基于分子干涉函數的光子-原子相干散射截面計算方法研究

徐 寧,祖鐵軍,曹良志,吳宏春

(西安交通大學 核科學與技術學院,陜西 西安 710049)

光子在核能系統中有著重要的應用。在核反應堆釋熱計算[1]和輻射屏蔽計算[2]中需要考慮光子影響,同時,在材料無損檢測和醫學散射成像領域,X射線衍射也有著重要應用[3]。X射線衍射的基本物理原理為光子與物質發生相干散射,為了實現對于X射線衍射過程的數值模擬,需要提供精確的光子-原子相干散射截面。

光子與原子發生相互作用時,原子核外的電子在電磁場的作用下產生受迫振動,電子的受迫振動會產生一個與入射光子頻率相同的交變電磁場,該交變電磁場會向周圍輻射與入射光子頻率相同的次級光子。由于次級光子頻率相同,且具有固定的相位差,彼此之間會產生相互干涉,因此光子與原子發生的上述相互作用過程稱為相干散射,也稱為瑞利散射。相干散射產生的次級光子與入射光子具有相同的頻率,反應前后光子的能量不會發生改變,僅光子的方向改變,因此相干散射也是彈性散射過程。

傳統的相干散射微分截面計算采用獨立原子形狀因子近似方法[4]修正Thomson散射截面,該方法可精確計算光子動量轉移較大時的相干散射微分截面[5]。當光子動量轉移較小時,采用上述假設會導致相干散射微分截面的計算存在較大偏差,無法準確描述相干散射次級光子的角度分布。因此,對于上述情況光子相干散射微分截面的計算,需要采用更加準確的計算方法。

本文在傳統的獨立原子形狀因子近似的基礎上,通過考慮分子干涉效應將傳統的相干散射微分截面計算方法拓展至光子動量轉移較小的場景,可實現對于全能量段光子相干散射微分截面的準確計算。同時,將修正后的原子形狀因子應用于蒙特卡羅程序,對比分析采用獨立原子形狀因子近似方法和采用分子干涉函數修正后的原子形狀因子對相干散射次級光子角度分布的影響。

1 相干散射截面計算方法

1.1 獨立原子形狀因子近似

光子與1個自由電子的彈性散射截面可由Thomson散射公式表示:

(1)

不同于Thomson散射公式描述的光子與1個自由電子的彈性散射過程,原子核外的電子會受到原子核對核外電子的束縛,不同軌道上的電子能量存在差異,即原子核外的電子存在電子密度分布;同時對于除了氫元素以外的其他元素,其中性原子的原子核外都存在不止1個電子[6]。基于以上兩種原因,無法直接采用Thomson散射公式對相干散射截面進行計算,需要對其進行修正以考慮上述兩個因素的影響。目前,比較常用的修正方法為獨立原子形狀因子近似方法。

對于1個孤立原子,其原子核外電子分布不受其他原子核外電子分布影響,假設其原子核外電子密度分布為球形對稱分布,此時相干散射微分截面可表示為:

(2)

動量轉移x可表示為:

(3)

式中:θ為散射角度;me為電子靜止質量;h為普朗克常數;c為光速;k為以電子靜止能量為單位的入射光子能量;λ為入射光子波長;E為入射光子能量。

采用獨立原子形狀因子近似修正Thomson散射截面僅可考慮孤立原子內部的電子密度分布對相干散射微分截面的影響,忽略了分子內干涉效應和分子間干涉效應對相干散射微分截面的影響?；讵毩⒃有螤钜蜃咏品椒ㄓ嬎惴肿拥南喔缮⑸湮⒎纸孛鏁r只需要對分子中各原子的微分散射截面按照核子密度加權即可[7]。

(4)

該近似方法僅適用于當光子動量轉移較大時的相干散射微分截面計算,當光子動量轉移較小時,忽略分子內和分子間干涉效應將會對相干散射次級光子角度分布的計算精度產生影響。

1.2 分子干涉函數計算

分子干涉效應可分為分子內部干涉效應和分子間干涉效應。對于分子內部干涉效應可采用Debye公式計算?？紤]分子內部干涉效應的原子形狀因子為:

(5)

式中:FDebye(x)為采用Debye公式計算的原子形狀因子;fj(x,Zj)為元素j的獨立原子形狀因子;rij為分子內元素i和j之間的距離。

對于分子間干涉效應一般采用分子干涉函數進行修正,分子干涉函數S(x)[8]可表示為:

(6)

式中,sij(x)為局部分子干涉函數。

在已知分子結構的情況下,局部分子干涉函數可通過分子動力學模擬進行計算[9]。

(7)

式中:ρ0為原子數密度,即單位體積內的原子數;gij(r)為徑向分布函數,表示在1個參考原子i周圍距離為r處,原子類型為j的原子在dr厚度的球殼內的局部密度相對于參考原子數密度的比值。

考慮分子內部干涉效應和分子間干涉效應的原子形狀因子F(x)可表示為:

