淺談安培環(huán)路定理的使用*

劉永錄 張 森 鄒德濱

(國防科技大學(xué)理學(xué)院 湖南 長沙 410073)

1 引言

在大學(xué)物理[1-3]和普通物理[4]的課程教學(xué)中,電磁學(xué)理論是學(xué)生普遍反映較難學(xué)習(xí)的內(nèi)容.原因在于,從力學(xué)過渡到電磁學(xué),有兩個(gè)比較重要的改變.一是研究對(duì)象的改變,力學(xué)主要研究宏觀低速的機(jī)械運(yùn)動(dòng),涉及物體空間位置隨時(shí)間的演化規(guī)律,主導(dǎo)其變化的是相互作用(或者稱為力);而電磁學(xué)研究的是電場和磁場在空間的分布及其演化,主導(dǎo)其演化的是電荷和電流的分布,電磁學(xué)中的相互作用表現(xiàn)為帶電粒子與場的相互作用,主要表現(xiàn)為洛倫茲力.二是矢量場的研究與力學(xué)中不一樣,微分性質(zhì)包括了散度和旋度.電磁學(xué)的研究對(duì)象是電場和磁場這兩個(gè)矢量場,矢量場的變化包含隨時(shí)間的演化及空間分布的變化,最終以麥克斯韋方程組為高度總結(jié),刻畫了電磁場的變化與電荷、電流分布的關(guān)系.

麥克斯韋方程組是電磁學(xué)的基本方程,是集電磁學(xué)之大成的理論.不但揭示了電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律,而且將場的概念引入物理,為后續(xù)的發(fā)展提供了重要的理論支撐.麥克斯韋方程組有積分和微分兩種典型形式,分別從宏觀和微觀角度刻畫了矢量場研究過程中對(duì)其描述的不同側(cè)面,是現(xiàn)象學(xué)研究和還原論研究兩種思維方式的典型體現(xiàn),對(duì)其理解是經(jīng)典電磁學(xué)的主要任務(wù)之一.

高斯定理和安培環(huán)路定理是描述電荷激發(fā)電場、電流激發(fā)磁場的兩個(gè)重要方程,對(duì)應(yīng)麥克斯韋方程組中的兩個(gè)有源方程.對(duì)于高斯定理和安培環(huán)路定理[5-9],大部分學(xué)生僅僅停留在應(yīng)用層面,對(duì)其背后的物理內(nèi)涵挖掘不是很充分.

本文從一個(gè)常見的例子出發(fā),通過使用安培環(huán)路定理來闡述電磁場的微分形式和積分形式及其背后的意義,加深學(xué)生對(duì)麥克斯韋方程組及電磁場概念的理解.

2 應(yīng)用安培環(huán)路定理求解有限長載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度

使用高斯定理求解電場強(qiáng)度的過程中,對(duì)于電荷對(duì)稱分布的場強(qiáng),應(yīng)用范圍比較廣.但是在使用安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強(qiáng)度的過程中,應(yīng)用受到了較大的限制,大部分教科書上[1-4]對(duì)這個(gè)問題僅限于幾個(gè)特例:無限長載流直導(dǎo)線,無限長載流螺線管和環(huán)形載流螺線管,而對(duì)于如何利用安培環(huán)路定理求解“有限長度”載流直導(dǎo)線所激發(fā)的磁場等類似問題卻鮮有提及.下面通過求解有限長載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度來分析該問題的物理和數(shù)學(xué)背景.

【例題】如圖1所示,設(shè)有限長載流直導(dǎo)線通以電流I,其長度為l,求距離導(dǎo)線為a處的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

圖1 有限長載流直導(dǎo)線磁感應(yīng)強(qiáng)度示意圖

解析：這個(gè)問題是大學(xué)物理或普通物理電磁學(xué)中用畢奧-薩伐爾定律求解的典型問題,參照教材[1]結(jié)果,我們首先給出其結(jié)論如下

(1)

下面通過安培環(huán)路定理來求解該磁場.由對(duì)稱性分析可知,在垂直于載流直導(dǎo)線的平面內(nèi),以導(dǎo)線為圓心、以a為半徑的圓上磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿切線方向且大小相等,應(yīng)用安培環(huán)路定理有

∮LB·dl=μ0I

(2)

其中回路積分L沿圓周方向,I為穿過回路所圍曲面的電流強(qiáng)度.在計(jì)算中,由磁感應(yīng)強(qiáng)度的角向?qū)ΨQ性易知,環(huán)路積分部分和無限長載流直導(dǎo)線的情況相同,即

∮LB·dl=B·2πa

(3)

