基于頻域分析的PMSM雙閉環(huán)PI控制器整定方法

江騰耀，李偉，朱超，王偉偉，楊蘊萌，邱照原

(1.西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712099；2.陸軍西安軍事代表局駐咸陽地區(qū)軍事代表室，陜西 咸陽 712000)

目前,工程上PI控制的雙環(huán)調(diào)速系統(tǒng)已在火炮指向穩(wěn)定跟蹤系統(tǒng)中被廣泛采用。該系統(tǒng)在工作時會受到炮口振動、路面激勵等因素的影響,而PI控制器的參數(shù)設計直接影響到不同工況下調(diào)速系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤能力和響應速度,為此有必要對PI參數(shù)的精確整定方法進行研究。

火炮穩(wěn)定指向跟蹤系統(tǒng)中電流環(huán)控制器主要采用PI控制,其參數(shù)采用零極點對消和期望極點配置設計方法,轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制器則采用最佳中頻帶寬并與前饋相結(jié)合的復合控制[1-2]。然而,上述整定方法并沒有直觀地描述PI參數(shù)與系統(tǒng)頻域、時域性能間的聯(lián)系,若PI參數(shù)設置不當會嚴重影響系統(tǒng)的性能。而通過試錯法選擇性能令人滿意的PI控制器參數(shù)在許多場合是不合適的,將干擾因素考慮到模型中,通過一定的約束來界定參數(shù)的取值更為有效且合理[3]。文獻[4-6]將不確定性和各種擾動視為總擾動,應用擾動觀測器來估計其影響,并用于PI參數(shù)的整定;文獻[7-8]采用了基于多變量滑模極值搜索的PI整定方法,實現(xiàn)了快速準確的跟蹤響應、高干擾抑制和對PMSM參數(shù)變化不敏感。以上整定方法均為在線整定方法,在一些工況中難以應用,目前以時域指標結(jié)合頻域參數(shù)的分析方法仍然具備很大的工程價值。文獻[9]在將PMSM調(diào)速控制系統(tǒng)簡化,得到了PI參數(shù)解析計算公式;文獻[10-11]在頻域完成了對PI參數(shù)的設計,并建立了較為精確的PMSM調(diào)速系統(tǒng);文獻[12]采用了在w′域內(nèi)進行參數(shù)設計的離散化方法,直接利用工程經(jīng)驗公式將時域指標轉(zhuǎn)換成開環(huán)頻域特征量,降低了系統(tǒng)設計的復雜性。上述文獻在設計電流環(huán)時沒有充分考慮到忽略反電動勢的條件,在轉(zhuǎn)速環(huán)設計中均將阻尼系數(shù)視為一個精確恒定的值,因此需要一種更為泛用的方法,在考慮反電動勢的同時忽略掉阻尼系數(shù)的影響。

筆者通過PMSM雙環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的頻域分析,推導了電流環(huán)與轉(zhuǎn)速環(huán)PI參數(shù)的解析表達式,建立了PI參數(shù)與頻域特征量的直接聯(lián)系。通過合理的簡化,給出了雙環(huán)的簡化整定方法,并結(jié)合實際工程的需要以及設計過程中的各項約束條件,給出了開環(huán)截止頻率和相位裕度的取值范圍。在實際使用中可以根據(jù)電機工作情況下所需要的最大負載轉(zhuǎn)矩,充分考慮轉(zhuǎn)速環(huán)允許的超調(diào)量后對開環(huán)頻域特征量合理取值,進行反計算得到相應的控制器參數(shù),從而提升系統(tǒng)的魯棒性。最后,仿真和實物驗證了本文設計方法的有效性。

1 PMSM雙環(huán)調(diào)速系統(tǒng)數(shù)學模型

1.1 PMSM模型

對于表貼式PMSM,在d-q旋轉(zhuǎn)坐標系下,Ld=Lq=L,采用id=0控制策略,PMSM的電壓方程、轉(zhuǎn)矩方程以及機械運動方程可分別表示如下：

(1)

(2)

(3)

