一道高校創新班招生試題的探究

山東省寧陽縣復圣中學 (271400) 張志剛

解題教學在高中數學教學中具有不可替代的作用.對于典型問題,教師要引導學生挖掘本質,捕捉信息,抓住關鍵,尋求聯系,觸發靈感,構建方案.讓學生在感知確認、抽象概括、合情推理、操作運算等思維活動中,全方位、多角度、多層次地思考問題,逐步學會有邏輯地思考數學問題.同時,教師追根溯源可以洞悉命題意圖,橫跨縱聯利于培養學生的發散思維.

1 試題呈現

本題是2023年中國科學技術大學創新班初試第4題,為函數與數列的綜合問題.試題結構精煉,情境新穎,突出對數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的考查,呈現出更強的綜合性與選拔性,具有較高的研究價值.

2 解法探究

第(1)問本小問要求證明不等式恒成立,可考慮構造函數,通過導數討論其單調性證明.

首先證明:當x>0時,sinx

設f(x)=sinx-x(x>0),f′(x)=cosx-1≤0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減,所以當x>0時,f(x)

第(2)問本小問是數列不等式的證明問題,綜合性較強.解答時應注重借助第(1)問的結論,結合數學歸納法與放縮進行證明.

3 命制背景

本題第(1)問不等式的高等數學背景是正弦函數的泰勒(Taylor)展開式.

圖1

諸多高考題和模擬題以泰勒公式為科學背景;或是直接應用泰勒公式,或是研究泰勒公式,考查數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模等核心素養.下面列舉兩例,體會泰勒公式在比較大小、不等式恒成立等問題中的功用.

A.a

C.c

本題以分數,指數式和對數式為載體,考查比較大小的問題,屬于探索創新情境.常見解法是構造函數f(x)=(1-x)ex-1,g(x)=xex+ln(1-x),利用導數討論其單調性,進而判定代數式的大小.下面利用泰勒展開式給出兩種解法.

點評：上述兩種解法借助泰勒公式近似計算或放縮,論證簡潔高效,彰顯了泰勒展開式在函數擬合與近似計算中的獨特價值.

例2 (2020年新高考Ⅰ卷第21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.(1) 當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2) 若f(x)≥1,求a的取值范圍.

本題第(1)問變為利用導數的幾何意義解決曲線的切線問題,較為容易.第(2)問為考查不等式恒成立求參數范圍問題,常見的解答思路有同構變形、虛設零點等.下面利用分類討論思想嘗試作答.

綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

4 延伸思考

歐拉將方程與巴塞爾問題,創造性地把有限多項式的因式乘積形式類比至無限項多項式中,成功地把無窮級數和數字π聯系起來,彰顯了獨特的原創性和簡潔性,也成為近年高考模擬考試的熱點命題素材,下面再舉一例.

例3 (2023年湖南省永州市第三次適應性測試第22題)已知函數f(x)=xe-x·lna,g(x)=sinx.

(1)若x=0是函數h(x)=f(x)+ag(x)的極小值點,討論h(x)在區間(-∞,π)上的零點個數;