基于CIR模型的地鐵客流彈性分析

徐玉萍,侯明超

(華東交通大學 交通運輸工程學院,江西 南昌 330013)

我國已邁向建設交通強國的新征程,構建與其相適應的交通系統性能是未來發展的必然要求。國內外學者認為彈性是交通系統性能在受到擾動后能快速恢復的關鍵[1-2]。有關彈性的研究,國內起步較晚,而國外已建立了彈性的概念框架,但未形成統一的彈性量化方法[3]。

有關彈性的定義,Bruneau等[4]提出了關于生物系統的彈性概念,認為彈性是指被破壞的性能曲線所覆蓋的面積與未被破壞的曲線(常數)所覆蓋的面積之比,因性能損失的部分形似三角形,這一定義又被稱為彈性三角形。除此之外,Pimm[5]認為彈性是某變量因擾動而偏離平衡態到再次恢復至平衡態時的速率。英國內閣辦公室(2011)認為彈性可分為“4R”,即冗余性、可靠性、抵抗性和恢復性。盡管學者們對彈性的定義不同,但大家認為彈性都具有相同的特點,即彈性被視為是一個過程量,描述了擾動前、擾動中和擾動后的過程。上述定義和其他定義也被許多學者應用于交通系統的彈性研究中[6]。

從客流角度評估系統彈性的研究中,Nogal等[7]基于動態的客流平衡分配模型,構建客流壓力水平和成本水平兩項指標以量化道路網絡性能,并通過文獻[4]中的定義確定彈性。Murray[8]將路網彈性分為適應性、機動性、安全性和恢復能力4個指標,并在用戶均衡和系統最優兩種交通分配模式下,討論了兩者在4個指標上的差異,其中用戶均衡模型有更好的適應性和安全性,而系統最優模型有良好的機動性和恢復能力。Lima等[9]依據文獻[5]的彈性定義,采用O-U過程模擬倫敦地鐵一天內線路的客流變化并分析線路彈性,此外,還引入泊松過程來模擬突發的大客流變化。Zhou等[10]針對極端降雨天氣,使用客流壓力、方向不均衡系數等指標研究地鐵客流的時空特征,與此同時將隨時間變化的相對客流作為彈性曲線以量化客流彈性。Adjetey等[11]分析了擾動期間延誤和載客量運營指標,借助仿真的方法研究鐵路運輸系統的彈性,從擾動管理計劃的角度評估系統彈性。Stamos等[12]為量化極端天氣(EWE)下交通運輸網絡的彈性,以客流在各種交通方式之間的轉移量為評判標準,采用三步走的方法,即EWE發生概率、EWE影響評估以及交通方式選擇的替代性來確定。

本文以文獻[5]的彈性定義為基礎,采用CIR模型模擬各個車站客流的演變并確定客流彈性。本文方法不僅克服了利用O-U過程模擬客流時出現負值的缺陷,還對研究內容做了進一步討論。

1 客流彈性研究方法

1.1 CIR模型

客流在時間序列上表現出一種隨機性,但在短時間內,車站的客流通常會保持在一個相對穩定的水平,即正常水平。在這一前提下,基于CIR模型[13-14]提出客流彈性指標,模型能夠模擬某段時間內客流的演化過程,并且參數α作為客流彈性評價指標,反映客流受擾動影響偏離正常水平到再次恢復到正常水平的速率。

(1)

(2)

式中:Xt為某車站第t天的進站和換乘總客流;μ、σ分別為短期內客流的均值和波動率;α為客流在均值方向上的恢復速率;Wt為關于時間t的布朗運動;φ為服從標準正態分布的隨機數。

CIR模型反映了客流在短期內的總體均衡,在不確定的擾動因素下,如商業活動或天氣,客流可能會增加或者減少。模型中的布朗運動參數Wt可以模擬客流的不確定出行行為;波動率參數σ反映了短期內客流距離正常水平μ的程度,波動率越大,客流相對于正常水平變化越大,反之越小。實際上,客流不會一直增加或減少,這與乘客的固定出行需求或地鐵運營管理等因素有關。因此,CIR模型中恢復速率α(即彈性)就描述了客流從偏離正常水平到再次回歸的速率。彈性α∈(0,1),當α趨近于0時,表明客流向正常水平恢復的速率越慢;當α趨近于1時,表明恢復速率越快。利用這一特點,彈性可在不同車站之間進行比較。

1.2 模型參數估計

依據參文[15],CIR模型的轉移概率密度函數近似地服從正態分布,因此, CIR模型的對數似然函數可以表示為:

(3)

a=Xt+α(μ-Xt)Δ

(4)

b=σ2XtΔ

(5)

Δ=ti+1-ti

(6)

式中:a為正態分布的均值;b為正態分布的方差;n為模擬客流的天數;Δ為時間步長。

本文采用極大似然估計CIR模型參數,利用對數似然函數分別對α、μ和σ求偏導數,可以得到:

(7)

(8)

(9)

然后,分別令式(7)～式(9)等于零,并求解方程組得到模型參數α、μ和σ。

CIR模型的模擬值具有隨機性,但在多次模擬下,任意時刻的平均客流都將趨近于均值μ,結合隨機種子,可以巧妙地將參數特征可視化(圖1)。某地鐵站在某一天的客流因擾動影響而偏離正常水平位于某較低值,其偏離程度取決于波動率σ。隨著時間推移,擾動逐漸退散,客流逐漸回升并最終再次達到正常水平,而這一過程的彈性由恢復速率α表征。同理,當擾動造成客流高于正常水平時的恢復過程亦是如此。

