深度學習視角下“尺規作圖”教學策略

張姣敏

（河南省濟源市濟水一中，河南 濟源 459000）

尺規作圖是指使用無刻度的直尺和圓規進行作圖，是數學教學的一項重要內容，它不僅是一種基本的數學技能，更是培養學生邏輯思維能力和幾何直觀能力的重要手段。隨著《義務教育數學課程標準（2022 年版）》的修訂，對尺規作圖的要求也發生了變化。對比新舊課標，如何開展尺規作圖教學，引發學生深度思考。下面結合一些課堂實踐和思考，就深度學習視角下的尺規作圖教學策略進行了一些探索和研究。

一、研究的背景意義及實際價值

尺規作圖起源于古希臘的數學課題經過多年的發展和演變，已經成為初中數學重要的內容，被賦予了很高的地位，其重要性不僅在于能夠解決生活中的實際問題，更在于能夠培養學生的邏輯思維和幾何直觀能力。但在實際教學過程中，并未引起一些教師的重視，沒有充分認識到尺規作圖的重要性。

新舊數學課標對尺規作圖的定位的變化。首先，內容分布有變化。《義務教育數學課程標準（2011 年版）》）中把此部分內容單列成一項集中體現，而新課標（《義務教育數學課程標準（2022 年版）》）將其拆分到各相關知識點中分散體現。其次，課標要求有變化；在舊的數學課標中，對尺規作圖的要求相對較低，主要要求學生掌握簡單的尺規作圖方法，如線段的垂直平分線、角的平分線等。尺規作圖被視為一種基本技能，其重要性主要在于能夠解決生活中的實際問題。新的數學課標對尺規作圖的要求更高，不僅要求學生掌握基本的作圖方法，還要求學生能夠解決較為復雜的幾何問題；新的數學課標對尺規作圖的定位更高，將其視為培養學生邏輯思維和幾何直觀能力的重要手段；它不僅是一種基本技能，更是培養學生邏輯思維和幾何直觀能力的重要途徑。

二、尺規作圖教學中深度學習的有效策略

策略一：基本作圖內容的整合及拓展

利用基本尺規作圖作出精準的幾何圖形是進一步研究幾何圖形的關鍵，故基本尺規作圖教學不僅要求學生從技術層面會作五種基本圖形，還需通過五種基本作圖教學讓學生理解尺和規的應用價值，并讓學生理解尺規作圖的原理。“作一個角等于已知角”“作一條線段的垂直平分線””作一個角的角平分線”，借助圓規作出等線段，構造全等三角形。基于此，在五種基本作圖的教學中，教師應在單元整體的視角下，設計具有結構化的教學內容，給學生設置一定的思維場景，讓學生能在最近聯想區進行類比遷移，在理解作圖做法的基礎上，感悟用尺規作圖的方法。在教學中，可以采用如下教學流程：設置情景——理解原理——類比構圖——深化理解作圖原理——拓展作圖——解決問題。

以“作一個角的角平分線”為例進行說明。

設計情景：教師出示平分角的儀器，你能說明理由么？

理解原理：設計如下問題：

問題1：請嘗試抽象出平分角的儀器的幾何圖形。

問題2：請嘗試類比此幾何圖形，找出用尺規作角的平分線的作法。

類比構圖：探究之后，學生匯報，師生歸納總結方法。

深化理解：除了上述作法外，還可以用以下的方法平分已知角(如圖1、圖2、圖3)。請能說明理由，并說說這些方法的共同之處。

圖1

圖2

圖3

拓展作圖：請把一個直角三等分。

基于構建主義，以上教學流程，可讓學生較好地理解知識產生的起點、新知生成的過程、多解歸一的反思歸納。通過對“作一個角等于已知角（八年級上冊）、作已知角的角平分線（八年級上冊）、作已知線段的垂直平分線（八年級上冊）、過一點作已知直線的垂線（八年級上冊）”的學習，使學生經歷尺規作圖的學習過程，掌握其核心知識和思想方法，在抽象、類比構建作法的過程中，發展學生的幾何直觀、數學建模、數學推理、數學抽象的數學核心素養。

