利用同構思想巧思妙解

■山東省棗莊市第二中學 王中華(正高級教師)

同構思想是數學基本思想之一,在數學中最簡單而常用的同構類比,就是數形結合、函數與圖像、代數與解析幾何等。這就使得人們可以用代數方法來研究幾何,或者用幾何方法來解決代數問題。此思想方法常用于求解含有對數、指數等混合式子結構的等式或不等式問題。

同學們用同構法解題,除要有同構法的思想意識,還需要有較強的觀察思考能力和變形轉化能力。

一、在方程中的應用

選B。

感悟提升:如果方程f(a)=0和f(b)=0呈現同構特征,則a,b可視為方程f(x)=0的兩個根。本題考查導數同構求解函數值,也考查運算求解能力、轉化與化歸思想,屬于中檔題。解本題的關鍵在于根據同構式整理得e3lnx+x-4+3lnx+x-4=elnx+lnx,進而構造函數f(x)=ex+x,研究函數的單調性,可得3lnx+x-4=lnx,即,進而求解。

二、在函數中的應用

例2已知f(x)是定義在R 上的增函數。

(2)若f(x)為奇函數,且不等式f(ax2-3x-1)+f(-ax+5)>-ax2+(3+a)x-4對任意的x∈R 恒成立,求實數a的取值范圍。

(2)f(x)為奇函數,原不等式恒成立等價于f(ax2-3x-1)+ax2-3x-1>-f(-ax+5)+ax-5對任意的x∈R 恒成立,即f(ax2-3x-1)+ax2-3x-1>f(ax-5)+ax-5對任意的x∈R 恒成立。

構造函數h(x) =f(x)+x,易知h(x)是定義域在R 上的增函數。

故原不等式恒成立等價于ax2-3x-1>ax-5對任意的x∈R 恒成立,即ax2-(3+a)x+4>0對任意的x∈R 恒成立。

當a≤0時,結論顯然不成立;

當a>0 時,則(3+a)2-16a<0,解得1

故實數a的取值范圍是(1,9)。

感悟提升:對于含參的恒成立問題(不能分離型),不妨探索式子的結構特征,并將不等式左右兩側化為相同結構,合理構造新函數,利用單調性去掉“殼”,簡化問題。

三、在邏輯用語中的應用

例3若a,b∈R,則“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

分析:根據不等式的結構特點構造函數,利用函數的單調性解不等式。借助不等式的性質,結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結論。

解:觀察a|a|>b|b|可發現其同構的特點,依據這種結構,設函數為f(x)=x|x|,分析其單調性。

f(x)=x|x|=分析可得f(x)在定義域內為增函數。

因此,a>b?f(a)>f(b),即a>b?a|a|>b|b|,是充要條件。選C。

感悟提升:本題主要考查充分條件和必要條件的定義,可利用不等式的性質,結合分類討論思想解題。

四、在數列中的應用

例4已知在數列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求數列{an}的通項公式。

分析:可將遞推公式變形為“依序同構”的特征,即關于(an,n)與(an-1,n-1)的同構式,從而將同構式設為輔助數列便于求解。

解:因為an=2an-1+3an-2,所以an+an-1=3(an-1+an-2)。

又a1+a2=7,故{an+an-1}是首項為7,公比為3的等比數列。

因此,an+an-1=7×3n-2。①

又an-3an-1=-(an-1-3an-2),a2-3a1=-13,故{an-3an-1}是首項為-13,公比為-1的等比數列。

因此,an-3an-1=(-13)·(-1)n-2。②

由①×3+②得:

4an=7×3n-1+13×(-1)n-1。

感悟提升:可以變形為an+1-x1an=x2(an-x1an-1),其中x1,x2是方程x2-px-q=0的兩個根。若1是方程的根,則直接構造數列{an-an-1};若1不是方程的根,則需要構造兩個數列,采取消元的方法求an。同構式在處理數列問題時,通常應用構造輔助數列求通項公式。當遞推公式比較復雜時,構造出an和an-1的同構式,其中關于n的表達式f(n),f(n-1) 分別與an和an-1相對應,進而尋找輔助數列。

五、在不等式中的應用

例5若?x∈[0,2],使不等式(e-1)·lna≥ae1-x+e(x-1)-x成立,其中e為自然對數的底數,則實數a的取值范圍是_____。

分析:利用同構思想將原式變形,構造新的不等式et+1≥et+t,通過數形結合得到t的范圍,由此反推出a的取值范圍。

解:由題意知ae1-x=elna+1-x,原式可變形為

移項且兩邊同時加1 得e(lna+1-x)+1≥elna+1-x+lna+1-x。

令lna+1-x=t,原式可得et+1≥et+t。不妨令f(t)=et+t,g(t)=et+1。

已知g(0)=f(0)=1,g(1)=f(1)=e+1。

由 圖1 可 知,當f(t)≤g(t)時,可得t∈[0,1],即0≤lna+1-x≤1,也 即x-1 ≤lna≤x。

圖1

因為題目為存在性命題,且x∈[0,2],所以-1≤lna≤2,解得

感悟提升:如果不等式的兩側呈現同構特征,那么可將相同的結構構造為一個函數,進而和函數的單調性建立聯系,可比較大小或解不等式。同構題型識別度較高,當題目中同一個參數出現在多個位置且無法分離時,同時式子中有指數、對數、冪函數,常常想到用同構思想來解題。

六、在三角函數中的應用

例6如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θcos3θ),θ∈[0,2π),那么θ的取值范圍是____。

分析:本題是一個關于sinθ,cosθ的高次不等式問題,直接通過分解因式來降次較為困難,注意到不等式中項的結構特征可考慮移項后構造合適的函數,利用函數的性質來解答不等式。

解:本題很難直接去解不等式,觀察式子特點可發現,若將關于sinθ,cosθ的項分居在不等號兩側:cos5θ+7cos3θ

依據相同的結構設函數為f(x)=x5+7x3,能夠判斷f(x)是奇函數且單調遞增。

感悟提升:本題考慮應用函數的單調性,構造函數f(x)=x5+7x3是解題的關鍵。

七、在解析幾何中的應用

例7已知橢圓C的中心是原點,焦點在x軸上,它的一個頂點為(0,1),離心率為

(1)求橢圓C的方程;

(2)過右焦點F作直線l交橢圓于A,B,交y軸于R,若,求λ+μ的值。

同理可得μ2+10μ+5-20k2=0。

故λ,μ是方程x2+10x+5-20k2=0的兩個不同根,λ+μ=-10。

感悟提升:如果A(x1,y1),B(x2,y2)滿足的方程為同構式,那么A,B為方程所表示曲線上的兩點。特別地,若滿足的方程是直線方程,則該方程即為直線AB的方程。

在一些函數、數列或不等式問題中,“同構化”為一種常見的解題意識與技巧,即通過分析代數式的結構特征,發現式子結構中蘊含的共性,并提取相同或相似的結構與模型并予以構造,揭示式子間的內在聯系,繼而利用同型同構后的模型性質予以解題。