函數圖像在服裝圖案設計中的應用

董銳

（伯明翰城市大學 時尚與紡織學院，英國 伯明翰B47BD）

0 引言

圖案設計是服裝設計中的主要環節，傳統的圖案設計是依靠圖案設計師的知識儲備和想象能力進行構造，通過手繪及構圖軟件繪制。其受限于設計者的個人創作及專業的繪圖能力，圖案從需求、靈感到最終呈現耗時較長。數學作為基礎學科，對其他學科有著無法忽視的影響力，在圖案設計領域，也有很多建立在數學思維和理論的設計方法。文章《數學知識在服裝設計中的應用研究》[1]也描述了數學與設計的學科交互影響。數學中幾何學在圖案設計中占有非常重要的地位，近些年，分形幾何在圖案設計領域備受矚目。文章《復平面上分形圖的生成及在紡織品上的應用》[2]在深度學習的角度中，分析了分形幾何的在紡織圖案設計中的算法及應用方式。

數學中具有藝術美感的圖案除幾何學外，代數領域的函數圖像也是數學函數學中的重要組成部分，是數形結合的代表，函數圖像所勾勒的圖案多變且獨特，應用于圖案設計中，可以在學科交叉的背景下，將圖像與圖案設計學進行結合[1]。根據圖案設計背景，以函數圖像生成器為技術手段，通過挑選函數類型并調整函數參數以達到快速高效的完成圖案的產出。這種以函數圖像為基礎的圖案設計方是數學與美學的結合，增添了圖案設計的方法。

1 函數圖像的概述

函數的定義可以從集合、映射的觀點出發，即給定一個數集A，假設其中的元素為x，對A 中的元素x 施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集B，假設B 中的元素為y，則y 與x 之間的等量關系可以用y=f（x）表示。而函數圖像即是一種用來表示函數的可視化形式，函數圖形的獲得是通過一系列描點來實現的。可先假設參數等于某些適當的實數值將這些實數值逐一代入參數方程中求得x 和y 的相應值。由算出的x 值與y 值在直角坐標系中描出最后通過這些點連成曲線[3]。

函數圖像具有一些常見的性質：第一，具有連續性的函數圖像，因而在圖案設計中，可以滿足不同大小的圖案設計需求，在更改函數系數的情況下，可以任意尺寸下擁有足夠多的細節。因而，基于函數圖像的圖案設計，可以滿足任意尺度下對圖案細節的需求。第二，具有對稱性的函數圖案，在圖案設計中，對稱性的圖案占有很大的比重，人們的審美對于對稱圖案有著很大的偏好。函數中的對稱函數的幾何化表現即對稱性函數圖像，可以為對稱性圖案設計提供很多的設計參考及元素。第三，具有單調性的函數圖像，單調性在數學中描述在一個指定區間內，函數值變化與自變量變化的關系。當函數f(x)的自變量在其定義區間內增大（或減小）時，函數值也隨著增大（或減小），則稱該函數為在該區間上具有單調性（單調遞增或單調遞減）[4]。在圖像的表現中，即為一條沒有波動的平滑曲線。運用在圖案設計中，可以通過參數的調整來設定在一定范圍內形成可以預測的一條曲線，在紡織圖案設計中整片坯布連續圖案的繪制中可以采用該函數曲線。同樣的，整片坯布連續圖案設計中還可以采用第四種函數類型，即具有周期性的函數圖像，進行設計，并且只需在其中一個周期內進行設計及參數調整。

以往的圖案設計，大多由設計師構想繪制，因而圖案的修改調整限制較多。因而當一個圖案設計敲定后不會在進行修改。但運用函數圖像進行設計的圖案，可以融合設計師的個人專業素養和審美偏好，通過選擇函數類型，輸入公式以及調整參數后，快速的生成函數圖像。

2 函數圖像的變化形式

在數字化發展日新月異的當下，函數圖像生成器廣泛應用于科研、教學等多個領域。有操作簡單的Desmos，也有在數據研究常用的Matlab，利用相關軟件，可以形成具有重復、漸變、放射特點的圖形。

2.1 重復

將特定函數的圖像通過數學軟件構造后再按照不同的骨骼線重復有序排列[5]。即可構成重復圖形，這類圖形在圖案設計中應用廣泛，是整坯印染圖案的重要組成部分。且重復圖案可以為織物提供條理感與一定程度的節奏感。

2.2 漸變

漸變構圖方式可以表現圖形的變化過程。將函數圖像通過系數調整的方式可使其按照一定的規律進行變化，形成漸變。漸變可以使各部分圖形之間具有相互獨立又相互關聯的特性。韻律感和整體性使其深受圖案設計師的偏愛。

2.3 放射

放射的性質與射線相似，確定放射中心，再將放射的方向進行調整與歸攏。放射狀圖形可以由函數圖像構成，通過定義域及參數調整，使函數圖像能夠從同一點出發，并具有規律方向。