策略二：尺規作圖融入“圖形性質”教學

人教版教材中，對于“圖形的性質”這一主題下的教學內容，研究思路都是圖形的定義——圖形的性質——圖形的判定——應用，研究內容為圖形的構成元素及相關元素之間的關系，對于性質，常采用的研究方法是操作觀察——得到猜想——推理驗證——形成性質——應用性質；對于圖形的判定，一般都是由性質的逆命題得到猜想，推理驗證得到判定方法。為了落實課標中“將尺規作圖貫穿到整個幾何的學習中去”的要求，可以將特殊三角形、特殊四邊形等圖形的判定教學流程進行創新，流程為：根據性質嘗試尺規作出目標圖形——得到猜想——推理驗證——得到判定——解決問題。

以平行四邊形的判定為例說明：

操作觀察：根據已學平行四邊形的經驗，請你嘗試用圓規和沒有刻度的直尺作出一個平行四邊形。學生可能利用“過直線外一點作出兩組平行線”得到平行四邊形，因為定義就是一種判定，故這種作法是正確的。學生可能利用“作一個角等于已知角”作出兩組對角相等的四邊形，也可能先作出三角形，再利用“作已知線段的垂直平分線”得到對角線相互平分的四邊形，基于已有經驗，學生就得到了猜想。這種設計，給學生設置了一個“跳一跳”就能達到目標的思維場景，學生的意愿在經歷嘗試后能夠實現，進而品嘗到探究問題的樂趣，增強學生的學習興趣。另一方面，學生在借助尺規作目標圖形的過程中，既要檢索平行四邊形的已學知識，分析圖形的特征，建立數和形的聯系，把已知知識轉化為符合條件的目標圖形，學生圍繞具有挑戰性的關于尺規作圖的學習主題，把握作圖的本質及思想方法，建立尺規作圖與幾何圖形學習的聯系，形成積極的內在學習動機、積極的態度、正確的價值觀，獲得發展的有意義的數學學習過程。

這樣的教學策略，極具挑戰性，能大大激發學生的創造力，學生在尋找解決辦法的過程中會自覺地搜尋所學的概念、定理等知識，自覺地分析、提取出包含的信息，自覺地對知識進行聯系。嘗試、思考、推理、分析、驗證等過程，既鍛煉了學生的動手能力，又很好地訓練了學生的思維，提高了學生的思維能力，對培養學生嚴謹的學習習慣、嚴密的推理能力和空間想象能力具有重要的價值。在幾何教學中強調“觀察、操作、推理”，有利于學生利用圖表分析數學問題，把握問題的本質，探索解決問題。

策略三：尺規作圖融入教材中“活動”

數學活動課要求在教師的指導下，讓學生在解決具體問題的過程中和對數學本身的探究中理解、掌握和應用數學，主動獲取數學知識和直接體驗。著力培養學生的探索精神、合作意識和實踐能力。在教材各章后都設置有實踐意義的數學活動和探究內容，在教學實踐中，我們可以根據教材內容恰當植入尺規作圖，將極大地發揮教材內容的承載的價值，能使數學建模、數學抽象、數學推理、幾何直觀等素養在課堂上落地。

以初三一模復習時，對七年級下冊32 頁活動課“平行線的畫法”進行重構為例說明：

環節一：課本再現，重溫方法。

教師出示教材內容，并設置如下問題：

請你說說他們的思路。這些方法的依據是什么？用到了哪些基本尺規作圖？在問題驅動下，學生快速復習了平行線的判定及五種基本作圖方法。為幫助學生形成判定平行的微知識體系，培養學生從整體的角度解決問題的能力，發展學生的系統思維。

設置環節二：一題多解，歸納方法。

教師出示以下兩種方法:

方法一：在直線a 上任取一點A，連接PA。

以A 為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交PA，直線a 于點D，E；分別以D，E 為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點M，作射線AM；以P 為圓心，PA 長為半徑畫弧交射線AM 于點C；則PC∥a 請判斷方法一的作法是否正確（圖4），并說明理由。

圖4

方法二：

（1）在直線a 上任取兩點A、B，連接PA，PB。

在線段AB 上取點E，以B 為圓心，AE 長為半徑畫弧交直線a 于點F；以E 為圓心，PA 長為半徑畫弧；以F 為圓心，PB 長為半徑畫弧，兩弧交于點C.連接PC，則PC∥a 由作圖（圖5）知，AE=BF，CE=AP，CF=PB 易證，△PAB≌△CEF 進一步，證明四邊形AECP 是平行四邊形則PC∥a。

