圓電流在非均勻磁場中所受的安培力*

詹 瓊 張興剛

(貴州大學物理學院 貴州 貴陽 550025)

載流導線在磁場中受到的磁場力又稱為安培力,用安培定律進行分析和計算,其數(shù)學表達式為dF=Idl×B.當外磁場是均勻磁場時,求解過程相對簡單一些;當外磁場不是均勻磁場時,求解這一類問題時有一定的難度.

下面就一個例題的求解進行分析研究.此題可見馬文蔚等教師編寫的《物理學》第七版第295頁的例題2.一般來說,大學物理教師在講安培力的計算時要么不用該例題,要么主要講解其涉及的物理模型,對計算結果不會作仔細推導.然而,仍有部分學生關心題目的具體求解方法和步驟.

1 例題分析

【例題】載流導線間的磁場力.如圖1所示,一無限長載流直導線與一半徑為R的圓電流處于同一水平面內(nèi),它們的電流分別為I1和I2,直導線與圓心相距為d,且d>R,求作用在圓電流上的磁場力.

圖1 例題題圖

解析：如圖1,建立坐標系Oxy.由題知電流元I2dl所在處的磁感應強度方向垂直紙面向外,大小為

(1)

此電流元受到的安培力方向如圖1所示,大小為

(2)

式中

dl=Rdθ

對于圓電流上處于不同位置的電流元,其受到的安培力有不同的方向.因此需要考慮dF沿x軸與y軸的分量,它們分別為

(3)

(4)

于是整個圓電流在y方向所受的安培力為

(5)

Fy=0也可以通過對稱性分析得到.

同理有

(6)

這里直接給出了

這個積分比較困難.我們給出了兩種計算這個積分的方法.

1.1 方法一——換元積分法

令

則有

由于θ的積分范圍為[0,2π][1],故t對應的積分范圍為[0,∞]與[-∞,0],于是

(7)

利用積分公式

對上式進行積分得

(8)

1.2 方法二——復變函數(shù)法

留數(shù)定理[2]:設C為一條簡單正向閉曲線,若f(z)在C上連續(xù),在C所包圍的區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,…,zk外解析,則

(9)

而對極點處的留數(shù)計算有:若z0為f(z)的m級極點,則

(10)

現(xiàn)在令z=eiθ,則

由于θ的積分范圍為[0,2π],恰好對應z沿圓周|z|=1正向繞行一周,于是有

(11)

分母有兩個根

為被積函數(shù)的奇點,其中z1在|z|=1內(nèi),于是有

(12)

2 討論

通過前面的兩種數(shù)學推導過程可以看到,對形如以下的積分

當被積函數(shù)的原函數(shù)很難看出或不能用初等函數(shù)的有限形式表示時,這時采用復變函數(shù)中的留數(shù)定理計算較為簡單方便.而復變函數(shù)又是理工類專業(yè)常開設的一門課程,故在進行教學時適當進行一些引導,有利于培養(yǎng)學生學習的能力和興趣.但當電流不是整個圓形,而是其中一部分圓弧時,換元積分法只需積分范圍相應改變即可,而復變函數(shù)法就不能采用了.