核心素養導向的問題變式設計*
——以2023年高考新課標Ⅰ卷第16題為例

廣東省東莞高級中學 (523128) 劉心華

一、問題提出

問題是發展學生數學學科核心素養的平臺,看過問題三百個,不會解題也會問.《普通高中數學課程標準(2017年修訂版)》要求在數學學習中發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等學科核心素養,教師應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養創設合適的情境和問題,引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題,使用恰當的數學語言描述問題,用數學的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中,理解數學內容的本質,促進學生數學學科核心素養的形成和發展.

本文以2023年高考新課標Ⅰ卷第16題為例,探求問題解法并對問題進行變式設計,讓學生掌握一類橢圓(雙曲線)焦點三角形問題的解答、幾何性質及一般解題方法,提升能力,感悟思想,積累經驗,發展學生的數學核心素養.

二、試題解答

圖1

評注：解法1是從條件出發,數形結合,把向量關系轉化為幾何等式,考察焦點△AF1F2與Rt△ABF1的邊角聯系,借助三角形的正(余)弦定理找到基本量a,b,c的齊次式,從而求解問題;解法2將問題坐標化,把向量關系轉化為坐標等式,借助雙曲線定義,通過坐標運算,找到基本量a,b,c的齊次關系求解問題.

三、變式設計

(一)變中求真,把握本質

變式1 (2019年全國Ⅰ卷理10)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( ).

圖2

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

圖3

評注：以上變式問題從雙曲線到橢圓,由向量關系到長度關系,問題情境類似,問題解答都是從幾何(解三角形)或代數(坐標運算)的角度出發,尋求基本量a,b,c的齊次關系或求解基本量a,b,c.

(二)變中求活,舉一反三

圖4

圖5

評注：變式3考察橢圓焦點三角形的中線問題,變式4考察橢圓焦點三角形的周長問題,解答時不變的是合理地設而不求、整體代換,變化的是靈活運用正余弦定理、三角變換、面積公式、坐標運算等尋找變量間關系.

(三)變中求新,觸類旁通

圖6

圖7

(法二)由題意,設點P(x,y),則

評注：變式5求解離心率問題,審題分析要明確過點F1的直線與圓相切時,此切線與雙曲線左右兩只的交點情況,問題解決需分類討論;變式6問題求解要考察等邊△POF2與Rt△F1PF2之間的邊角關系,轉化化歸垂直關系求解問題.

(四)變中求異,融會貫通

評注：在求異中突破,在超越中貫通.變式7和變式8雖然不是焦點三角形問題,但問題解決的方法與思路完全可以遷移應用焦點三角形問題;變式9焦點三角形角平分線的長度問題,統一整合轉化為角度問題,借助三角變換求解.

核心素養導向下的問題變式設計,需要教師深入理解數學學科核心素養,把學生數學學科核心素養的養成滲透到日常教學中,遵循學生認知規律,優化設計出合適的問題,展示數學概念、結論、應用的形成發展過程.在教學實踐中,需要教師不斷探索和創新教學方式,不僅重視如何教,更要重視如何學,引導學生會學數學,積極探索開發出符合學生認知規律、有助于提升學生數學學科核心素養的優秀案例.