淺談安培環路定理的使用*

劉永錄 張 森 鄒德濱

(國防科技大學理學院 湖南 長沙 410073)

1 引言

在大學物理[1-3]和普通物理[4]的課程教學中,電磁學理論是學生普遍反映較難學習的內容.原因在于,從力學過渡到電磁學,有兩個比較重要的改變.一是研究對象的改變,力學主要研究宏觀低速的機械運動,涉及物體空間位置隨時間的演化規律,主導其變化的是相互作用(或者稱為力);而電磁學研究的是電場和磁場在空間的分布及其演化,主導其演化的是電荷和電流的分布,電磁學中的相互作用表現為帶電粒子與場的相互作用,主要表現為洛倫茲力.二是矢量場的研究與力學中不一樣,微分性質包括了散度和旋度.電磁學的研究對象是電場和磁場這兩個矢量場,矢量場的變化包含隨時間的演化及空間分布的變化,最終以麥克斯韋方程組為高度總結,刻畫了電磁場的變化與電荷、電流分布的關系.

麥克斯韋方程組是電磁學的基本方程,是集電磁學之大成的理論.不但揭示了電磁現象的基本規律,而且將場的概念引入物理,為后續的發展提供了重要的理論支撐.麥克斯韋方程組有積分和微分兩種典型形式,分別從宏觀和微觀角度刻畫了矢量場研究過程中對其描述的不同側面,是現象學研究和還原論研究兩種思維方式的典型體現,對其理解是經典電磁學的主要任務之一.

高斯定理和安培環路定理是描述電荷激發電場、電流激發磁場的兩個重要方程,對應麥克斯韋方程組中的兩個有源方程.對于高斯定理和安培環路定理[5-9],大部分學生僅僅停留在應用層面,對其背后的物理內涵挖掘不是很充分.

本文從一個常見的例子出發,通過使用安培環路定理來闡述電磁場的微分形式和積分形式及其背后的意義,加深學生對麥克斯韋方程組及電磁場概念的理解.

2 應用安培環路定理求解有限長載流直導線的磁感應強度

使用高斯定理求解電場強度的過程中,對于電荷對稱分布的場強,應用范圍比較廣.但是在使用安培環路定理求磁感應強度的過程中,應用受到了較大的限制,大部分教科書上[1-4]對這個問題僅限于幾個特例:無限長載流直導線,無限長載流螺線管和環形載流螺線管,而對于如何利用安培環路定理求解“有限長度”載流直導線所激發的磁場等類似問題卻鮮有提及.下面通過求解有限長載流直導線的磁感應強度來分析該問題的物理和數學背景.

【例題】如圖1所示,設有限長載流直導線通以電流I,其長度為l,求距離導線為a處的磁感應強度.

圖1 有限長載流直導線磁感應強度示意圖

解析：這個問題是大學物理或普通物理電磁學中用畢奧-薩伐爾定律求解的典型問題,參照教材[1]結果,我們首先給出其結論如下

(1)

下面通過安培環路定理來求解該磁場.由對稱性分析可知,在垂直于載流直導線的平面內,以導線為圓心、以a為半徑的圓上磁感應強度B沿切線方向且大小相等,應用安培環路定理有

∮LB·dl=μ0I

(2)

其中回路積分L沿圓周方向,I為穿過回路所圍曲面的電流強度.在計算中,由磁感應強度的角向對稱性易知,環路積分部分和無限長載流直導線的情況相同,即

∮LB·dl=B·2πa

(3)

但是B和無限長載流直導線的結果真的一致嗎?直觀估算:有限長導線以外的部分肯對會對a處的磁感應強度有貢獻,兩種情況下計算的磁感應強度肯定不同.那么如何正確解決這一矛盾呢?關鍵是在考慮“穿過閉合曲線”的電流強度時,需謹慎對待.由于載流直導線不是無限長,在端點處電流的流向會影響到積分結果.假設在端點處電流完全自由流動,即電流密度矢量是球對稱的.對于導線的上端點來說,電流球對稱流出,如圖2所示.

圖2 有限長載流直導線的上端點電流自由流動示意圖

此時必然有部分電流從閉合曲線所圍成的圓面流回,大小為電流密度矢量對環路所張曲面的通量.這里,載流導線外的電流實際為“位移電流”,包含從導線端點流出的電流和從閉合曲線所圍成的圓面流回的電流.將電流密度矢量在球冠上進行積分,可得到上端點的電流穿過圓面的電流強度為

(4)

該電流穿過方向與電流強度I的方向相反.同理,可以得到下端點的電流穿過圓面的電流強度為

(5)

且穿過的方向也與I的方向相反.這樣,在導線上端積聚正電荷,而同時在導線下端積聚等量的負電荷,二者分別發出和聚集電場線,則回路內包圍的位移電流在任意時刻都與導線中傳導電流反向.將所有穿過圓面的電流疊加并應用安培環路定理,得到

∮LB·dl=B·2πa=μ0(I-I1-I2)=

(6)

即

(7)

此結果與前面畢奧-薩伐爾定律求解的結果完全一致.

需要提到的是,針對安培環路定理對于一段有限長穩恒電流的磁場是否嚴格成立的問題,已有學者進行了討論[10-11],而本文通過上述分析得到了嚴格的證明.此外,以上方法可以拓展至利用安培環路定理計算具有對稱性電流分布的復雜磁場強度的問題,如電流流入大地后呈半球狀均勻散開時大地內磁場強度的計算.基于畢奧-薩伐爾定律的磁場疊加法很難計算,但利用以上推廣的安培環路定理則容易計算得到.

