一道函數零點問題求解的探究

江蘇省高郵市三垛中學 (225631) 楊葉飛

涉及函數零點的綜合問題,一直是高考數學試卷中比較常見的一類基本題型.此類綜合問題,設問新穎創新,形式變化多端,可以合理融入函數圖象與性質、函數與方程思想、函數與導數的應用等內容,交匯于函數模塊、導數模塊、不等式模塊等的基礎知識,能全面有效考查學生的“四基”與數學能力,以及相應的數學核心素養等,具有較好的選拔性與區分度,倍受各方關注.

1.問題呈現

本題是一道含參函數的零點綜合問題,零點問題可以轉化為對應方程的解或者兩個函數圖象交點的問題,所以我們可以先考慮函數的性質;而本題還和絕對值、根式等知識巧妙聯系在一起,分類討論和平方處理也是比較常用的解決方法.

2.問題破解

解后反思：將函數的零點巧妙轉化為相應方程的根問題,進而轉化為兩個函數圖象的交點個數問題,利用函數f(x)在自變量取值范圍內的單調性以及取值情況,利用函數的性質加以巧妙的分類討論是解決問題的關鍵所在.挖掘問題的本質,結合函數基本性質的內涵,兩者巧妙融合與轉化才能產生有用的效應.

解后反思：根據函數奇偶性的基本性質,是解決問題的關鍵所在.這里主要是借助具有奇偶性的函數有奇數個零點,利用函數的對稱性可知x=0必為該函數的一個零點.涉及絕對值、根式等相關的方程求解,要注意分類討論思想的應用.

解法3:(函數圖象法)依題函數g(x)=f(x)-b恰有三個不同的零點,則知方程f(x)=b恰有三個不同的解.下面考慮函數y=f(x)的圖象:

圖1

解后反思：涉及函數的零點綜合問題經常可以轉化為一條曲線與一條直線(或另一條曲線)的交點,由此可以根據函數的基本性質(單調性、奇偶性、對稱性等)畫出相應函數的圖象,然后根據圖象直觀分析得到有用信息,數形結合,直觀處理.數形直觀更加方便解題時作出正確的分析與判斷.

3.變式拓展

合理巧妙構造函數的解析式,由原來具有奇偶性的函數特征進行平移變換,改變成函數圖象關于對應直線對稱的問題,得以相應的變式與應用.

4.教學啟示

當然,其中涉及這三者關系的遞推過程有時可以逆向轉化,具體根據問題的實際情況,合理加以綜合與應用.