3 函數圖像在圖案設計中的應用

以函數圖像作為圖案設計的基礎元素，通過重復、漸變等方法，利用Desmos，可以設計出符合現代審美體系的圖案[6]。

3.1 花瓣形函數圖像的圖案設計

圖1 花瓣形函數

在圖1（a）中可見，在a 與b 不變的情況下，N 值為2 時的藍色花團比N 值為1 的綠色花團更大。對比圖1（a）與圖1（b）,可見在N 值與b 值不變的情況下，a 值的變動引起了花瓣數量的變化。在N 值與a 值不變的情況下，b 值的變動影響了花瓣的寬度。

3.2 心型函數圖像的圖案設計

常見的心形函數有笛卡爾心形函數和心形波動曲線。

笛卡爾心形函數r=α（1-sinθ）曲線圖像,其中a 為該函數的參數，θ 與r 為變量。a 值越大，則圖像越大，如下圖2（a）與2（b）所示。

圖2 笛卡爾心形函數

通過重復的圖案設計方法，在a 取值依次按規律增大時，取其中三個函數圖像結合，與一元二次函數結合生成蘋果圖。

如下圖3（a）所示，舉例說明心形波動函數調整參數后，進行構圖的圖案。通過漸變的圖案設計方法，并添加更多的參數在函數中，進行位置調整。并將B 值進行大小不同的設定，可以形成不同位置的心形圖案，錯落有致，增加圖案的韻律。在通過k 值的調整，可以得到不同密度的新圖案如圖3（b）所示。

圖3 心形波動增加密度圖案設計

基于以上例子，可以發現使用數學函數來創造圖形時，不僅需要軟件作為輔助工具。在圖形的設計過程中，首先需要對函數及其性質有著足夠的了解，在構圖過程中，如何選擇函數，各種函數之間的組合應該怎樣協調，函數變化的參數如何調節，才可以為函數圖像的設計打下基礎。同樣的，圖案的審美和創造能力也起到了關鍵的作用，對于函數構造的基礎圖像如何應用，怎樣進一步的藝術化處理能夠更好的滿足面料及進一步服裝設計的需求。這是學科交叉應用及學習以表達設計思想的一種設計方式[8]。

4 以函數圖像為基礎的圖案應用

4.1 圖案調整

圖案設計在保證其符合現代審美和構圖協調的同時，也要確保其實用性和適用性。在圖案設計中，需要根據服裝風格、織物紋理、經濟、印染織造的技術進行適當的調整

在函數圖像確定后，通過常見的圖案處理軟件在以下幾個角度進行調整。

首先，調整配色，函數圖像原本是沒有顏色搭配的，只是數串的一種幾何化形式。而在紡織品圖案設計中，配色是不可或缺的一環，所以在函數圖像確定后，要根據其特性篩選可用的配色，如花瓣形函數大多采用鮮艷的配色，而一些線條簡單的函數圖像如正弦函數圖像則可以采用飽和度低的顏色或者黑白配色。

其次，調整結構，通常在圖像設計中先構造一個組織單元的完整印花圖案，在根據圖案應用方向設定新的參數等以通過四方連續等方式對花擴展到整幅坯布的連續性印花模版才完成圖案設計的基本環節[9]。在函數圖像應用時，由于有些函數本身具有周期性，可以基于這里函數圖像采用垂直對稱或垂直方向重復的方法直接構造整幅印花。也可以將函數圖像進行整體或局部復制的方式營造整體設計的造型效果，拓展印花方式新布局。唯一需要注意的就是在構圖時需要注意應用的織物的幅寬等尺寸限制。

第三，去繁存簡。函數圖像的特點在于利用函數式能夠將圖形的局部無限精細化，而服裝受載體限制，不可能像紙張一樣精細，因此需要對圖形的繁瑣部位進行取舍，通過去繁存簡的方式使服裝更具有視覺美感[10]。

4.2 工藝手法

以函數圖案為基礎的圖案與以往的圖案設計方式相似，在圖案的輸出和呈現上，都可以采用印花、染色及織造等手段。其中，最常見的方法是印花，原因在于印花最為簡單和直接，并可以保留最多的圖案細節[11]。對于細膩謹慎的函數圖像來說，可以最大程度的發揮這類圖案的優勢。同時，織花也是非常合適的方法，函數圖像的繪制離不開坐標系，而坐標系常見的形式是被橫縱分割成無數塊的，可以與織造的結構線快速的對比并設計織花的條理。且織花可以使得圖案增加像素化般的質感，賦予圖案更高的藝術價值。除此之外，刺繡、激光切割等方式也可以作為函數圖像的呈現方法。

5 結語

函數圖像在數學中體現了數形結合思想，在圖案設計中，連續性、周期性、對稱性的函數以其獨特的性質為設計提供了新的思路。利用函數圖像生成器，基于函數的性質，可以達到快速精準的繪制圖像的效果。并利用重復、漸變等圖像處理方式，可以構造多種變化形式的圖案。并且通過調整參數可以適應多種圖案應用材料與場合。函數處理器用于圖案設計，將提升圖案設計效率和精確度，更為設計打開新思路。