應當考慮ODEs 高階動態特性及干擾的影響,這使得控制器的設計更加困難.

圖1 一類典型的流程工業多反應器串聯系統信號流圖Fig.1 A typical signal flow graph of multi-reactor series system in process industry

系統(1)的擾動信號與被y(t) 跟蹤的參考信號yr(t)可由如下有限維虛擬外部系統的解表示:

其中S=bdiag{Sd1,Sd2,Sr} 為分塊可對角化矩陣,并且S所有的特征值都位于虛軸上.將v分塊為v=col(vd1,vd2,vr)可使外部系統分解為三個信號模型:,vd2(0)∈Rnd2和=Srvr,vr(0)=vr0∈Rnr且nr+nd1+nd2=nv.因此外部系統能產生不同的有界持續激勵信號,例如: 正弦信號、斜坡信號和階躍信號等.此外,為實現輸出反饋調節器設計,擾動和參考信號模型需已知并且待跟蹤參考信號yr是已知的.

本文的控制任務是分別設計狀態反饋調節器和基于觀測器的輸出反饋調節器使得被控系統在受到擾動情況下實現輸出跟蹤誤差的準確收斂,即:

并且所產生的閉環系統指數穩定.為實現控制目標,我們給出如下必要的假設:

注 2.上述第一個假設不失普遍性,Sd1的特征值由擾動系統=Sd1vd1所考慮的擾動決定.描述不同頻率的擾動時,Sd1的特征值各不相同,易滿足假設1.假設2 強于假設 (C,A) 可觀測,然而它同樣不失普遍性.當 (C,A) 可觀測而假設2 不成立時,通過縮小擾動系統=Sd2vd2的狀態空間總能使假設2 滿足.假設3 常見于非線性系統觀測器設計文獻中.

2 狀態反饋調節器

首先,為簡化PDE 子系統結構以便于控制器設計,我們采用Volterra 積分變換形式的坐標映射及其逆映射:

其中K(x,y)∈R2×2和L(x,y)∈R2×2為定義在三角域 0≤y≤x≤1 上的核函數.用式(3)替換原系統(1) 中的擾動,變換(6) 將PDE 子系統(1a)～(1c),(1f)映射為目標系統w:

(9) 和(10) 分別為具有四個邊界條件的一階線性偏微分方程.由于λ1,2(x)∈Cn[0,1] 且(x)∈Cn[0,1],文獻[26]采用特征線及逐次逼近的方法證明上述方程存在 Cn連續的解.此外,采用有限差分的方法通過數值計算可以獲得其任意精度的數值解.

在式(1e)中,控制器U由一個前饋控制器Uf和一個反饋控制器Ub組成,即:

其中,前饋控制器Uf=Πv由前饋增益Π∈R1×nv及信號v組成,反饋控制器Ub將在后續推導中給出詳細設計.為了獲得合適的增益 Π,定義如下有界可逆坐標變換:

其中:π(x)=[πij(x)]∈R2×nv且πij(x)∈Cn+1[0,1],i=1,2,j=1,···,nv.將式(11)和(12)代入式(8)和ODE 系統(1d)～(1e)中,可得如下轉換后系統:

為完成式(13)的推導,需滿足下列調節方程:

其中式(14a)是一個以式(14b)和(14c)為邊界條件的一階線性ODEs.文獻[11]討論了它的可解性及解的存在性條件.若式(14a)～(14c)的解π(x) 唯一存在,則變量πi,i=1,···,n唯一存在且閉環系統(13)的表達式也唯一存在.通過式(14d)～(14e)可計算得到

進一步通過式(14f)可得前饋增益

式(13f)表明被控輸出的跟蹤誤差ey是關于ε(x,t)的線性映射,因此設計反饋控制器Ub使得ε(x,t)穩定能夠保證ey收斂到0.首先,定義如下狀態轉換變量:

步驟 1.由于式(13a)的狀態是空間分布的,采用如下積分形式的Lyapunov 函數:

由于ε2(1)=γ1,選擇虛擬控制器如下

其中k1＞0 是正的設計參數,由于γ1=X1-π1vtu且γ1=ε2(1),α1是一個關于X1,tu,,v的函數.將式(21)代入式(19)中得到

步驟 2.定義如下Lyapunov 函數:

選擇虛擬控制器α2如下:

步驟l(l=3,···,n-1) .定義如下Lyapunov函數:

從遞推步驟 1 到步驟l-1,可得

選擇虛擬控制器αl如下:

其中kl＞0 為正的設計參數且αl是一個關于X1,···,Xl,tu,···,,v的函數.將αl代入式(30)中得到

步驟 n .定義如下Lyapunov 函數:

對式(31)求導得到

令式(35)的l=n-1 并將代入式(34)中,由此選擇實際控制器Ub如下:

其中kn＞0 為正的設計參數且Ub是一個關于X1,···,Xn,tu,···,,v的函數.將式(36)代入式(34)得到

定理 1.考慮被控系統(1),令πi,i=1,···,n和π(x) 為調節方程(14)的解,則虛擬控制器(21),(26),(31)和實際控制器(11)確保輸出跟蹤誤差(5)指數收斂到 0.

