探究新情境中的離心率問題*

福建省莆田第十中學(xué) (351146) 徐凡煒

《中國高考評(píng)價(jià)體系說明》指出,在試題命制層面,進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)情境化設(shè)計(jì).試題情境是實(shí)現(xiàn)考查內(nèi)容和考查要求的載體,學(xué)生解決問題時(shí),需要在理解與提取、分析與推理、歸納與表達(dá)的基礎(chǔ)上,尋求解決問題的途徑.本文以三類情境試題為例進(jìn)行剖析,旨在引導(dǎo)學(xué)生合理解讀試題情境,聯(lián)想求解方法,探索離心率問題的解題規(guī)律.

1.課程學(xué)習(xí)情境

分析：本題情境源于“雙曲線”和“解三角形”的課程學(xué)習(xí),創(chuàng)設(shè)的試題情境屬于學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)情境.考查了雙曲線的定義、余弦定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算等必備知識(shí),考查了邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力等關(guān)鍵能力,考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

評(píng)析：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的問題解決的關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義,結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于a,b,c的齊次方程,從而得解.

變式(2018年高考全國卷Ⅱ·文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為( ).

2.探究創(chuàng)新情境

分析：本題以“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單的幾何性質(zhì)”為試題情境,涉及的知識(shí)源于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)體驗(yàn),其中橢圓定義的表述方式源于學(xué)生的學(xué)習(xí)儲(chǔ)備,故所創(chuàng)設(shè)的試題情境屬于綜合聯(lián)想情境.考查了橢圓的定義、向量的數(shù)量積等必備知識(shí),考查了邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力等關(guān)鍵能力,考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

評(píng)析：本題常規(guī)方法是設(shè)P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo),由這兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系結(jié)合斜率公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,將y1用x1表示,從而得到橢圓基本量間的關(guān)系,求得離心率.若本題能利用橢圓的第三定義可使得運(yùn)算簡化.

變式已知點(diǎn)A是拋物線x2=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上且滿足|PA|=m|PF|,若m取最大值時(shí),點(diǎn)P恰好在以A,F為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為( ).

3.生活實(shí)踐情境

例3 圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì),如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是:從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線是發(fā)散的,其反向延長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn),如圖1,一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分,AP是它的一條對(duì)稱軸,F是它的一個(gè)焦點(diǎn),一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出,射到鏡面上點(diǎn)B,反射光線是BC,若∠PFB=120°,∠FBC=90°,則該雙曲線的離心率等于( ).

圖1

分析：本題選取的情境依托圓錐曲線具有的光學(xué)性質(zhì),考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單的幾何性質(zhì),由于兩者的關(guān)聯(lián)不明顯,創(chuàng)設(shè)的試題情境屬于拓展遷移情境,相應(yīng)的情境活動(dòng)表明試題在基礎(chǔ)性和應(yīng)用性的層次上考查了理性思維.考查了雙曲線的定義、簡單的幾何性質(zhì)等必備知識(shí),考查了運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力,考查了數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

圖2

圖3

由以上案例可以發(fā)現(xiàn)從不同角度提取、剖析、解讀試題情境,將有不同的思路,可以從不同角度去解決問題.因此,在解題教學(xué)中,教師要善于引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)試題的情境,深度理解情境中的多元信息,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)或形或轉(zhuǎn)化等角度去解讀,在一題多解中去總結(jié)解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在此基礎(chǔ)上,對(duì)情境進(jìn)行變式,在變的過程中,去發(fā)現(xiàn)歸納反思其中蘊(yùn)含的知識(shí)、能力、思想的不變性,進(jìn)而揭示問題的本質(zhì).如果做到這樣,將充分激發(fā)學(xué)生的思維,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).