基于Tracker的方位徑向擺影響因素實驗研究

胡雨迪 熊建文

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 510006)

方位徑向擺是一個多自由度非線性動力學系統[1]．它的特點是:在方位徑向擺的運動過程中,徑向振蕩(平行于桿)可以自發轉變為方位振蕩(垂直于桿),彈性桿、擺錘相互耦合,相互影響．所以說方位徑向擺為三維空間中的彈性桿與擺錘的耦合振動[2]．

理論分析指出,方位角、彈性桿直徑、彈性桿長度、徑向擺擺長等多因素對方位徑向擺運動存在影響[2]．但以往對方位徑向擺的實驗研究大多只討論了方位角對方位徑向擺運動的影響[3],本文利用Tracker軟件追蹤自制方位徑向擺的運動,以更全面地探討多因素對方位徑向擺運動的影響．

1 實驗原理與裝置

1.1 理論模型

將一水平彈性桿一端固定在右側剛性鐵架臺上,用一細繩拉緊彈性桿使彈性桿平行于地面．在彈性桿外端懸掛一擺球．左側鐵架臺上固定有臺虎鉗,使用臺虎鉗控制擺球釋放時的高度和方位角度．初始狀態下,擺線應處于恰好緊繃的狀態．

如圖1所示,以水平垂直彈性桿方向為x軸,沿彈性桿方向為y軸,豎直垂直彈性桿方向為z軸建立直角坐標系．令擺線與z軸負方向的夾角為Φ．設彈性桿沿x方向的位移為x1,沿y方向的位移為y1,不考慮沿z方向的位移．彈性桿形變近似滿足胡克定律,則彈性桿的勢能函數為

圖1 方位徑向擺模型建立

(1)

擺線長為L1,彈性桿長為L2．設小球相對于彈性桿的末端在x、y和z方向的位移為x2、y2、z2．擺球的運動需滿足幾何條件

(2)

設彈性桿的線密度為ρ,則彈性桿的質量為m1=ρL2．彈性桿在x和y方向的速度分量為Vx(y),Vy(y),可知彈性桿的動能函數為

(3)

設小球的質量為m2,重力加速度為g,則小球的勢能函數為[1]

V2=-m2gz2

(4)

小球的動能函數為

(5)

根據拉格朗日方程

L=T-V=T1+T2-V1-V2=

(6)

帶入拉格朗日方程

(7)

求得該微分方程的解即方位徑向擺的運動微分方程．

1.2 轉化時間T的計算

如圖2所示,令擺線在水平面上的投影與y軸負方向的夾角為θ,定義小球從開始運動到θ變為90°所經歷的時間為方位徑向擺的轉化時間T．

1.3 實驗裝置

實驗中,選取直徑為22 mm的小球,使用電子天平稱量得到小球質量為m=45.3 g．選取直徑d分別為6 mm,8 mm,10 mm的彈性桿進行實驗探究(圖3)．

圖3 實驗器材

實驗儀器主要有鐵架臺、蝴蝶鉗、不同直徑的彈性桿、透明魚線、小鐵球、小鐵架臺、臺虎鉗、手機等．實驗裝置實物圖,如圖4所示．

圖4 實驗裝置圖

2 實驗步驟

搭建實驗裝置,使用魚線將彈性桿固定在大鐵架臺上,保證彈性桿平行于地面．將臺虎鉗固定在小鐵架臺上,通過調整臺虎鉗的位置和高度控制擺球釋放的方位角．使用手機俯視拍攝1 min徑向擺運動軌跡視頻．分別改變釋放時的方位角、彈性桿直徑、彈性桿長度、徑向擺擺長,錄制不同情況下徑向擺的運動軌跡．將視頻導入Tracker軟件進行分析處理(圖5),獲得徑向擺運動軌跡,去除擺球釋放前的視頻片段,以2幀為間隔追蹤擺球運動位置,分析釋放后50 s內擺球的運動(約700個位點)．將Tracker軟件中小球的軌跡數據導出,使用繪圖軟件Origin繪制小球的運動軌跡,并計算徑向擺的轉化時間T．

圖5 Tracker軟件數據分析圖

3 實驗結果與討論

3.1 徑向擺軌跡與方位角的關系

在桿長L=25 cm,擺長S=45 cm的條件下,當θ=45°時,改變擺球釋放時的方位角Φ(10°,45°,80°),得到徑向擺軌跡并求出每種情況下的轉化時間,結果如表1所示．為更清晰地觀察徑向擺軌跡,取2T內徑向擺的運動軌跡,以Φ=45°和Φ=80°為例,結果如圖6所示．此外,還進一步分析了2T內徑向擺在x軸方向(圖7)和y軸方向(圖8)的衰減情況．