式中：ud0、uq0為未解耦的d-q軸電壓;id、iq為d-q軸電流;R、L分別為定子繞組電阻和電感;ωe為電機電角速度;ωm為電機機械角速度;ψf為永磁體磁鏈;pn為極對數(shù);Te為電磁轉(zhuǎn)矩;TL為負載轉(zhuǎn)矩;Kt為轉(zhuǎn)矩常數(shù);B為阻尼系數(shù);J為轉(zhuǎn)動慣量。

對式(1)～(3)中的q軸交叉耦合電動勢進行解耦,令uq=uq0-ωeψf,并假定電機在空載(TL=0)情況下啟動,再對式(1)與式(3)進行拉普拉斯變化,得PMSM的解耦模型為

(4)

(5)

1.2 電壓源逆變器模型

電壓逆變器的基本模型可以等效為一階慣性環(huán)節(jié),開關(guān)周期為Ts;死區(qū)時間、開關(guān)延遲和數(shù)字控制延遲可以等效為一個延時環(huán)節(jié)e-sTd[13],且滿足Td?Ts,則逆變器的傳遞函數(shù)為

(6)

1.3 濾波器模型

由于高頻噪聲的影響,對電流以及速度進行采樣后,需要經(jīng)過濾波環(huán)節(jié)才可使用,否則電機控制效果會變差。對電流反饋和速度采用做一階低通濾波,其各自對應的傳遞函數(shù)為

(7)

(8)

式中：Tcf為電流反饋濾波時間常數(shù);Tsf為速度濾波時間常數(shù)。

綜合以上環(huán)節(jié),可以得到如圖1所示PMSM雙環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的控制框圖,圖中Ke為反電動勢常數(shù),Kt為轉(zhuǎn)矩常數(shù)。

2 電流環(huán)設計

2.1 頻域法確定電流環(huán)PI控制器參數(shù)的解析式

在頻域內(nèi)分析、設計控制系統(tǒng),常以開環(huán)頻域指標作為依據(jù),而更為直觀的體現(xiàn)控制系統(tǒng)性能的則是閉環(huán)系統(tǒng)的時域指標。對于高于三階的系統(tǒng),難以準確推導出截止頻率ωc、相位裕度γ與調(diào)節(jié)時間ts、超調(diào)量σ的關(guān)系,因此一般采用在實際工程中總結(jié)出的經(jīng)驗描述開環(huán)頻域指標與閉環(huán)時域指標的關(guān)系。一般地,γ越大,σ越小,且當γ給定時,ts隨著ωc增大而減小[12],系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率和相位裕度直接影響閉環(huán)系統(tǒng)調(diào)節(jié)過程的快速性和平穩(wěn)性,筆者針對電流環(huán)PI參數(shù)的設計思路就是通過合理的開環(huán)截止頻率ωcc和相位裕度γc來滿足閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能要求。

將粘性阻尼B帶來的擾動和負載轉(zhuǎn)矩TL均視為總擾動D(s)的一部分,通過簡化得到圖2中的反饋回路。在圖2中,由轉(zhuǎn)速引起的反電動勢相比電流環(huán)來說是個慢動的擾動,只要電流環(huán)的帶寬足夠大,即可忽略E(s)的變化。分析電流環(huán)忽略反電動勢的條件,忽略D(s)的影響,并考慮反電動勢,得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(9)

(10)

(11)

(12)

Gc_ol(s)=Gc_PI(s)Ginv_d(s)Gc(s)Gcf(s).

(13)

對于給定的截止頻率ωcc和相位裕度γc,引入中間變量：

(14)

Hc_p=arctan(Tsωcc)+
arctan(Tdωcc)+arctan(Tcfωcc),

(15)

(16)

(17)

得到給定截止頻率ωcc和相位裕度γc時kc_p2、kc_i2的解析解：

(18)

根據(jù)式(18),在ωcc的值確定時,隨著γc的增大,kc_p逐漸增大并存在上確界,kc_i的值會逐漸減小并趨于0;在γc的值確定時,ωcc的變化范圍還受式(17)條件的限制,因此使用該方法一般先確定ωcc的值,再確定γc的值。

