基于路徑補償的激光投影圖形轉角偏差矯正研究

楊嘉亮，侯茂盛，李天雄，史錚雪，李麗娟

（長春理工大學 光電工程學院，長春 130022）

隨著科技水平的提高，現代先進制造裝配業對精度、速度和效率都有較高要求。國外從20世紀80 年代初就開展了激光掃描投影系統的研究與應用，激光掃描投影技術是利用CAD 數模，激光器發射出激光光束，通過雙軸振鏡運動，快速轉折將投影圖形輪廓數據以1∶1 的比例投影在物體表面上形成高精度的圖形，激光掃描投影系統能夠輔助操作人員大幅提高生產效率和裝配精度，實現制造裝配生產的智能化，現已廣泛應用于先進制造領域［1-2］。

侯茂盛等人［3］針對激光掃描投影技術與儀器開展了較深入的研究工作，先后研究了改進Fleury 算法優化掃描投影路徑、結合激光測距的新型激光掃描投影系統與標定方法［4-6］、特征自適應的激光掃描投影圖形控制點提取及優化方法以實現針對不同圖形特征的投影控制點自適應分布等［7-9］。然而，在利用激光掃描投影系統實際工作中，還發現在投影復雜或者同時投影較多的零部件圖形時，易在轉角點處產生輪廓偏差導致圖形失真，嚴重影響了投影圖形的精準度。上述問題影響激光投影系統在先進制造裝配現場的實際應用效果。國內相關學者針對上述問題開展了相關研究，如趙毅［7］針對拐角輪廓誤差提出了一種指令延時法消除轉角輪廓誤差；趙文路等人［10］研究了一種針對直線拐角的插補算法提高標記效果。上述幾種針對消除轉角偏差的研究方法都具有很大的局限性，如采用在拐角處設置激光轉跳延時來消除輪廓偏差會降低投影掃描速度，而改變掃描圖形拐角投影軌跡則又會影響投影圖形顯示效果，頻繁控制激光器的通斷和調整激光器的功率，使激光器在圖形轉角處降低功率，則對激光器要求較高，難以進行樣機系統集成，無法達到理想效果。

為解決投影圖形失真問題，本文提出并研究了基于轉角點處路徑補償的輪廓偏差矯正方法，在轉角處插補自適應路徑以消除投影圖形轉角處偏轉誤差，使其具有更好的圖形顯示效果。

1 轉角誤差分析

在雙軸振鏡系統中，假設x、y軸振鏡掃描系統均為I 型二階系統，圖1 是傳遞函數框圖，圖中Ri(S)為輸入信號的拉氏變換，ki為各軸的剛度系數。

圖1 典型二階二軸輪廓系統框圖

其開環傳遞函數Gi(S)為：

各軸的無阻自由振蕩頻率ωni和阻尼比ξi為：

在激光投影中投影的任何圖形都可以看作是無數個矢量段的組成，所以任何投影軌跡都可以看作直線軌跡。本文在研究穩態輪廓誤差時，將投影點的實際投影位置距離理論投影圖形的垂直距離稱為輪廓誤差，見圖2（a）中的ε；將同一時刻實際投影點的位置距離理論投影點位置的距離稱為跟蹤誤差，跟蹤誤差在x、y軸的偏差分量設為ex、ey，如圖2（a）所示。

圖2 輪廓誤差的定義和單位斜坡響應曲線

設掃描速度為v，則直線軌跡的穩態輪廓誤差為：

在直線指令下，各軸輸入信號為斜坡信號，各自的時域響應為：

單位斜坡響應曲線如圖2（b）所示，響應曲線相對于指令信號的延時量為（各軸的伺服延遲）：

轉角誤差是指令軌跡發生轉折時，在實際轉角偏離指令軌跡而產生的誤差，如圖3 所示。

圖3 轉角誤差示意圖

如圖3 設在t1時刻，激光實際圖形投影軌跡還沒有掃描到轉角點R，由于此時指令軌跡突然換向的慣性作用，實際的投影點會繼續向R點運動。但在理論軌跡坐標數據點新的指令作用下，投影點實際軌跡會偏離原投影軌跡，向下一個指令軌跡靠近，從而無法到達理論轉角點R點造成實際投影處的弧形軌跡。仍從時域來進行分析，同樣假設兩軸的系統參數完全一樣，并省略相應變量的x、y下標。設各軸的單位斜坡響應為c(t) ，掃描線速度v保持不變，各軸的指令速度在R點分別由vx1、vy1變到vx2、vy2，且：