但是B和無限長載流直導(dǎo)線的結(jié)果真的一致嗎?直觀估算:有限長導(dǎo)線以外的部分肯對(duì)會(huì)對(duì)a處的磁感應(yīng)強(qiáng)度有貢獻(xiàn),兩種情況下計(jì)算的磁感應(yīng)強(qiáng)度肯定不同.那么如何正確解決這一矛盾呢?關(guān)鍵是在考慮“穿過閉合曲線”的電流強(qiáng)度時(shí),需謹(jǐn)慎對(duì)待.由于載流直導(dǎo)線不是無限長,在端點(diǎn)處電流的流向會(huì)影響到積分結(jié)果.假設(shè)在端點(diǎn)處電流完全自由流動(dòng),即電流密度矢量是球?qū)ΨQ的.對(duì)于導(dǎo)線的上端點(diǎn)來說,電流球?qū)ΨQ流出,如圖2所示.

圖2 有限長載流直導(dǎo)線的上端點(diǎn)電流自由流動(dòng)示意圖

此時(shí)必然有部分電流從閉合曲線所圍成的圓面流回,大小為電流密度矢量對(duì)環(huán)路所張曲面的通量.這里,載流導(dǎo)線外的電流實(shí)際為“位移電流”,包含從導(dǎo)線端點(diǎn)流出的電流和從閉合曲線所圍成的圓面流回的電流.將電流密度矢量在球冠上進(jìn)行積分,可得到上端點(diǎn)的電流穿過圓面的電流強(qiáng)度為

(4)

該電流穿過方向與電流強(qiáng)度I的方向相反.同理,可以得到下端點(diǎn)的電流穿過圓面的電流強(qiáng)度為

(5)

且穿過的方向也與I的方向相反.這樣,在導(dǎo)線上端積聚正電荷,而同時(shí)在導(dǎo)線下端積聚等量的負(fù)電荷,二者分別發(fā)出和聚集電場線,則回路內(nèi)包圍的位移電流在任意時(shí)刻都與導(dǎo)線中傳導(dǎo)電流反向.將所有穿過圓面的電流疊加并應(yīng)用安培環(huán)路定理,得到

∮LB·dl=B·2πa=μ0(I-I1-I2)=

(6)

即

(7)

此結(jié)果與前面畢奧-薩伐爾定律求解的結(jié)果完全一致.

需要提到的是,針對(duì)安培環(huán)路定理對(duì)于一段有限長穩(wěn)恒電流的磁場是否嚴(yán)格成立的問題,已有學(xué)者進(jìn)行了討論[10-11],而本文通過上述分析得到了嚴(yán)格的證明.此外,以上方法可以拓展至利用安培環(huán)路定理計(jì)算具有對(duì)稱性電流分布的復(fù)雜磁場強(qiáng)度的問題,如電流流入大地后呈半球狀均勻散開時(shí)大地內(nèi)磁場強(qiáng)度的計(jì)算.基于畢奧-薩伐爾定律的磁場疊加法很難計(jì)算,但利用以上推廣的安培環(huán)路定理則容易計(jì)算得到.

3 淺談安培環(huán)路定理求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的使用場景

安培環(huán)路定理是描述穩(wěn)恒磁場橫場性質(zhì)的積分形式,表明磁感應(yīng)強(qiáng)度的閉合回路積分由穿過該閉合回路的電流強(qiáng)度決定.不過相比于高斯定理,這里所說的“穿過閉合回路”實(shí)際上指的是穿過閉合回路所張成的曲面.因此安培環(huán)路定理在實(shí)際使用中存在一定的不確定性,即選擇的曲面需和實(shí)際情況一致.

從物理上看,這涉及閉合回路及其張成的曲面的邊界確定問題,而實(shí)際上的電流強(qiáng)度總是有限的(在有限區(qū)域內(nèi)構(gòu)成閉合回路,或者從無窮遠(yuǎn)處出發(fā)終止于無窮遠(yuǎn)),因此有限長載流直導(dǎo)線模型依賴于具體實(shí)例.基于以上討論,我們得到兩個(gè)基本結(jié)論:

(1)利用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算有限長度載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí),實(shí)際上使用的潛在條件是載流直導(dǎo)線兩端是完全開放的;如果有限長載流直導(dǎo)線的一端接地,這時(shí)得到的就是半無限長載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布;而當(dāng)有限長載流直導(dǎo)線兩端都接地時(shí),則等效為無限長載流直導(dǎo)線的磁場情況.

