在高等代數課堂上培養本科生的科研思維

唐黎明 穆強

[摘 要]隨著適應培養高精尖人才要求和本碩博一體化培養模式的實施，科研能力的培養已經不再僅僅是對研究生的能力要求，而成了本科人才培養的一個重要內容。為了培養本科生的科研思維能力，結合高等代數課程特點，提出從特殊到一般的推廣思想、從抽象到具體的簡化思想、從復雜對象發現本質的歸納思想、從具體轉化為抽象的總結能力這四個關鍵點，以期為本科生科研思維培養提供理念和方法上的參考。

[關鍵詞]高等代數；本科生；科研思維

[中圖分類號] G642? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] A [文章編號] 1008-2549（2024） 01-0075-03

一、本科生科研思維的培養

2018年9月，教育部發布的《教育部關于加快建設高水平本科教育全面提高人才培養能力的意見》指出，推動國家級、省部級科研基地向本科生開放，為本科生參與科研創造條件，推動學生早進課題、早進實驗室、早進團隊，將最新科研成果及時轉化為教育教學內容，以高水平科學研究支撐高質量本科人才培養。鑒于國家對本科生參與科研重視的大背景，結合教學中對于本科生的培養經驗，認為在高等代數課堂上對本科生科研思維的引導和啟發是教學過程中的目標之一，是高等代數課程的升華。對本科生科研思維的培養與滲透，不僅是為后續代數課程鋪墊基礎，而且也是本碩博一體化培養模式的基點。2022年2月召開的中央全面深化改革委員會第二十四次會議審議通過的《關于加強基礎學科人才培養的意見》，也強調實施基礎學科專業、課程、教材、實踐條件等專項建設行動。提出積極探索拔尖創新人才早期發現和選拔培養機制，加大強基計劃實施力度，支持實施本碩博一體化人才培養改革。這實際已經表明培養科研人才需從小做起。本科生作為中學生和碩士生之間的過渡，對其科研思維的培養是國家政策的要求，也是本科教育環節中必不可少的措施。高等代數課程是師范大學與綜合性大學數學專業的主干課程，是后繼各門課程乃至數學研究與應用的基礎。高等代數以行列式、線性方程組以及矩陣等基本理論為基礎，繼而研究線性空間以及線性變換的基本理論，具有高度的抽象性、概括性以及普適性等特征，其完整的知識體系及其所蘊含的數學思想方法，對于培養學生高度的概括能力、嚴謹的推理能力、準確的表達能力以及透徹的理解能力，具有極為重要的意義。國內外培養本科生科研思維方面的研究有很多，[1-6]本文著重從高等代數課堂角度，從本科生課堂開始，結合高等代數這門課程的特點，即：高等代數課堂大視野研究問題的角度、抽象的知識體系等，去探討在高等代數課堂上結合高等代數知識本身的特點，在授課中如何潛移默化地培養本科生的科研思維。本科生科研思維的培養是本碩博一體化培養的堅實基礎，是為高精尖數學人才培育幼苗，是本碩博一體化培養模式的關鍵環節。

二、高等代數課程的特點

高等代數作為師范院校或綜合類院校數學專業的主干課，其學科特點對于培養學生的抽象思維能力具有重要的作用，經過多年的高等代數教學以及代數方向研究生的培養，總結出高等代數教學過程中，尤其是在課堂上去啟發和引導學生的代數思維，應該結合高等代數學科的以下特點：

第一，高等代數學科強調大視野地研究問題的本質。普適性的基本理論及其獨特的數學思想方法是高等代數課程的主色調， 例如， 線性方程組理論旨在給出任意線性方程組有解的充分必要條件，判定線性方程組何時有解，以及在有解情況下解的構成。主要思想是將線性方程組求解問題轉化為矩陣的變換問題，主要手段為矩陣的初等變換，主要核心概念為矩陣的秩。在教授與學習的實踐中，本質為掌握線性方程組的基本理論及其求解思想方法的框架，而代數計算、矩陣技巧、實際應用等，雖然是重要的，但不是這門課程的后續應用課程的培養方向。

第二，高等代數主要通過化無限為有限、化具體的對象為抽象，宏觀地研究問題，基于公理化定義的邏輯推理是高等代數課程的主旋律。 例如，向量空間的豐富理論完全是從它的公理化定義出發，通過邏輯推理建立起來的，其系統的結構體系就像一棵參天大樹，而向量空間的公理化定義就是這棵大樹的根基。盡管向量空間是通常具體的幾何空間推廣，人們可以類比幾何直觀去思考問題，但建立向量空間理論所依邏輯推理僅基于公理化定義而獨立于通常幾何空間。在教授與學習的實踐中，既要培養從客觀共性中抽象出普適性結論的能力，將具體問題放到更為一般的框架內予以解決，也要培養在公理化體系內進行邏輯推理，再把抽象轉化為具體的靈活運用能力。