圖1 參數特征

2 案例分析

2.1 車站客流彈性

本文的案例分析以南昌市地鐵為例,截至2021年底,南昌市地鐵有三條運營線路,70座地鐵站。利用 2021年1月～7月各個車站進站和換乘客流數據來驗證方法的可行性。為分析日常客流的波動行為,在數據處理時,過濾掉元旦等節日的數據點。由分析可知,有80%的車站能夠在誤差允許范圍內通過驗證。為了分析多情景下的客流彈性,車站的選擇需考慮線路、位置等因素,選取地鐵站中的9個車站進行說明。南昌市地鐵拓撲網絡見圖2。

圖2 南昌市地鐵拓撲網絡

圖3展示了9個車站在短期內的客流演變。根據上一節的方法,通過式(5)～式(7)估計CIR模型中的α、μ和σ,具體數值見表1。從表1可知,長江路站和上沙溝站的彈性最高,達到0.78,表明客流在受擾動沖擊后能快速恢復至正常水平;地鐵大廈站的彈性最低,僅為0.37,表明客流可能在較長時間都將偏離正常水平;同時,地鐵大廈站的波動率也是最大的,表明客流受擾動因素影響而變化劇烈。作為1號線和2號線的換乘站,車站之間的交換客流可能是導致客流彈性低、波動率高的原因。值得注意的是,長江路站客流的波動率約為上沙溝站的兩倍,但彈性與之相同,表現出長江路站客流對擾動更加敏感。由于影響周期是短暫的,因此客流能以較快的速率恢復到正常水平。

表1 車站客流模擬結果

圖3 短期客流演變

以施饒站為例分析不同參數時客流的演變過程,參數下的客流演變見圖4。從圖4可知,當波動率σ相同時,彈性越高客流恢復到正常水平的速率越快;當彈性α相同時,波動率越大客流變化越劇烈。

圖4 參數下的客流演變

本文針對每個車站,借助Matlab編程模擬表1參數的客流演變過程。模擬過程如下:

①初始化模型參數:α、μ和σ。

②定義時間參數:時間步長為dt、模擬天數為n。

⑤模擬第i天客流Xi=Xtemp。

⑥重復④～⑤,,模擬第i+1,…,n天客流。

模擬客流以經驗累積分布函數(ECDF)曲線的形式給出,見圖5。結合圖5數據并根據式 (8) 計算模擬客流與實際客流的平均誤差,計算可知,平均誤差在20%以內,且通過K-S檢驗,模擬值與實際值具有相同分布(P>0.05)。上述計算結果驗證了客流彈性、波動率參數估計值的可靠性。

(a) 1號線1、3車站

(10)

式中:n是模擬客流的總天數;Xi是第i天的模擬客流量;Yi是第i天的實際客流量。

2.2 客流彈性影響分析

車站客流是多個車站進站和換乘客流之和,通過CIR模型模擬9個車站的客流演變,其平均誤差為10.95%。同樣地,可模擬其他組合車站的客流。根據多車站客流彈性與其車站的內在聯系能夠得到整體客流的演變規律。首先分析多車站客流彈性與其中最大客流車站的彈性關系,具體做法如下:

①計算9個車站的客流彈性以及其中最大客流車站的彈性;②去除最大客流車站,計算剩余組合車站的客流彈性以及其中最大客流車站的彈性;③重復②,直至剩余兩個車站。

多車站客流與最大客流車站的彈性關系見圖6。從圖6可知,兩者呈正相關,隨著最大客流車站彈性的增大,多車站客流彈性也在增大。另外,最大客流車站主導多車站的客流彈性,如在有9個車站的多車站情況下客流彈性僅是0.45,正是因為地鐵大廈站的客流彈性是0.37,遠低于其他車站彈性的平均值0.71。

圖6 多車站客流與最大客流車站的彈性關系

分析多車站客流彈性與其中小客流車站的關系時,將9個車站按客流量分為大客流車站和小客流車站,其中地鐵大廈站為大客流車站,其余8個車站為小客流車站。在模擬客流演變時,可將8個小客流車站的客流合并作為一個整體,合并后的客流均值仍小于地鐵大廈站的客流均值。假設在兩類客流波動率σ相同的情況下,討論兩者的關聯。

多車站與小客流車站的彈性關系見圖7。從圖中可知,當小客流車站的客流彈性α=0.2時,多車站客流彈性隨客流均值逐漸減小,這是由于小客流所占的總客流權重增大,削弱了最大客流的主導作用,使得多車站客流彈性趨向于小客流車站的客流彈性;當小客流車站的客流彈性α=0.5時,多車站客流彈性基本不變,近似于最大客流車站(地鐵大廈站)的彈性,在此情況下,多車站客流彈性依然由最大客流車站主導;當小客流車站的客流彈性α=0.8時,多車站客流彈性隨客流均值的增大逐漸增大,與α=0.2時相同,多車站客流彈性受小客流車站的影響,其客流彈性有所增大。

圖7 多車站與小客流車站的客流彈性關系

3 結論

(1) 通過CIR模型能夠模擬穩定客流在短期時間內的波動過程,平均誤差在20%以內。

(2) 客流彈性指標定量描述了地鐵客流在受擾動后再次恢復到正常水平時的速率,為客流的變化規律提供一種新的量化指標。

(3) 本文研究的案例中,中間站的客流彈性平均值為0.71,波動率平均值為7.29,具有客流彈性高、波動率低的特征;地鐵大廈站作為換乘站,其客流彈性為0.37,波動率為37.39,具有客流彈性低、波動率高的特征。多車站組合客流的彈性受其單一車站客流彈性的影響,即受大客流車站彈性主導,小客流車站彈性牽制。