證明.由V1,V2,Vl,Vn的定義可得

根據式(37)易得

在全狀態反饋控制器的設計中,參考模型v˙r=Srvr和擾動模型=Sd1vd1,=Sd2vd2需要準確的參考及擾動信號初始狀態vr(0),vd1(0) 和vd2(0)從而精確地描述參考信號及外界擾動的未來狀態.由于實際擾動往往不可測,這是不現實的.此外,全狀態反饋需要獲取整個PDE 及執行器的狀態,這在實際中同樣難以實現.為解決這些問題,我們在下一節給出參考及擾動觀測器用于準確估計系統狀態和參考及擾動信號,進一步實現輸出反饋調節器的設計.

3 參考及擾動觀測器設計

3.1 PDE 子系統擾動觀測器

構建如下PDE 子系統擾動觀測器:

首先采用如下坐標變換以簡化式(42b)～(42d):

其中KI(x,y)∈R2×2和LI(x,y)∈R2×2是定義在三角域 0≤x≤y≤1 上 Cn連續的核函數.在(43)坐標下,系統(42)被映射為目標系統:

與式(9)和(10)可解性證明類似,可以采用有限差分方法獲得其數值解.系統(45)等同于PDE 子系統與ODE 子系統相互耦合的系統,為實現兩系統之間的解耦,引入如下坐標變換:

其中M(x)∈R2×nd1.將式(48)代入式(45)中易得

定理 2.考慮觀測器(41),在假設1 的前提下,選擇合適的觀測器增益ld1使得Sd1-ld1M(1) 為赫爾維茨矩陣且lu(x) 由式(51)給定,則觀測誤差ece=col(ed1,eu1,eu2) 在范數意義上指數收斂.

證明.考慮如下Lyapunov 函數:

其中β1＞0,P1∈Rnd1是一個正定對稱矩陣滿足如下代數方程:

其中T1是一個正定對稱矩陣,對Vobe求導并代入式(49)到結果中可得

由于β1＞0 是任意的,因此可以選擇足夠大的β1＞0使得

由式(54)和(55)可知,存在常數μ1＞0 使得

因此式(49)在范數‖·‖ce意義上是指數穩定的.由于式(43)和(48)均為有界可逆坐標變換,因此誤差 系統(42) 狀 態eu和ed1在原坐標下指數收斂,即,存在常數＞0,＞0 使得

3.2 執行器擾動觀測器

構建如下執行器擾動觀測器:

將式(4)減去式(59)得到誤差系統:

定理 3.考慮觀測器(58),在假設2 和假設3 的前提下,選擇合適的觀測器增益 Γobe使得AH為赫爾維茨矩陣,則觀測誤差在范數 |·| 意義上指數收斂.

證明.考慮如下Lyapunov 函數:

P2∈Rn+nd2為正定對稱矩陣,滿足如下代數方程:

其中T2為正定對稱矩陣,對式(61)求導并代入式(60)到結果中可得

由假設3 可得

將式(64)和(62)代入式(63)易得

4 輸出反饋調節器

如圖2 所示,輸出反饋閉環控制系統包括被控系統(1),PDE 子系統擾動觀測器(41),執行器狀態擾動觀測器(58),參考信號觀測器(40)和控制器U(t).如下定理將給出輸出反饋閉環控制系統狀態指數收斂性.

圖2 輸出反饋閉環控制系統結構框圖Fig.2 The block diagram of output-feedback closed-loop control system

考慮如下Lyapunov 函數:

其中β2,β3＞q2,a2,a3＞0,Pr是一個正定對稱矩陣,滿足對于任意的矩陣Tr=＞0.對式(69)求導并代入式(68)和(49)到結果中可得

進一步由柯西-施瓦茨和楊氏不等式可得

當選擇足夠大的s1,s2,s3,s4,s5＞0 時,存在常數μ2＞0 使得滿足:

其中

5 數值仿真

狀態反饋調節器設計.采用有限差分方法求解控制核方程(9)和(10)以及調節方程(14),按照文獻[11]的結論檢驗式(14)的可解性.虛擬控制器α1和實際控制器Ub的可調參數分別選擇為:a=0.7,β=5,k1=5,k2=5.

輸出反饋調節器設計.由于 (Sr,qr) 可觀測,選擇參考觀測器增益lr=[1,1]T.對于擾動觀測器(41),選擇增益ld1=[0.8,0.8]T.采用有限差分方法求解觀測核方程(46),(47)以及調節方程(50),并檢驗的可觀性.若可觀性滿足,則通過計算式(51)得到PDE 觀測器增益lu(x).對于擾動觀測器(58),易驗證假設2 成立,并且觀測器增益分別選擇為ld2=[1,40]T,Γ=[15,20]T.參考及擾動觀測器的初始值分別為:(0)=[0.5,0.5]T,(0)=[0.75,0.75]T,(0)=[0,0]T,(x,0)=-1,(x,0)=-1-sinx,(0)=-1,?(0)=-1.進一步在狀態反饋調節器基礎上,采用參考及擾動信號狀態觀測值構成輸出反饋調節器.