圖5

學生在解決以上問題后，教師可引導學生反思總結。

尺規作過直線外一點做這條直線的平行線的方法

新課標指出，學生經歷數學“再發現”的過程，初中養成講道理、有條理的思維品質。基于此，設置環節三：動手操作，悟方法：請你借助尺規，用多種方法過直線a 外一點P 作直線a 的平行線。學生獨立思考，小組交學生分享思考過程，并總結尺規作一個圖形的一般方法：目標圖形→分析圖形結構→嘗試操作→驗證。

把尺規作圖融入本節數學活動中，從教材引申到主題活動豐富的情境式練習，內容豐富，思維拔節點多，單元視角下對知識重構。尺規作圖是明線，由尺規作一個具體圖形的方法上升到尺規作圖的一般方法。借助尺規作圖，培養學生講邏輯，重聯系的思考過程，從推理意識發展推理能力。梳理初中階段的平行線的知識為暗線，幫助學生建立所學的平面圖形的知識體系。培養學生的數學推理素養，促進學生的推理能力。

策略四：借助尺規作圖深度挖掘教材習題的價值

新課標指出：習題的設計要關注數學的本質，關注通性通法。設計豐富多樣的習題，滿足鞏固、復習、應用、拓展的學習需要；滿足不同學生的學習需要；滿足不同學習階段的學習需要；滿足不同完成作業方式的需要，如綜合與實踐的習題可以包括查閱資料、校外調查、自主探究等。張奠宙教授在論述尺規作圖的現代教學意義指出：“尺規作圖的價值在于三方面：它與圖形運動密不可分；具有不能替代的直觀性；是問題解決無法割舍的部分。”張教授還指出，教師應將冰冷的數學學術形態變成學生淺顯易懂的數學教育形態。基于此，我們在教學中，要重視教材習題教學，開車最怕路不熟，教學最怕教材不熟，路不熟要走好多冤枉路，教材不熟要做好多無用功，同樣是一本教材，在不同的教師手里會創造出不同的價值，也會演繹出不同的精彩。在“深入”上下功夫；在“淺出”上做文章。把尺規作圖作為變式資源，對教材習題進行深度挖掘，最大化地發揮教材習題的教學價值，以教材為載體，發展學生的幾何直觀、數學推理、數學建模等核心素養。

以人教版八年級上冊80 頁練習2 進行重構為例進行說明

重構設計為：已知，在等腰三角形ABP 中，AP=BP,在直線AB 上如何找到點E、F，使得PE=PF。圖中有哪些相等的線段，請說明理由。

學生可能以P 為圓心，適當長為半徑畫弧，交直線AB 于點E、F，得到PE=PF（圖6）。再用全等或等腰三角形三線合一進行證明得到AP=BP。學生也可能在直線AB 上截取AE=BF 證△PAE≌△PBF 得PE=PF，根據線段和差可得到BE=AF。

圖6

這樣的設計以作圖為主線，深入研究了等腰三角形，深刻感悟了等腰三角形軸對稱的重要性，積累了相關的解題經驗；通過對相同結構的類比，探索解決問題的思路，歸納出一般結論。在教學實踐中，可以將尺規作圖融入例習題教學中，通過對例題及習題的核心與本質的提煉及提升，真正幫助學生以一題帶一類，能夠舉一反三、觸類旁通，形成推理能力，發展空間觀念和幾何直觀。

三、尺規作圖教學中深度學習的一些建議

通過對比新舊數學課標對尺規作圖的要求，我們可以發現新的數學課標對尺規作圖的要求更高、定位更高、實踐應用能力要求更高。因此，建議教師在實際教學中注重培養學生的邏輯思維和幾何直觀能力，加強尺規作圖的實踐應用訓練，提高學生運用尺規作圖解決實際問題的能力。同時，教師也應該根據學生的實際情況和需求進行有針對性的教學，避免過度強調理論知識和應試成績而忽略了學生的實際應用能力。

四、結語

基于一個單元的教學設計，將尺規作圖的知識融入相對應的內容板塊，更有利于一線教師進行單元教學，有利于學生對知識有一個整體的認識和把握。因此，通過研究尺規作圖教學策略，研究有效的教學方法，對于落實數學核心素養具有重要意義。