則t＞t1時：

設t＞t1時，結束第一段指令軌跡的啟動過渡過程，此時的投影軌跡方程為：

得到定義指令軌跡轉折點到拐角軌跡的最短距離ε。

2 方法總體框架

所研究的基于路徑補償的激光投影圖形校正方法，即為識別投影圖形轉角點和角度，并針對轉角處進行投影圖形路徑插補，最后對插補的數據坐標點進行點云算法的壓縮優化。本文所研究的方法具體流程如下：

首先，獲取需要裝配的零部件投影輪廓線框圖形的三維坐標信息。

然后，用K 鄰域搜索對已知的投影輪廓線框圖形三維坐標數據點進行處理，通過計算坐標點的曲率和法向量信息判斷出轉角點位置，并針對投影圖形轉角點處進行路徑插補。

最后，再引入弦高偏移算法對插補的數據點進行壓縮優化處理，將壓縮優化后的插補點和原投影圖形的三維坐標結合作為最終投影圖形的坐標點，再換算為掃描振鏡的驅動信號完成投影。該方法能夠實現對轉角偏差的優化，提高投影圖形顯示頻率，降低轉角偏差現象發生概率，保證投影圖形形狀準確度的同時還能夠提高掃描投影圖形顯示效果。本文方法的整體流程如圖4 所示。

圖4 整體流程圖

3 基于K 領域搜索的轉角點判斷

本文把激光點云數據中能反映出投影圖形拐角信息的數據點稱為轉角點。為了能夠方便高效地識別和提取拐點及其轉角角度，本文利用與點云數據有關的曲率和法向夾角來判斷是否為轉角點，并提取轉角點。

3.1 曲率計算

曲率反映了局部曲線的變化程度，是本文用來識別轉角點的重要依據。假設g1和g2為點云數模型中的任意兩點，若g1點位于曲率變化的曲線上，其鄰域點與切平面間的距離相對較遠，則該點為轉角點；g2點位于曲率不變的直線上，則其鄰域點就在切平面的上，該點為非轉角點。

為了計算數據點曲率，設gi為獲取的N個數據點集合G={gi(xi，yi，zi)|i= 1，2，3，…，N}中的一點，用gij表示i點的第j個鄰域點，則gi點的K個鄰域點集表示為{gij(xij，yij，zij)|j= 1，2，3，…，K}，鄰域的重心可以表示為：

則計算出gi點的協方差矩陣Ti表示為［12］：

求解出協方差矩陣Ti的特征值，本文只需對二維數據進行處理，所以只會得到兩個特征值，并取最小特征值λ1，則數據點gi處的曲率ti可以表示為：

若某個數據點的曲率ti＞0，則g1點被判定為轉角點，若某個數據點的曲率ti= 0，則g1點被判定為非轉角點。通過上述計算可以將解析得到的數據點劃分為轉角點與非轉角點，為后續轉角點處插補路徑做好準備。

3.2 法向量計算

法向量作為衡量曲線轉角或者直線的度量，利用這一幾何特征可以用來判斷曲線的轉角點的角度。通過得到矩陣Ti的最小特征值λ1，求解出對應的特征向量n1作為所求數據點的法向量。得到數據點g1和g2對應的法向量分別為n1和n2，則法向量夾角可以表示為：

其中夾角ρ的取值范圍為[0，π ]，設轉角點的角度為θ，則：

若cosκ≥0 則判斷該角為銳角，轉角點角度為θ=κg1g2，若cosκ≥0，則判斷該角度為鈍角，轉角點角度和法向量角度互補為θ= π -κg1g2。通過上述方法可以計算出轉角的角度θ，為后續轉角點處插補路徑做好準備。

4 轉角點路徑插補原理

路徑插補的原理如圖5（a）所示，由圖可知插補的路徑是由兩段延長線段和與延長線段相切的原相切圓組成平滑的插補路徑。其插補步驟如下：

圖5 路徑插補原理圖和仿真結果

（1）獲取到判斷出的轉角點c()x0，y0和角度θ并設定L；

（2）計算半徑r以及x軸和y軸偏移分量Δx、Δy，可以得到E點和D點的坐標為()x0±Δx，y0±Δy，則有：

（3）已知M點為ED中點，根據向量和向量相乘為0，向量的長度平方為半徑r的平方。可以得到圓心F的坐標：

（4）最后根據步長插補法對C點到D點，E點到C點進行直線步長插補，對D點到E點進行圓弧步長插補。插補仿真結果如圖5（b）所示。

配合激光器通斷的掃描原理為：投影點的實際行進軌跡為A-C-D-E-C-B，配合精確控制激光的開關，使出光段在折線ACB上而不超出其范圍。即在A點處開光，C點處關閉激光，經過CD-E（此時采取相切折線和圓弧的方式補償路徑），回到C點后開光至B點處關閉激光，以此類推。