第三，嚴謹的邏輯推理能力與準確的表達能力是學好高等代數課程的必備基礎，該方面能力在后續課程學習中應仍得以繼續提升。在教授與學習的實踐中， 對一個定理、命題或論斷，力求首先在大腦中達成證明思路框架，始終保持思路透明清晰，然后再寫出邏輯推理證明過程并予以推敲潤色，即所謂“先有想法，再做出來”。就像圍棋手談，招法步數已然成竹在胸，方能子落棋盤、行云流水、 一氣呵成。讀高等代數書也要從厚到薄，學習之后知識體系在大腦中猶如一棵思維樹，對于重要的命題心中要有例子，表達時同時采用多種方式，如字母公式表達、純文字表達、圖示表達等，多方位理解知識，提升邏輯推理能力，并會加以應用，以達到舉重若輕之目的。高等代數中無處不閃耀著經典數學思想方法的光輝，如化歸、分類、歸納、類比等，在學習過程中尤其應注意發現、提煉本質并學會靈活應用。

三、高等代數課堂上培養本科生科研思維

在實際教學中談及高等代數，學生初學后的感觸多為即使上課聽懂了，課下也不會做題，這也反映出了高等代數知識的高瞻性、抽象性。對于教師而言，高等代數概念紛雜，故在課堂講授中，教師應呈現給學生一個脈絡圖，有主干、有枝葉，厘清各個知識點之間的脈絡關系、主次關系，及各章節之間的銜接關系，在此過程中引導學生舉一反三，教會學生學會用代數思維思考問題，體會高等代數知識的嚴謹性、抽象性、普適性。基于高等代數課程的特點，結合不同專業高等代數課程的培養方案和教學大綱，教師在授課過程中要注重從以下四個方面培養本科生的科研思維，體會高等代數知識體系的特點：

第一，從特殊到一般的推廣思想。高等代數中對于一個或兩個代數對象成立的命題，教師在授課過程中，可以引導學生考慮是否可以推廣至自然數n個代數對象情形。例如：兩個集合的交可推廣至多個集合的交；一元多項式可以推廣至多元多項式；二階行列式推廣至n階行列式；兩個向量空間的直和可以推廣至多個向量空間的直和；兩個子空間的交可以推廣至多個子空間的交等。在課堂上可以引導學生學會推廣的思想，在課后可以給學生留思考練習題或以本科畢業論文等方式，潛移默化地向學生灌輸推廣思想并引導其學會應用。代數上推廣的思想是科研入門的起步，很多初入科研之門的課題也是從推廣開始的。

第二，從抽象到具體的簡化思想。高等代數學習中，學習集合、元素、子集后，對比著學習向量空間、向量、子空間等代數對象，教會學生學習一個代數系統后，學會總結和舉一反三，通過已知學習未知。學習一個新的代數對象，通過考慮它包含的對象及子系統進行學習，教師要引導學生從局部去看整體，進而培養學生的總結抽象思維，為進一步深入學習復雜的代數對象做好鋪墊。一個向量空間中的無數個向量可以由基確定，尤其對于有限維向量空間，無數多個向量可以由有限個基向量確定，從而體現了從復雜到簡單、從無限到有限的思想。進而，從n維向量空間到Fn，從歐式空間到Rn，也體現了從抽象到具體、從具體再到抽象地考慮問題的思想方法。教師在教授學生學習抽象知識的同時，要引導學生學會考慮問題的思想方法，整體復雜的可以從局部開始考慮；由于抽象的復雜，可以把抽象的對象與具體的對象建立聯系，代數上同構的對象可以看做是一樣的，從而用具體的對象的性質去反觀抽象的代數對象的性質。在科研上，遇到復雜的問題時也需將其轉化，將與已知的具體的相聯系作為突破口，從而去解決復雜的問題。