2.2 電流環(huán)PI控制器的簡化設計

對電流環(huán)進一步分析發(fā)現(xiàn),電流環(huán)的模型可以進行一定的簡化,即將電流濾波器和逆變器均視為1的比例環(huán)節(jié),從而降低電流環(huán)PI參數(shù)設計的復雜度。電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)可簡化為

(19)

當kc_p、kc_i滿足以下條件時：

(20)

此時的開環(huán)傳遞函數(shù)簡化為一個積分環(huán)節(jié),閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為慣性環(huán)節(jié)：

(21)

給定階躍信號時,閉環(huán)傳遞函數(shù)的輸出單調(diào)上升且無超調(diào),通過對PI參數(shù)的調(diào)節(jié),可以實現(xiàn)給定調(diào)節(jié)時間的要求。當開環(huán)傳遞函數(shù)滿足幅頻特性為1時,代入式(20)的條件,聯(lián)立得到理想條件下開環(huán)截止頻率ωcc與電流環(huán)PI參數(shù)的關(guān)系式：

(22)

此時式(21)在閉環(huán)頻響特性為-3 dB對應的閉環(huán)帶寬ωcb滿足：

ωcb=ωcc.

(23)

2.3 電流環(huán)開環(huán)截止頻率范圍的確定

電流環(huán)作為系統(tǒng)的內(nèi)環(huán),除了滿足穩(wěn)定性條件之外,還需要兼顧動態(tài)性能,即實現(xiàn)d、q軸電流的快速跟隨,允許階躍響應有一定的超調(diào)。開環(huán)截止頻率直接影響系統(tǒng)的閉環(huán)動態(tài)性能,截止頻率的選取是電流環(huán)設計的關(guān)鍵。由于逆變器工作時易產(chǎn)生復雜的開關(guān)諧波,為了降低諧波的影響,希望逆變器工作在系統(tǒng)的高頻段[10]。筆者要求電流環(huán)截止頻率對應的時間在20～200個逆變器工作周期之間,即：

(24)

(25)

當電機轉(zhuǎn)速達到最大值時,工作頻率也達到最大,電流環(huán)截止頻率需要大于該值,電流最大工作頻率為2πpnnmax/60。此外,以上分析都是在忽略反電動勢的條件下進行的,截止頻率需滿足式(12)的條件。綜上所述,得到電流環(huán)期望開環(huán)截止頻率的有效取值范圍為

(26)

2.4 電流環(huán)開環(huán)相位裕度范圍的確定

由于PI控制器對相位具有延遲作用,對于式(13)的傳遞函數(shù)所對應的開環(huán)相位裕度,滿足：

(27)

不等式(27)右邊即為不包含PI控制器時的相位裕度,記為γcmax。

(28)

工程上一般對整定后電流環(huán)的超調(diào)量有嚴格限制,根據(jù)文獻[12]中給出的高階系統(tǒng)超調(diào)量與相位裕度關(guān)系圖,為使超調(diào)量低于20%,取最小相位裕度γcmin=π/3。得到電流環(huán)期望開環(huán)相位裕度的有效取值范圍為

(29)

3 轉(zhuǎn)速環(huán)設計

3.1 頻域法確定轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制器參數(shù)的解析式

由于電流環(huán)的調(diào)節(jié)速度遠遠快于轉(zhuǎn)速環(huán),在分析轉(zhuǎn)速環(huán)時,可以將其近似等效為一個慣性環(huán)節(jié)

(30)

為了進一步簡化系統(tǒng)設計的復雜度,將粘性阻尼B視為總擾動D(s)的一部分。一方面是由于粘性阻尼是一個受電機實際轉(zhuǎn)速影響而有所變化的參數(shù),精確測定較為困難;另一方面是因為轉(zhuǎn)速環(huán)的帶寬較小,不精確設計帶來的誤差影響較小。由此得到圖3所示簡化后的轉(zhuǎn)速環(huán)模型框圖。

圖3中的轉(zhuǎn)速環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(31)

(32)

Hs_p=arctan(Tcωsc)+arctan(Tsfωsc),

(33)