控制算法對比.我們將本文所提出的控制算法與文獻[11]的控制算法進行比較.由于文獻[11]未考慮執行器動態特性的影響,因此式(1d)～(1e),(13d)～(13e)和(14e)～(14f)在文獻[11]中被忽略且式(1c)中的執行器狀態X1直接替換為控制輸入U.進一步由式(13c)和(14d)可得文獻[11]所構建的基于狀態反饋調節器如下:

仿真對比采用與上文相同的系統參數.

仿真結果.圖3 和圖4 分別描述了狀態反饋控制下PDE 子系統被控輸出y(t) 以及控制輸入U(t)的軌跡.在圖4 控制輸入的驅動下,y(t) 受到的干擾被抑制,并且在小于 2 s 的時間內準確跟蹤上參考信號yr(t).圖5～10 分別描述了輸出反饋控制下的系統輸出、控制輸入、狀態估計誤差及擾動估計曲線.圖5 表明y(t) 準確跟蹤上參考信號yr(t) 在小于 6 s 的時間內.由于前期觀測誤差的存在,相較于圖3,圖5 的被控輸出需要更長調節過程.圖6 描述了輸出反饋控制信號曲線,相較于圖4,圖6 曲線前期變化幅度更大,后期與圖4 曲線基本保持一致.圖7 和圖8 分別描述了PDE 子系統觀測誤差的范數和 執行器狀態觀測誤差X1-,X2-的收斂軌跡,結果表明擾動觀測器能夠在存在干擾情況下準確估計PDE 子系統和執行器的真實狀態,為控制器提供準確的系統狀態.圖9 描述了PDE子系統受到的常值擾動Di,i=1,2,3 及觀測器(41)的擾動觀測值,i=1,2,3.圖10 描述了執行器受到的周期擾動di,i=0,1,2 及觀測器(58) 的擾動觀測值,i=0,1,2 (由于擾動增益qi,i=0,1,2相同,周期擾動的軌跡相同,擾動觀測值的軌跡同樣相同).圖9、10 表明擾動觀測器(41),(58)能夠準確跟蹤外部系統所描述的一類參考信號,為控制器抑制外界干擾提供準確信息.圖11、12 表明采用文獻[11]所提出控制器會使被控系統不穩定發散.這是由于文獻[11]忽略了執行器的動態特性,而動態的執行器會影響系統穩定性,因此狀態反饋調節器(79)無法使系統穩定,更無法實現信號跟蹤.相較于文獻[11],本文所提出的控制算法能夠彌補執行器的影響,實現全局擾動抑制及信號跟蹤.

圖3 狀態反饋控制下的被控輸出 y (t) 及參考信號yr(t)=2 cos(t)Fig.3 The controlled output y (t) under the state-feedback control and the reference signalyr(t)=2 cos(t)

圖4 狀態反饋控制器 U (t) 軌跡Fig.4 The trajectory of state-feedback controller U(t)

圖5 輸出反饋控制下的被控輸出 y (t) 及參考信號yr(t)=2 cos(t)Fig.5 The controlled output y (t) under the outputfeedback control and the reference signalyr(t)=2 cos(t)

圖6 輸出反饋控制器 (t) 軌跡Fig.6 The trajectory of output-feedback controller(t)

圖7 PDE 子系統觀測誤差的范數 ‖‖ 和‖‖Fig.7 The norms ‖‖ and ‖‖ of observer errors of PDE subsystem

圖8 執行器狀態觀測誤差 X1- 和X2-Fig.8 The observer errors X1- and X2-of actuator states

圖9 PDE 子系統受到的常值擾動Di=vd1, i=1,2,3及相應的擾動觀測值=, i=1,2,3Fig.9 The constant perturbations Di=vd1,i=1,2,3 to PDE subsystem and the corresponding disturbance observations =, i=1,2,3

圖10 執行器受到的周期性擾動 di=vd2, i=0,1,2 以及相應的擾動觀測值=, i=0,1,2Fig.10 The periodic perturbations di=vd2,i=0,1,2 to actuator and the corresponding disturbance observations =,i=0,1,2

圖11 采用控制器(79)的系統被控輸出y(t) 及參考信號yr(t)=2 cos(t)Fig.11 The system controlled output y (t) and reference signal yr(t)=2 cos(t) using the controller (79)

圖12 控制器(79)軌跡Fig.12 The trajectory of controller (79)

6 結論

本文研究了具有復雜執行器動態特性的雙曲線型偏微分方程的輸出調節問題,所提出的基于狀態反饋和輸出反饋的調節器實現了被控系統全局擾動估計以及被控輸出跟蹤誤差指數收斂.值得注意的是,PDE 子系統可以被替換為其他類型的線性PDE系統例如擴散方程、波動方程等.執行器動態特性可以由能夠被反步法穩定且具有嚴格反饋形式的非線性系統描述.未來的工作將考慮系統的不確定性以及研究相應的自適應輸出調節策略.