第三，從對象發現本質的歸納思想。向量空間是高等代數中的重要概念，其中的向量有無數多個，但是起決定性作用的是基，即通過任何向量可以唯一的由基向量線性表示，故研究基之間的性質即可對整個向量空間中的向量的性質進行把握。體現了通過有限或可數研究無限的思想，從而發現本質的歸納思想。引導學生學習由復雜到簡單、由一般到抽象本質的化歸思想。依據代數對象的等價關系可以將代數對象進行分類，例如：矩陣的合同關系，矩陣的相似關系，二次型的等價關系，向量空間的同構關系，向量組的等價關系等。利用以上可以把代數對象進行分類，去研究每一類中的代表元素，從而起到把握整體的效果。把復雜無限轉化為簡單有限、抽其本質的思考方法，是代數學習中至關重要的思想方法。通過以上的學習，教師在授課過程中在傳授知識的同時，潛移默化地滲透給學生科學研究的本質，使學生擁有代數思維，使思考問題的角度和方法更立體，從分類角度去歸納復雜的研究對象。

第四，從具體轉化為抽象的總結能力。通過解析幾何中具體的向量空間V2與V3，對比學習的向量空間概念。教師在講授課程的同時，要教會學生具有由一般到抽象的總結能力。高等代數及近世代數是后續代數研究的基石，后續的研究生階段的李代數及李超代數、頂點算子代數等，都是高等代數課程的延伸，并有著一套自有的代數體系，若從本科生開始就注重學生代數思維的培養，對學生日后的學習必定有大大益處。教師要注重學生的能力培養，使學生把握住代數學習的整體感。學會把零散的、復雜的代數概念系統化，具備這樣的能力后，學生在學習過程中就能對知識的脈絡有清晰的掌握，也能在消化理解已學知識的同時，對未知知識的學習也有著掌控感。

要想讓學生掌握好高等代數，具備科研思維能力，就既要見“樹木”又要見“森林”，既要做“戰術家”又要做“戰略家”。在高等代數教學中，教師要著重培養學生的邏輯推理能力與數學表達能力，嚴格要求、夯實基礎，方能在后繼學習乃至科研中閑庭信步，品味數學之美。教師在傳授知識的同時，要引導學生全方位了解代數科研動態，激發學生科研興趣，在本科課堂上，也能使學生接觸到本方向研究的核心思想。

四、本科生科研思維培養的發展趨勢

憑借多年教學經驗的積累，認為應避免從晦澀難懂的基礎知識學起，適當調整講授內容及方法，注重應用性、引導性。目的在于讓學生們帶著目的以及問題學習，力求使他們對科研產生興趣，提前進入學術研究狀態。教師要圍繞高等代數知識體系，合理安排教學內容，激發學生的學習及科研興趣，并使學生在學習過程中能夠更深一步地領會代數學的作用和意義，從而促進對專業知識的學習，培養學生的科研思維能力。教師只要在授課過程中多聯系、多歸納總結，對學生進行啟發式教學，從以上四個方面引導、培養學生代數思維能力，會逐漸使學生建立初等的科研思維，同時也可以激發學生學習代數的興趣。

在高等代數課堂上，教師要有針對性地講解科研形勢、科研手段等，然后讓學生形成自己的科研思路，使學生感受到科研思維的魅力，因而愿意在科研之海繼續快樂地遨游。本科階段培養學生科研思維的意義，不在于寫了多少文章做了多少項目，而是在考慮一個小項目、小課題的過程中，形成的一種認知，這可以幫助學生了解自己，也更了解這個學科，以便給自己定下一個發展目標。

當然，培養本科生的科研思維能力不僅局限于課堂上，還要對傳統基礎數學方向研究生培養模式、教學模式和培養機制進行改革，對課堂教學、輔助教學進行改革，對培養模式的改革與探索進行梳理和總結。對本碩博教育資源也要進行整合，使資源貫通化，達到精簡培養環節、提高課程效率的目的，促進學生自主學習的開展。可以實施時間自由化，一方面可以方便碩博連讀生提前進入博士階段課程學習，另一方面給學生釋放更多的時間，讓其進行自主學習和科研實踐；可以讓課程靈活化，打通學科二級方向的課程設置，學生可在導師指導下選修不同方向的課程；可以使培養國際化，讓碩博生跨校培養，利用網絡共享課程等資源，實施國際化培養。教學與科研相輔相成，把本科生的科研思維培養納入日常教學體系和培養方案中，鼓勵學生參與學校和導師的科研活動，接觸學科領域前沿。根據學生學歷層次、專業特點不同，探索、提升本科生科研思維能力與科學研究能力，都是十分重要的環節。

參考文獻：

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（責任編輯：王義祥）

基金項目：黑龍江省高等教育教學改革研究項目：“代數學方向本碩博課程貫通式拔尖人才培養模式研究”（SJGY20220342）。

作者簡介：唐黎明（1981—），女，博士，教授，研究方向：李代數及李超代數；穆強（1977—）， 男，博士，教授，研究方向：算子代數。