為了更加形象地展示上述結(jié)論,我們將采用Mathematica軟件針對(duì)兩端自由、上端自由下端接地和兩端接地這3種不同情況下電流激發(fā)磁場的分布進(jìn)行數(shù)值仿真.圖3給出了電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的二維截面圖.圖中間的白色粗箭頭表示一段長l為0.5 m、電流I為1 A的有限長載流直導(dǎo)線,四周的細(xì)箭頭表示載流直導(dǎo)線兩端的電流分布,即電流密度.從圖中看出,對(duì)于有限長度的載流直導(dǎo)線,如果兩端是完全開放的,兩端電流密度矢量呈球狀對(duì)稱分布,這等價(jià)于利用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算的有限長載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度,如圖3(a);若有限長載流直導(dǎo)線的一端接地,則自由端電流密度矢量呈球狀對(duì)稱分布,接地端電流密度矢量呈半球面對(duì)稱分布,對(duì)應(yīng)于半無限長載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布結(jié)果,如圖3(b);當(dāng)有限長載流直導(dǎo)線兩端同時(shí)接地時(shí),兩端電流密度矢量均呈半球面對(duì)稱分布,則載流直導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度等效為無限長載流直導(dǎo)線情形,如圖3(c).

圖3 兩端自由(a)、上端自由下端接地(b)和兩端接地(c)情形下,電流、磁感強(qiáng)度二維截面圖(參數(shù):I = 1 A,l=0.5 m;B>1 μT的飽和區(qū)間用淺色表示,B<-1 μT的飽和區(qū)間用深色表示)

(2)安培環(huán)路定理描述的內(nèi)容是嚴(yán)格的,無論電流分布是否對(duì)稱,繞某一閉合回路的磁感應(yīng)強(qiáng)度的線積分取決于穿過該回路的電流強(qiáng)度.對(duì)該問題的進(jìn)一步理解需要考查微分形式的麥克斯韋方程組.微分形式的麥克斯韋方程是從積分形式導(dǎo)出的,為簡單起見僅考慮穩(wěn)恒情況.利用電流密度矢量,安培環(huán)路定理寫成

(8)

利用斯托克斯定理,上式變?yōu)?/p>

(9)

注意到等式兩邊積分變量和積分區(qū)域相同,且對(duì)于任意積分區(qū)域均滿足,故可得到

?×B=μ0j

(10)

由以上討論可知,安培環(huán)路定理的積分形式和微分形式在描述物理內(nèi)容上是等價(jià)的,但其側(cè)重點(diǎn)又有所不同.積分形式給出了宏觀效果,而微分形式給出了局域點(diǎn)的細(xì)微刻畫,這和牛頓第二定律與動(dòng)量定理的關(guān)系類似.定性地講,二者的數(shù)學(xué)描述是不同的,但是本質(zhì)是一樣的.從數(shù)學(xué)的角度,微分形式給出場的解,解方程時(shí)需給定邊界條件.積分形式的安培環(huán)路定理之所以能確定就在于給定了電流密度矢量在端點(diǎn)(邊界)處的值,本質(zhì)上等價(jià)于給定邊界條件來確定磁場的.總的說來,求解穩(wěn)恒磁場的基本思想就是邊界條件確定磁場.

4 關(guān)于高斯定理求解非對(duì)稱電荷密度分布靜電場的問題

我們還可將邊界條件確定磁場的思想推廣到靜電場的討論.在應(yīng)用高斯定理時(shí),對(duì)于對(duì)稱分布的電荷或者電荷密度,應(yīng)用積分形式的高斯定理求解電場強(qiáng)度矢量.對(duì)于非對(duì)稱分布的情況,不能直接應(yīng)用該方法求解,但是高斯定理告訴我們,閉合曲面上電場強(qiáng)度的面積分(通量)由內(nèi)部的電荷總量決定,即

(11)

同樣的討論,等式右邊寫成積分形式為

(12)

再對(duì)左邊使用高斯積分公式,得到

(13)

等式兩邊積分區(qū)域和積分變量處處相等,因此有

(14)

這就是微分形式的高斯定理,也是真空中麥克斯韋方程組關(guān)于電場強(qiáng)度散度的內(nèi)容.該結(jié)果同樣告訴我們,真空中某點(diǎn)處的電荷密度決定的是該點(diǎn)電場強(qiáng)度的散度,而電場強(qiáng)度本身是由空間所有電荷決定.

5 總結(jié)

本文從應(yīng)用安培環(huán)路定理求解有限長載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度這一典型問題出發(fā),揭示了邊界條件對(duì)于非對(duì)稱電流密度分布情況下求解穩(wěn)恒磁場的重要性,明確了安培環(huán)路定理積分形式和微分形式的使用場景,并拓展至應(yīng)用高斯定理求解非對(duì)稱電荷密度分布靜電場的問題.以上討論有助于學(xué)生加深對(duì)麥克斯韋方程組積分形式和微分形式的理解,雖然兩者所反映的物理內(nèi)容相同,但積分形式給出的是一個(gè)區(qū)域場和源的整體聯(lián)系,僅適用于介質(zhì)連續(xù)分布、場量連續(xù)區(qū)域,而微分形式給出的是局域關(guān)系,適用于場量不連續(xù)情況.