(34)

式(34)存在一個約束條件,即PI參數(shù)比值大于0,因此在ωsc確定時,給定的γs需滿足以下條件：

(35)

可以得到給定截止頻率ωsc和相位裕度γs時ks_p2、ks_i2的解析表達式

(36)

3.2 轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制器的簡化設計

對于式(31)中的速度濾波環(huán)節(jié)和電流環(huán)延遲環(huán)節(jié),由于轉(zhuǎn)速環(huán)截止頻率ωsc遠小于兩者的截止頻率,因此在正常工作頻段其對轉(zhuǎn)速環(huán)的影響很小。若忽略掉兩者的影響,式(31)可簡化為

(37)

當ks_i=0時,閉環(huán)傳遞函數(shù)即近似為一階慣性環(huán)節(jié)：

(38)

由于擾動的存在,將積分參數(shù)ks_i設為0會使得系統(tǒng)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差,在粘性阻尼B較大時不能滿足精確跟蹤的要求。筆者采用最大相角裕度方法來簡化轉(zhuǎn)速環(huán)的設計。

令Ttd=Tc+Tsf,對于轉(zhuǎn)速環(huán)的低、中頻段頻響特性,可忽略極小項T4Tsfs2,有

(39)

則轉(zhuǎn)速環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

(40)

這是一個典型II型系統(tǒng),采用II型系統(tǒng)最大相位裕度的方法進行零極點配置,得到：

(41)

最大相角裕度條件下的ks_p1、ks_i1的解析表達式為

(42)

3.3 轉(zhuǎn)速環(huán)開環(huán)截止頻率范圍的確定

本文在轉(zhuǎn)速環(huán)開環(huán)截止頻率范圍和相位裕度范圍確定環(huán)節(jié),將直接沿用電流環(huán)設計時的結(jié)論,允許轉(zhuǎn)速環(huán)存在一定的超調(diào),且滿足調(diào)節(jié)時間為tss<0.5 s(±5%誤差帶)。

(43)

此時的轉(zhuǎn)速環(huán)相當于一個慣性環(huán)節(jié),對數(shù)幅頻特性-3 db對應的閉環(huán)帶寬ωsb滿足

ωsb=ωsc.

(44)

根據(jù)工程經(jīng)驗,一階慣性環(huán)節(jié)階躍響應上升至給定值的0.95倍所需的時間tsr約為

(45)

為了避免轉(zhuǎn)速環(huán)對電流環(huán)的影響過大,轉(zhuǎn)速環(huán)的帶寬ωsb應遠小于電流環(huán)的帶寬ωcb,考慮充分的余量,令

(46)

綜上所述,轉(zhuǎn)速環(huán)期望開環(huán)截止頻率的范圍為

(47)

3.4 轉(zhuǎn)速環(huán)開環(huán)相位裕度范圍的確定

由于PI控制器對相位具有延遲作用,轉(zhuǎn)速環(huán)相位裕度滿足

(48)

不等式(48)右邊即為不包含PI控制器時轉(zhuǎn)速環(huán)的相位裕度,記為γsmax。

(49)

4 仿真分析

4.1 電流環(huán)設計與仿真

仿真和實物所采用的PMSM調(diào)速系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。根據(jù)表1中的PMSM電機參數(shù),并根據(jù)式(26)可以得到電流環(huán)期望開環(huán)截止頻率的有效取值范圍為502.6 rad/s≤ωcc≤3 141.6 rad/s。根據(jù)理想情況式(22)所對應的PI參數(shù)kc_p1、kc_i1,以及式(18)所得的PI參數(shù)kc_p2、kc_i2,ωcc從500～3 000 rad/s不同取值得到表2。

表1 PMSM調(diào)速系統(tǒng)參數(shù)

表2 不同截止頻率時電流環(huán)PI控制器參數(shù)

