一道圓錐曲線面積問題的解法與易錯點探究*

揚州大學附屬中學 (225000) 陳小璐

解析幾何是歷年高考重點內容,面積問題是常考題型,單選題、多選題、填空題、解答題均有考查,其設問形式多樣,可以是已知面積關系探求基本運算、探求面積的定值問題、探求面積的最值問題等.在面積問題的運算過程中,學生不僅需要熟練掌握基本公式(例如弦長公式、點到直線距離公式、三角形面積公式、多邊形面積公式等),還需要選擇合理的解題策略實現代數與幾何之間的轉化,同時面積問題常與其他知識交匯形成綜合性較強的數學問題(例如探求面積的最值問題需要結合函數思想解題),因此面積問題是考查解析幾何的一個很好的載體.本文以一道圓錐曲線中面積問題為例,闡述面積計算的常見方法以及易錯點成因分析,供參考.

一、問題及其多解

分析：本題以橢圓為命題背景,圍繞面積公式展開.條件中以一個基礎問題即封閉圖形的面積,結合菱形面積公式及點到直線距離公式探求出第一問中橢圓的標準方程,第二問探求ΔAMB的面積的取值范圍,在求解策略上,通常分聯立和不聯立直線與圓錐曲線方程兩個方向,由于聯立方程的程序化,近年較多的題目設置是通過不聯立方程求解[1].策略一通過設直線OA的斜率參數探求面積公式,策略二通過設橢圓的參數方程或直線的參數方程探求面積公式.在教學中教師應順應學生的思維形成一題多解,從而培養學生的數學邏輯推理、數學運算等核心素養,內化數形結合、函數與方程等數學思想方法,提升對問題的整體把握能力.

圖1

(2)策略一 設斜率參數,聯立方程

圖2

評析：通過設斜率參數,聯立直線與橢圓方程是學生熟悉的方法,因此學生容易入手,此方法中易錯點是忽略斜率不存在形式的討論,難點一是計算出|AB|的弦長后,利用同構的方式直接表達出弦長|OM|,優化運算;難點二是構建出面積的函數關系后運用換元法求解面積的最值.

策略二 設點參數,不聯立方程

圖3

圖4

評析：“參數法”是數學解題的一種重要方法,通過設參、消參、化簡問題,促使問題得以解決,在應用參數解題時,有兩點必須注意:一是新參數的取值范圍是否與原變量一樣;二是要注意參數的幾何意義[2].解法1中就橢圓的參數方程而言,絕大多數學生只會用它來換元,忽略了橢圓參數方程中參數的幾何意義,從而導致解題出錯,解法2中應用直線的參數方程表達線段長度問題,從運算角度看,解法2優于解法1.

二、教學思考

1.面積求解的一般策略

求解析幾何中多邊形面積問題時,通常有以下解題策略:

① 特殊四邊形的面積,例如平行四邊形ABCD的面積,可直接轉化為三角形面積;

② 面積的拆分:多邊形有規則的圖形和不規則的圖形,計算多邊形面積時,常通過拆分將問題轉化到三角形、圓、特殊四邊形中,通過求解各部分面積,再將各部分面積相加求出多邊形面積;

③ 多個圖形面積關系的轉化:關鍵是“求同存異”,尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點,從而將面積的關系轉化為線段的關系,使得運算簡化.

2.面積的最值問題

面積的最值問題需靈活輔助函數思想解題,基本思路是:①首先利用公式探求出面積的表達式;②再構建函數模型,運用配方法、換元法、基本不等式、導數法等研究函數的圖象與性質,得出面積的最值.

3.典型錯誤與成因分析

典型錯誤：若AB斜率存在且不為0時,設

圖5

評析：糾錯是提升教學有效性的重要手段之一,本文從學生的典型錯誤出發,回歸教材,結合圖形正確理解橢圓參數方程中參數φ的幾何含義,對參數φ及OM的旋轉角作深入辨析.

結語在高三復習課教學中,如何將種類繁多的問題化歸為更為簡單清晰的一類問題,形成一般性解決問題的方法一直是筆者在課堂教學中思考的重點.教學的目標不僅僅是教授學生解題的技巧,最終目標是讓學生能夠自己發現問題、提出問題、解決問題.通過一題多解以及易錯點成因的辨析,強化概念,啟迪思維,拓展學生思維的深度與廣度,讓高效學習真實發生.