高速公路收費廣場通行能力優化模型

宋太華

(山西省太谷公路管理段, 山西 晉中 030800)

隨著經濟的快速發展和城市化進程的加快,高速公路車流量逐年增加,收費廣場的通行壓力增大。如何提高收費廣場的通行能力,減少交通擁堵對提高交通系統的運行效率、改善用戶體驗具有重要意義。通過優化資源配置和排隊系統設計,可以提高收費廣場的效率和運營成本[1-3]。建立合理的數學模型和優化方法,可以提高交通系統的效率,減少交通擁堵和排隊時間,提供更好的用戶服務體驗,并降低系統成本。

高速公路收費廣場的車輛通過過程可以分為進站系統和出站系統兩部分。進站系統涉及車輛從減速區進入收費站并完成支付的過程,出站系統涉及車輛從支付完成到從加速場離開的過程。為提高高速公路收費廣場的通行能力,本文基于M/M/c排隊系統,提出兩種優化模型,其中模型1通過最小化平均等待時間獲得最大通行能力,模型2通過確定快速路徑和正常路徑的最佳比例來最大化系統流量[4-5]。

1 模型構建

收費站是高速公路系統的組成部分,用戶(即司機)必須為其享受的服務(如使用高速公路、橋梁、隧道等)支付通行費。分析高速公路上交通過程,收費廣場由于減緩了正常交通流的速度,會給正常交通流帶來干擾,如降低平均行駛速度、增加隊列的平均等待時間、增加平均隊列長度等。準確的容量分配可以降低收費站的負面影響和經濟成本。

與大多數排隊系統一樣,收費廣場的交通過程具有以下特征:1) 系統容量由在給定時刻活躍的多個收費站m確定。2) 每個單獨的收費站在一定時間段內只為一個用戶服務,可用以秒為單位測算的平均服務時間Ts來描述。3) 根據輸入交通流特性定義用戶進入排隊系統的強度(以每小時車輛數為單位)。4) 如果沒有可用的免費收費站,用戶將形成一個隊列。

收費廣場是一個具有交通流向的系統,將其作為一個排隊系統進行建模。車輛從道路的一側進入收費廣場,在收費站繳費后從另一側繼續行駛。采用排隊系統中的M/M/c模型進行建模,模型假設如下:1) 進站交通負荷平均分配到所有收費站。2) 在短時間內,收費廣場區域的交通流可以描述為靜止的。3) 車輛到達時間呈指數分布。4) 服務時間呈指數分布。5) 有足夠的空間讓所有的車輛都排隊。6) 收費站一次只為一輛車服務。7) 服務紀律是先到先得。8) 傳出隊列不影響收費站服務時間。傳出隊列是指車輛完成繳費后,在收費廣場外等待離開的隊列。在收費廣場內,車輛按照先到先得的服務紀律進行排隊等待服務。當一輛車完成繳費后,它將進入傳出隊列,等待其他車輛完成繳費并離開收費站,它也隨著離開收費廣場。

M/M/c排隊系統是一種常見的排隊論模型,用于描述具有指數分布(M)的到達間隔時間和服務時間且具有固定數量(c)的服務器的排隊系統。基于M/M/c排隊系統,提出如下優化模型:

(1)

式中:Wqi為FQS(Free-flow Queue Service,自由流隊列服務)在正常路徑上的平均等待時間;Wqo為SQS(Stable Queue Service,穩定隊列服務)在快速車道上的平均等待時間;μ為每個收費站的平均服務車輛數;ρi為FQS服務比例;ρo為SQS服務比例;Lqi為FQS平均等待線長度;Lqo為SQS平均等待線長度。

本文以式(1)作為基本模型,構建2個優化模型,以獲得高速公路收費廣場的最大通行能力。

1.1 模型1

收費站數量比車道數量大得多。所有車輛都可以自由選擇收費站。模型1通過優化收費站數量和平均服務時間等參數最小化等待隊列的平均長度,獲得最大通行能力(見圖1)。

圖1 模型1收費廣場

從圖1可以看出:收費廣場系統由減速區、收費站和加速區組成,收費站數量遠大于車道數量。進入減速區的車輛是FQS的客戶,系統變量為λ=Nλ、c=M(λ為來車平均數;N為車道數量;c、M為收費站數量),用來描述進入收費廣場的車輛的到達率。每個收費站的平均服務車輛數μ由實際數據確定。從收費站出來的車輛是SQS的客戶,系統變量為λ=Mμ、μ=λmax、c=N(λmax為SQS平均服務時間),用來描述離開收費廣場的車輛的到達率。模型1通過最小化平均等待時間獲得最大通行能力,模型表達式如下:

