化動為定 探解法之本質(zhì)
——一道中考填空壓軸題的解法探究

何則淦

(福建省福州市長樂區(qū)航城中學(xué),福建 福州 350200)

中考填空壓軸題具有結(jié)構(gòu)優(yōu)美、解法多樣等特點(diǎn),本文以2019年連云港市第16題為例,對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析、解法探究、解題步驟、模型提煉.

1 試題再現(xiàn)

圖1 中考題圖

2 結(jié)構(gòu)分析

2.1 條件分析

矩形ABCD長、寬分別為4與3,故此矩形為確定性圖形,與矩形ABCD有關(guān)的線段、角、面積等相關(guān)要素都可求得,由勾股定理易得對角線BD=5,利用面積法可求得點(diǎn)A或點(diǎn)C到線段BD的距離2.4,⊙C是以矩形ABCD的一個頂點(diǎn)為圓心,與對角線BD相切,故⊙C半徑是2.4.

2.2 結(jié)論分析

所求結(jié)論是兩條動線段的比值,主動點(diǎn)P在圓上,從動點(diǎn)T在矩形ABCD的對角線BD上,進(jìn)一步觀察可發(fā)現(xiàn)這兩條動線段的公共端點(diǎn)為A.故本題是一道確定矩形和確定圓上點(diǎn)之間的距離問題.

2.3 圖形分析

如圖1,從整體分析,矩形ABCD和⊙C都具有對稱性,但本圖并沒有直觀的對稱軸.從局部分析,把矩形作為中心對稱圖形,點(diǎn)A與點(diǎn)C為對應(yīng)點(diǎn),故它們到對角線BD的距離相等,圓作為一種特殊的對稱圖形,這里僅考慮切點(diǎn)關(guān)于圓心C的對稱點(diǎn),往往這就是解題的突破口.根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn),可以通過P點(diǎn)作相應(yīng)線段的平行線,構(gòu)造相似三角形,然后利用相似三角形的性質(zhì)求解.

3 解法探究

3.1 基于條件特殊化下探究最值

如圖2,把矩形ABCD特殊化為正方形,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AC的延長線上時(非切點(diǎn)),此時AT取最小值,AP取最大值,非常容易求出的最大值為3.

圖2 矩形特殊化為正方形

3.2 基于平行線構(gòu)造相似的思路分析

構(gòu)造出相似三角形是解決本題的第一個關(guān)鍵步驟.AP,AT都是在點(diǎn)P變化過程中長度變化的線段,可通過構(gòu)造相似三角形將其轉(zhuǎn)化為相似三角形對應(yīng)邊之比,且其中一條線段的長度是定值,將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量,減少了變量,實(shí)現(xiàn)此過程最有效的手段就是過特定的點(diǎn)作相關(guān)線段的平行線,構(gòu)造相似三角形.結(jié)合點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動,根據(jù)構(gòu)造的相似三角形與圓的最值的相關(guān)知識解決問題.

解法1 如圖3,過點(diǎn)P作PE∥BD交AB的延長線于點(diǎn)E.

圖3 解法1圖

圖4 PE與⊙C相切圖

圖5 解法2圖

圖6 解法3圖

圖7 解法4圖

3.3 基于三角形面積轉(zhuǎn)化的思路分析

圖8 解法5圖

4 解后思考

由以上解法可以看出,解決這類問題可從以下幾方面入手.

(1)觀整體:運(yùn)用幾何圖形基本性質(zhì),求解隱含幾何常量.從已知出發(fā),根據(jù)矩形性質(zhì)、圓性質(zhì)、切線性質(zhì)求得矩形的四條邊長、對角線長及頂點(diǎn)到對角線的距離,其中求出圓的半徑對于解答本題至關(guān)重要.

(2)尋動點(diǎn):明確動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡,構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)化變量.點(diǎn)P是主動點(diǎn),點(diǎn)T是從動點(diǎn),為降低難度必須轉(zhuǎn)化變量,將兩個變量轉(zhuǎn)化為一個變量,構(gòu)造相似三角形是轉(zhuǎn)化變量最重要的手段,最常用的方法就是作平行線.

(3)察最值:觀察動點(diǎn)定線位置,確定點(diǎn)線距離最值.當(dāng)問題轉(zhuǎn)化為單變量時,發(fā)現(xiàn)這個變量最終是圓上的一個點(diǎn)與一條定直線之間的距離,因而只要去判斷點(diǎn)線距離便便獲得最值.

5 結(jié)束語

中考壓軸題的解題過程,既要分析題目條件與結(jié)論的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu),又要分析解題的依據(jù)和數(shù)學(xué)的本質(zhì),順勢而思、自然生成.本例在轉(zhuǎn)化思想的引領(lǐng)下,借助幾何直觀和相似模型實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化,對結(jié)論逆向溯源獲得解題途徑.