對一道二元函數最值問題求解的多視角探究

安徽省合肥市肥東縣城關中學 (231600) 王東海

1 考題呈現

(2023屆高三武漢市重點高中4月聯考第16題) 已知正實數x,y滿足xy2(x+y)=9,則2x+y的最小值為.

分析：本題是二元方程約束條件下的二元目標函數最值問題,試題簡潔、優美,設有陷阱并有一定的難度,呈現出一定的綜合性與選拔性,需要較高的邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養.可以通過均值不等式法,或消參減元法,也可采取數形結合的方法來處理.

2 解法探究

視角1 觀察到約束條件為四次式,故考慮對約束條件進行降次,然后用基本不等式法處理.

視角2 如果將約束條件換個角度配湊,也能湊成可以使用均值不等式的式子.

視角3 對于約束條件下的目標函數最值問題,還可設目標函數為k,進而設法去求k的最值.

視角4 除了將約束條件降冪思路外,我們也可以對目標函數升冪來處理.

視角5 考慮2x+y=x+(x+y),而約束條件中也有同樣的部分,故可以雙換元來處理.

視角6 對于二元約束條件,我們可以用一個變量表示另一個,從而達到消參減元的目的.

視角7對于解析1、2配湊法往往較難,那么可以考慮用待定系數法可以很快實現配湊.

解析7:∵mx+ny+ny+(x+y)=(m+1)x+(2n+1)y(m,n>0)≥

視角8 將2x+y設為S,則可看成一條曲線,而約束條件也看成曲線,故考慮數形結合解決.

3 命題背景分析

本題命制的背景是拉格朗日乘數法求極值問題.其基本原理是:設給定二元函數z=f(x,y)和附加條件φ(x,y)=0,為尋找z=f(x,y)在附加條件φ(x,y)=0的極值點,我們可以先構造拉格朗日函數L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),由于φ(x,y)=0,我們可以發現z=f(x,y)的極值即為L(x,y,λ)的極值,且與λ無關.此時分別求L(x,y,λ)對x,y,λ的一階偏導數,令它們等于零,即

拉格朗日乘數法的優點是:一是把目標函數和等式約束統一到一個拉格朗日函數中;二是將條件最值問題轉化為無條件最值問題.

應用拉格朗日乘數法解答考題如下:

4 高考溯源

題1 (2022年全國Ⅱ卷12題)若實數x,y滿足x2+y2-xy=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

題2 (2020年江蘇高考)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值為.