(2)

式中:T為系統通行能力。

當平均等待時間達到最小值時,收費廣場獲得最大通行能力。

1.2 模型2

為了使車輛盡快通過收費廣場,車輛在收費廣場中的平均使用時間必須非常短。模型2將一些收費車道設置為使用電子不停車收費系統(ETC)的快速車道,并假設快速車道的平均服務時間比正常車道短得多。通過快速車道的車輛使用ETC自動支付通行費,其他通過正常車道的車輛使用現金支付。模型2的通行能力由通過快速車道和正常車道的車輛通行效率組成,目標是確定快速路徑與正常路徑的最佳比率,以最大化系統流量(見圖2)。

圖2 模型2收費廣場

模型2與模型1的區別是模型2設置了快速路徑,使車輛在很短的時間內通過收費站。模型2排隊系統中的變量為λ=aN、μ=rμ、c=bM(a、b分別為快速路徑和正常路徑的數量比例;μ為整個系統的服務率,指單位時間內完成服務的車輛數量;r為快速車道與正常車道的服務時間比)。r用來調整快速路徑的服務效率,r=1時,快速路徑的服務率與整個系統的服務率相同;r>1時,快速路徑的服務率比整個系統的服務率高;r<1時,快速路徑的服務率低于整個系統的服務率。由于快速路徑下收費站的通行能力有很大提高,必須提高SQS的平均服務時間以增大車流量。設快速車道中SQS的平均服務率μ=λmaxq(λmaxq為SQS快速車道的平均服務時間),模型2通過確定快速路徑與正常路徑的最佳比例,以最大化系統流量,模型表達式如下:

(3)

式中:Tq、Tn分別為快速車道和正常車道中每輛車的平均服務時間;Wqin為正常路徑中車輛前進到收費廣場前的等待時間;Wqon為快速路徑中車輛前進到收費廣場前的等待時間;Wqiq為正常路徑中車輛在收費廣場排隊等待的時間;Wqoq為快速路徑中車輛在收費廣場排隊等待的時間。

模型2中收費站數量與模型1相同,正常路徑中的變量為λ=(1-a)N、μ=μ(μ代表整個系統的服務率,表示單位時間內完成服務的車輛數量。r是一個系數,用來調整快速路徑的服務效率。當r=1時,快速路徑的服務率與整個系統的服務率相同,即μ=μ)、c=(1-b)M。

2 結果分析

在模型1中,當λmax=1、λ=0.4、μ=0.33、N=6時,收費站數量為12個時高速公路收費廣場的通行能力最大,平均等待時間為2.086 s ,最大通行能力為5輛/s。收費廣場中等待的平均線路長度見圖3,最大通行能力見圖4。從圖3、圖4可以看出:模型1中,隨著收費站數量的增加,收費站前的平均等候隊伍呈下降趨勢,收費站后的平均等候隊伍呈上升趨勢,收費站數量為12個時出現交叉現象,表明收費廣場在給定條件下達到了最佳效率或最大通行能力;每個收費站的平均交通負荷不超過0.7,控制在較低的水平,表明收費站的資源和服務能力得到了有效管理和分配,每個收費站能夠在流量高峰期保持相對低的負荷,不至于出現擁堵或服務效率下降的情況,仍然有可用資源用于響應額外的輸入交通流增加。

圖3 模型1收費廣場中等待的平均線路長度

圖4 模型1收費廣場的交通負荷

在模型2中,當快速路徑和正常路徑的最佳比例為3∶1、收費站數量為12個或13個時,高速公路收費廣場達到最大通行能力(見圖5)。

圖5 模型2不同收費站數量時的最大通行能力

3 結論

本文研究高速公路收費廣場通行能力優化模型。將收費廣場排隊系統分解為FQS、SQS兩個子系統,針對不同工況提出兩種優化模型。模型1通過優化收費站數量和平均服務時間等參數,最小化平均等待時間,獲得最大通行能力;模型2通過確定快速路徑和正常路徑的最佳比例,最大化系統流量,獲得最大通行能力。模型2將一些收費通道設為快速通道,服務時間顯著縮短,通過合理調整路徑比例和排隊系統的服務時間提高交通容量,其通行能力大于模型1。當快速路徑和正常路徑的比例為3∶1、收費站數量為12個或13個時,高速公路收費廣場的通行能力最大。