表1 不同方位角Φ下徑向擺轉化時間T(θ=45°)

圖6 不同方位角Φ下2T內徑向擺運動軌跡

圖7 不同方位角Φ下2T內徑向擺x-t圖像

圖8 不同方位角Φ下2T內徑向擺y-t圖像

同樣的,在桿長L=25 cm,擺長S=45 cm的條件下,當Φ=45°時,改變擺球釋放時的方位角θ(10°,45°,80°),得到徑向擺轉化時間T如表2所示．圖9中的(a)、(b)、(c)展示了不同方位角θ下2T內徑向擺的運動軌跡．同理圖10和圖11分別展示了不同方位角θ下2T內徑向擺在x軸方向和y軸方向的衰減情況．

表2 不同方位角θ下徑向擺轉化時間T(Φ=45°)

圖9 不同方位角θ下2T內徑向擺運動軌跡

圖10 不同方位角θ下2T內徑向擺x-t圖像

圖11 不同方位角θ下2T內徑向擺y-t圖像

實驗中,θ的大小決定了擺球釋放的位置,Φ的大小決定了擺球釋放時的高度,也決定了初始狀態擺球的重力勢能．無論是方位角θ還是方位角Φ,當角度變大的時候,徑向擺轉化時間變短,徑向擺在y軸方向的衰減會明顯加快．

3.2 徑向擺軌跡與彈性桿直徑的關系

在彈性桿桿長L=25 cm,擺長S=45 cm,方位角θ=Φ=45°的條件下,使用直徑d不同的彈性桿(6 mm,8 mm,10 mm),得到不同彈性桿直徑下徑向擺轉化時間T,結果如表3所示．圖12展示了當彈性桿直徑d=8 mm和d=10 mm時2T內徑向擺的運動軌跡．

表3 不同彈性桿直徑d下徑向擺轉化時間T

圖12 不同彈性桿直徑d下2T內徑向擺運動軌跡

實驗結果表明,彈性桿直徑越大,徑向擺的轉化時間越長．實驗中,直徑為6 mm的彈性桿無法讓徑向擺完成徑向擺動的轉化．由于彈性桿的直徑與彈性桿的彈性系數有關,可以推測,若要讓徑向擺完成徑向轉化,彈性桿的彈性系數存在最大臨界值．

3.3 徑向擺軌跡與彈性桿桿長的關系

在彈性桿直徑d=10 mm,擺長S=45 cm,方位角θ=Φ=45°的條件下,改變彈性桿的桿長L(15 cm,25 cm,35 cm),得到不同彈性桿桿長下徑向擺轉化時間T,結果如表4所示．圖13展示了當彈性桿桿長L=25 cm和L=35 cm時2T內徑向擺的運動軌跡．

表4 不同彈性桿桿長L下徑向擺轉化時間T

圖13 不同彈性桿桿長L下2T內徑向擺運動軌跡

實驗結果表明,桿長越長,徑向擺的轉化時間越短．實驗中,桿長為15 cm的彈性桿無法讓徑向擺完成徑向擺動的轉化．因此可以推測,若要讓徑向擺完成徑向擺動的轉化,彈性桿的桿長存在最小臨界值．

3.4 徑向擺軌跡與擺長的關系

在彈性桿直徑d=10 mm,桿長L=25 cm,方位角θ=Φ=45°的條件下,改變徑向擺擺長S(25 cm,35 cm,45 cm),得到不同徑向擺擺長下徑向擺轉化時間T,結果如表5所示．圖14展示了不同徑向擺擺長下2T內徑向擺的運動軌跡．實驗結果表明,徑向擺擺長越長,轉化時間越長．

表5 不同彈性桿擺長S下徑向擺轉化時間T

圖14 不同徑向擺擺長S下2T內徑向擺運動軌跡

4 結束語

本文通過Tracker軟件追蹤了方位徑向擺的運動軌跡,研究了不同方位角的大小、彈性桿直徑、彈性桿長度、徑向擺擺長下方位徑向擺的運動軌跡和轉化時間．結果表明,當方位角θ或者方位角Φ角度變大的時候,徑向擺轉化時間變短;一定范圍內,彈性桿直徑越大,徑向擺的轉化時間越長;一定范圍內,彈性桿桿長越長,徑向擺的轉化時間越短;徑向擺擺長越長,徑向擺轉化時間越長．

綜上所述,方位徑向擺的運動受到多因素影響,該結論為未來進一步探究各因素與方位徑向擺運動的定量關系提供參考．