5 弦高偏移壓縮算法

為了將插補后的點進行壓縮優化從而達到在保證矯正角度偏差的前提下縮短投影圖形掃描的時間。所以采用弦高偏移算法對插補后的數據點進行壓縮優化處理，該算法處理對象時極大地保留了投影圖形的輪廓特征，能夠最好地完成對投影圖形輪廓數據的壓縮優化，從而使得投影出來的圖形不失真，達到最好的投影效果。弦高偏移壓縮算法的原理如圖6 所示。

圖6 弦高偏移壓縮算法原理圖

該算法具體步驟如下：

（1）根據獲取的線框圖形數據點，按照公式（17）設定弦高閾值ηh：

式中，dpspw為第s個和第w個數據點之間的歐氏距離；α為兩個向量之間的夾角。如圖6 中，h1=|p0p1|sinα，α為向量v1和v2的夾角。

式中，n為數據個數；hi為第i個數據點的弦高。

（2）判斷兩個數據點之間的弦高hi是否超過限高閾值ηh，若超過則保留該數據點，輸出該數據點的坐標值，若未超過則刪除該數據點，依次計算下一個數據點的弦高，如圖6，若hi＞ηh則P1點被保留，將作為下一次計算弦高的起點；反之則刪除掉P1點，然后繼續以P0為起點計算弦的弦高，之后繼續做判斷，直到所有的數據點都判斷完畢，輸出最后保留下來的數據點［14］。

（3）最后得到的數據集就是被優化后的坐標數據，將優化后的點和線框圖形坐標點融合。

圖7 為用弦高偏移算法對插補路徑數據點的優化前后仿真圖對比圖，仿真結果插補的路徑處的坐標由52 個坐標點優化為27 個坐標點。

圖7 本文方法優化前后的仿真對比

6 實驗結果

激光掃描投影系統如圖8 所示，本系統是由激光器、準直擴束模塊、動態聚焦模塊、二維振鏡、數據采集卡、光電探測模塊等組成。激光器發出激光通過準直擴束模塊和聚焦模塊實現在投影工作面的精準聚焦，通過二維掃描振鏡掃描投影工作面的靶標點完成標定工作，通過數據采集卡和光電探測模塊獲取靶標點的數據信息解算出二維振鏡和投影工作面的相對位置信息，解算出二維振鏡的坐標系和投影工作面坐標系的轉換關系，進而將投影圖形理論坐標點轉化為投影工作面坐標系下的坐標點。通過DAQ 數據采集卡將坐標信息轉化為電壓值，并將電壓信號發送給雙軸掃描振鏡，通過驅動二維掃描振鏡配合激光器的通斷實現在待投影工作面上投影出圖形精準清晰的輪廓［7］。

圖8 激光掃描投影系統

為了驗證本文方法的有效性及投影圖形顯示效果，實驗將信號采樣速率設置為12 × 104Sa/s，并選取30°、60°、90°、120°四個具有特征性的角度來進行實驗論證。如圖9 所示，可明顯觀察到實際投影圖形相較于理論投影圖形在轉角點紅色標記處有明顯的形變。

圖9 四個角度轉角偏差

為了補償轉角點處偏差，按本文方法進行的路徑補償實驗如圖10 所示，可以清晰地看到轉角點處路徑補償的過程。

圖10 四個角度轉角路徑補償

經過本文方法最終優化后的四個角度，配合激光的通斷進行實驗，如圖11 所示，可以明顯看到消除了轉角點處的偏差。

圖11 配合激光器通斷的轉角實驗

7 結論

本文針對投影圖形轉角處明顯的拐角鈍化，提出了基于轉角點處路徑補償的偏差校正方法。首先分析了在激光投影系統中投影圖形轉角處輪廓偏差產生的原因，然后通過計算曲率和法向量從坐標信息點中判斷出轉角點坐標信息和轉交角度信息，并針對轉角點進行自適應路徑插補。同時為了提高掃描投影圖形的掃描速率，對插補的路徑數據信息點進行弦高壓縮算法的優化和稀釋，可將插補路徑的數據點壓縮至51.92%，從而達到減少路徑補償處掃描時間的效果。最后將優化后的路徑插補數據點和原投影圖形三維坐標點結合作為最終的投影圖形坐標點，并配合激光器的通斷進行投影，最終實現對投影圖形轉角偏差的矯正。所研究方法可以有效消除投影圖形轉角點處的偏差，提高投影圖形的顯示效果。在裝配現場中具有更好的實際應用價值。