由表2可知,當ωcc較小時,兩組參數(shù)近似相等,當ωcc逐漸增大時,逆變器以及電流反饋濾波的延遲效果也變大,導致兩組參數(shù)的差別也被放大。

在ωcc=1 000 rad/s條件下,分別取kc_p1、kc_i1和kc_p2、kc_i2作為PI參數(shù),得到閉環(huán)響應G1、G2。當忽略掉逆變器以及電流濾波的影響,采用kc_p2、kc_i2作為PI參數(shù),此時系統(tǒng)的閉環(huán)響應為G3。以上3種情況的閉環(huán)波特圖如圖4所示,其對應的閉環(huán)階躍響應如圖5所示。

從圖4可以看出,由于在ωcc=1 000 rad/s條件下兩種設計方法的PI參數(shù)較為接近,閉環(huán)頻響特性基本相同,中低頻條件下的頻響特性基本一致,驗證了逆變器開關(guān)時間、死區(qū)延時以及電流反饋濾波對中低頻的影響很小,只在高頻段影響系統(tǒng)響應,而實際電流最大工作頻率為502.6 rad/s,此時忽略掉了逆變器以及電流反饋濾波的影響是合理的。

從圖5中可以看出,兩種方法設計的PI參數(shù)所對應閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應相似,G3的上升時間相比G2較長,但總的調(diào)節(jié)時間幾乎一致,因此,在中低頻率時可以忽略掉逆變器和電流濾波的影響,將電流環(huán)近似等效為一階慣性環(huán)節(jié)。

4.2 轉(zhuǎn)速環(huán)設計與仿真

選取電流環(huán)閉環(huán)帶寬ωcb=1 000 rad/s,根據(jù)式(47),要使調(diào)節(jié)時間小于0.5 s,轉(zhuǎn)速環(huán)開環(huán)截止頻率范圍應滿足6 rad/s<ωsc<50 rad/s。根據(jù)式(42)和式(36)得到不同截止頻率下兩種方法的PI參數(shù)ks_p1、ks_i1和ks_p2、ks_i2,以及其采用ks_p2、ks_i2對應階躍響應超調(diào)量σ,如表3所示。

表3 不同截止頻率時轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制器參數(shù)

從表中的參數(shù)可以看出,式(36)、(42)所得的PI參數(shù)幾乎一致,其閉環(huán)階躍響應基本一致,這是由于在簡化設計中只忽略了一個極小項TcTsfs2,充分考慮到了電流環(huán)以及速度濾波對轉(zhuǎn)速環(huán)的影響。因此當滿足最大相位裕度時,可用ks_p1、ks_i1代替ks_p2、ks_i2以簡化PI參數(shù)的計算。

開環(huán)頻率ωsc從2.5 rad/s到50 rad/s取不同值,采用ks_p2、ks_i2作為PI參數(shù),得到圖8所示閉環(huán)空載階躍響應圖。由圖可知,當ωsc≥10 rad/s時,調(diào)節(jié)時間均滿足tss<0.5 s的要求。ωsc越大,響應越快,但是超調(diào)也越明顯,對電流環(huán)的要求也更高;ωsc越小,閉環(huán)響應平穩(wěn)越好,調(diào)節(jié)時間變長,ωsc過小時由于積分系數(shù)非常小,跟蹤速度過慢,可能導致轉(zhuǎn)速跟蹤存在穩(wěn)態(tài)誤差。

表4 不同相位裕度時轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制器參數(shù)

根據(jù)表4得到空載情況下不同裕度下轉(zhuǎn)速環(huán)的單位階躍響應,如圖9所示。

對于空載并且忽略掉粘性阻尼的情況下的轉(zhuǎn)速環(huán),在ωsc的值確定時,隨著γs的增大,ks_p會逐漸增大,ks_i的值會逐漸減小并趨于0,因此當γs過小時,積分系數(shù)較大,系統(tǒng)快速性較好,但超調(diào)量明顯;當γs增大時,閉環(huán)響應的平穩(wěn)性變好,在γc=γsmax即ks_i2=0時其動態(tài)性能最優(yōu),無超調(diào)且快速性較好,近似為一個一階慣性環(huán)節(jié)。