3 淺談安培環路定理求解磁感應強度的使用場景

安培環路定理是描述穩恒磁場橫場性質的積分形式,表明磁感應強度的閉合回路積分由穿過該閉合回路的電流強度決定.不過相比于高斯定理,這里所說的“穿過閉合回路”實際上指的是穿過閉合回路所張成的曲面.因此安培環路定理在實際使用中存在一定的不確定性,即選擇的曲面需和實際情況一致.

從物理上看,這涉及閉合回路及其張成的曲面的邊界確定問題,而實際上的電流強度總是有限的(在有限區域內構成閉合回路,或者從無窮遠處出發終止于無窮遠),因此有限長載流直導線模型依賴于具體實例.基于以上討論,我們得到兩個基本結論:

(1)利用畢奧-薩伐爾定律計算有限長度載流直導線的磁感應強度時,實際上使用的潛在條件是載流直導線兩端是完全開放的;如果有限長載流直導線的一端接地,這時得到的就是半無限長載流直導線的磁感應強度分布;而當有限長載流直導線兩端都接地時,則等效為無限長載流直導線的磁場情況.

為了更加形象地展示上述結論,我們將采用Mathematica軟件針對兩端自由、上端自由下端接地和兩端接地這3種不同情況下電流激發磁場的分布進行數值仿真.圖3給出了電流產生的磁感應強度B的二維截面圖.圖中間的白色粗箭頭表示一段長l為0.5 m、電流I為1 A的有限長載流直導線,四周的細箭頭表示載流直導線兩端的電流分布,即電流密度.從圖中看出,對于有限長度的載流直導線,如果兩端是完全開放的,兩端電流密度矢量呈球狀對稱分布,這等價于利用畢奧-薩伐爾定律計算的有限長載流直導線的磁感應強度,如圖3(a);若有限長載流直導線的一端接地,則自由端電流密度矢量呈球狀對稱分布,接地端電流密度矢量呈半球面對稱分布,對應于半無限長載流直導線的磁感應強度分布結果,如圖3(b);當有限長載流直導線兩端同時接地時,兩端電流密度矢量均呈半球面對稱分布,則載流直導線周圍的磁感應強度等效為無限長載流直導線情形,如圖3(c).

圖3 兩端自由(a)、上端自由下端接地(b)和兩端接地(c)情形下,電流、磁感強度二維截面圖(參數:I = 1 A,l=0.5 m;B>1 μT的飽和區間用淺色表示,B<-1 μT的飽和區間用深色表示)

(2)安培環路定理描述的內容是嚴格的,無論電流分布是否對稱,繞某一閉合回路的磁感應強度的線積分取決于穿過該回路的電流強度.對該問題的進一步理解需要考查微分形式的麥克斯韋方程組.微分形式的麥克斯韋方程是從積分形式導出的,為簡單起見僅考慮穩恒情況.利用電流密度矢量,安培環路定理寫成

(8)

利用斯托克斯定理,上式變為

(9)

注意到等式兩邊積分變量和積分區域相同,且對于任意積分區域均滿足,故可得到

?×B=μ0j

(10)

由以上討論可知,安培環路定理的積分形式和微分形式在描述物理內容上是等價的,但其側重點又有所不同.積分形式給出了宏觀效果,而微分形式給出了局域點的細微刻畫,這和牛頓第二定律與動量定理的關系類似.定性地講,二者的數學描述是不同的,但是本質是一樣的.從數學的角度,微分形式給出場的解,解方程時需給定邊界條件.積分形式的安培環路定理之所以能確定就在于給定了電流密度矢量在端點(邊界)處的值,本質上等價于給定邊界條件來確定磁場的.總的說來,求解穩恒磁場的基本思想就是邊界條件確定磁場.

4 關于高斯定理求解非對稱電荷密度分布靜電場的問題

我們還可將邊界條件確定磁場的思想推廣到靜電場的討論.在應用高斯定理時,對于對稱分布的電荷或者電荷密度,應用積分形式的高斯定理求解電場強度矢量.對于非對稱分布的情況,不能直接應用該方法求解,但是高斯定理告訴我們,閉合曲面上電場強度的面積分(通量)由內部的電荷總量決定,即

(11)

同樣的討論,等式右邊寫成積分形式為

(12)

再對左邊使用高斯積分公式,得到

(13)

等式兩邊積分區域和積分變量處處相等,因此有

(14)

這就是微分形式的高斯定理,也是真空中麥克斯韋方程組關于電場強度散度的內容.該結果同樣告訴我們,真空中某點處的電荷密度決定的是該點電場強度的散度,而電場強度本身是由空間所有電荷決定.

5 總結

本文從應用安培環路定理求解有限長載流直導線的磁感應強度這一典型問題出發,揭示了邊界條件對于非對稱電流密度分布情況下求解穩恒磁場的重要性,明確了安培環路定理積分形式和微分形式的使用場景,并拓展至應用高斯定理求解非對稱電荷密度分布靜電場的問題.以上討論有助于學生加深對麥克斯韋方程組積分形式和微分形式的理解,雖然兩者所反映的物理內容相同,但積分形式給出的是一個區域場和源的整體聯系,僅適用于介質連續分布、場量連續區域,而微分形式給出的是局域關系,適用于場量不連續情況.