實際的PMSM系統(tǒng)往往是帶負載工作的,對轉(zhuǎn)速環(huán)的抗擾動能力有更高的要求。圖10為具有負載擾動狀態(tài)下采用表4中的PI參數(shù)得到的階躍響應圖,在0 s時負載為3 N·m,在10 s負載增加為5 N·m。由圖中波形可知,γs越小,由于積分系數(shù)較大,轉(zhuǎn)速環(huán)抗擾動性能越強,其回復速度越快;隨著γs的增大,積分系數(shù)變小,轉(zhuǎn)速環(huán)抗擾動回復時間越長,回復的時間與擾動變化量直接相關(guān),給定的擾動越大,所需要的回復時間越長;當γc=γsmax時,系統(tǒng)將存在穩(wěn)態(tài)誤差。在實際使用中可以根據(jù)電機工作情況下所需要的最大負載轉(zhuǎn)矩,并且充分考慮轉(zhuǎn)速環(huán)允許的超調(diào)量后對γs合理取值。

5 實物實驗

為驗證本文整定算法可行性與通用性,在由北京華力創(chuàng)通科技股份有限公司研制的隨動控制實時仿真裝置上進行實物實驗。該系統(tǒng)以DSP 28337D作為主控芯片,整體硬件部署主要包括伺服控制機柜、伺服驅(qū)動柜和兩個實驗臺。實驗臺上安裝有電機和目標仿真機的上位機,其中電機的具體參數(shù)如表1所示,實驗數(shù)據(jù)通過上位機中的RTSimPlus主控軟件導出,采樣頻率為0.2 ms。

實物實驗中的電流環(huán)采用1 000 rad/s作為截止頻率,采用表2中的參數(shù)。圖12為令交軸電流iq=0 A時對直軸電流id給定不同階躍信號后得到的響應圖。由圖12(b)可以看出,給定8 A的電流階躍信號,電流環(huán)階躍響應無超調(diào),電流環(huán)調(diào)節(jié)時間約為3 ms,這與設計時給定的截止頻率相符合,且電流環(huán)具有較好的穩(wěn)態(tài)特性,滿足設計要求。

采用表3中的參數(shù),圖13為該參數(shù)下給定1 000 r/min轉(zhuǎn)速階躍信號時的空載響應波形。轉(zhuǎn)速環(huán)截止頻率取10 rad/s時,超調(diào)量約為0.5%,調(diào)節(jié)時間約為0.355 s,與該截止頻率理想情況下0.3 s的調(diào)節(jié)時間相接近。

由于實時仿真裝置的控制步長相比理想仿真的步長要大,實際得到的實物響應曲線的超調(diào)量略大于設計時的理想值,兩者的調(diào)節(jié)時間基本一致;ωsc=20 rad/s且ki=0時,由于粘性阻尼等干擾的存在,轉(zhuǎn)速環(huán)存在穩(wěn)態(tài)誤差。圖14為給轉(zhuǎn)速環(huán)500 r/min以及0 r/min的轉(zhuǎn)速階躍信號時交軸電流iq的響應。由圖14可看出,交軸電流iq可實現(xiàn)參考值iq-ref的快速精確跟蹤,空載穩(wěn)態(tài)情況下電流的脈動較為平穩(wěn),按該方法設計的PMSM調(diào)速系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能。

6 結(jié)束語

筆者通過對PMSM雙環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的頻域分析,確立了雙環(huán)PI控制器參數(shù)與其對應的開環(huán)截止頻率和相位裕度的解析式,并明確了開環(huán)頻域特征量與閉環(huán)時域指標的關(guān)系;基于頻域法設計雙環(huán)時的各項約束條件以及對閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求,給出了雙環(huán)PI參數(shù)的合理取值范圍;考慮到電機阻尼系數(shù)難以精確測定的問題,對轉(zhuǎn)速環(huán)進行了合理簡化,并給出了相應的簡化設計方法。仿真和實驗結(jié)果表明,采用頻域整定方法得到的系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定和動態(tài)性能,實際使用時可以根據(jù)調(diào)節(jié)時間和最大負載要求選定合適的截止頻率和相位裕度來計算需要的PI參數(shù),具有一定的工程價值。