F(x)=

(8)

采用式(8)計算得到的原子形狀因子修正Thomson散射截面可以得到考慮分子干涉效應的光子-原子相干散射微分截面:

(9)

1.3 分子干涉效應在蒙特卡羅程序中的實現

在蒙特卡羅程序中,相干散射微分截面[10]可表示為:

(10)

式中:p(μ)為相干散射次級光子角度分布;re為電子半徑。

為了獲得合適的概率密度分布,將式(10)中對μ的微分轉化為x2的微分:

(11)

由式(11)可知,在蒙特卡羅程序中進行相干散射模擬時,需要光子-原子ACE格式數據庫中提供的獨立原子形狀因子f(x,Z)和積分原子形狀因子A(x2,Z)?；讵毩⒃有螤钜蜃咏朴嬎愕姆e分原子形狀因子可表示為:

(12)

當考慮分子干涉效應時,需要利用分子干涉函數對原子形狀因子進行修正,考慮分子干涉函數的原子形狀因子可表示為:

F2(x,Z)=S(x)f2(x,Z)

(13)

將考慮分子干涉效應的原子形狀因子代入式(10)和式(11)可得到考慮分子干涉效應的原子形狀因子FMI(x,Z)和積分原子形狀因子AMI(x2,Z):

(14)

(15)

基于式(14)和式(15)對ACE格式數據庫中需要的原子形狀因子和積分原子形狀因子進行計算,得到考慮分子干涉效應的光子-原子ACE格式數據庫。

2 數值結果與驗證

2.1 分子干涉函數計算

對于結構參數已知的分子,其分子干涉函數可通過分子動力學模擬程序進行計算。本文分別針對水分子和乙醇分子進行分子動力學模擬,獲得各原子之間的徑向分布函數,其中,水分子采用TIP4P/2005模型[11],乙醇分子采用Loren William模型[12]。對于水分子和乙醇分子在模擬過程中均采用OPLS-AA力場,利用GROMACS分子動力學程序[13]分別對水分子和乙醇分子進行模擬,獲得水分子和乙醇分子各原子間的徑向分布函數,如圖1所示。

圖1 水分子(a)和乙醇分子(b)中各原子間的徑向分布函數Fig.1 Radial distribution function of water (a) and ethanol (b)

基于圖1計算得到的水分子和乙醇分子的徑向分布函數,利用式(7)可計算得到水分子和乙醇分子的局部分子干涉函數,如圖2所示。最后,對局部分子干涉函數進行加權計算,可得到水分子和乙醇分子的分子干涉函數,如圖3所示。其中,將水分子的分子干涉函數模擬結果與實驗測量結果[14-18]進行對比,可看出基于分子動力學模擬獲得的水分子的分子干涉函數與實驗測量結果吻合較好,可以用于修正獨立原子形狀因子,獲得考慮分子干涉效應的原子形狀因子。

圖2 水分子(a)和乙醇分子(b)的局部分子干涉函數Fig.2 Partial molecular interference function of water (a) and ethanol (b)

圖3 水分子(a)和乙醇分子(b)的分子干涉函數Fig.3 Molecular interference function of water (a) and ethanol (b)

將模擬計算得到的水分子和乙醇分子的分子干涉函數分別修正,基于獨立原子形狀因子近似方法給出的水分子和乙醇分子中各元素的原子形狀因子,可得到上述兩種分子中各元素考慮分子干涉效應的原子形狀因子,如圖4、5所示。

圖4 水分子中H元素(a)和O元素(b)基于獨立原子形狀因子近似和考慮分子干涉效應的原子形狀因子Fig.4 Independent atomic form factor approximation and atomic form factor modified by molecular interference effect of H (a) and O (b) elements of water

圖5 乙醇分子中C元素(a)、H元素(b)和O元素(c)基于獨立原子形狀因子近似和考慮分子干涉效應的原子形狀因子Fig.5 Independent atomic form factor approximation and atomic form factor modified by molecular interference effect of C (a), H (b) and O (c) elements of ethanol

2.2 分子干涉效應對相干散射角度分布的影響分析

為了驗證分子干涉效應對相干散射角度分布的影響,本文分別制作了采用獨立原子形狀因子近似和考慮分子干涉效應的光子-原子ACE格式數據庫,利用蒙特卡羅程序對圖6所示裝置進行了模擬,并對水和乙醇的成像效果進行了對比分析。圖6裝置中的光子源S采用管電壓為100 kV的X射線管,其光子源能譜如圖7所示,光子源距離樣品中心的距離SAD為100 cm,光子源距離探測板W的距離SDD為153.6 cm,樣品為0.5 cm×0.5 cm×0.5 cm的立方體,探測板寬度為41 cm[19]。

圖6 成像裝置示意圖[19]Fig.6 Illustration of imaging geometry[19]

圖7 光子源能譜Fig.7 Spectrum of photon source

圖8示出采用獨立原子形狀因子近似和考慮分子干涉效應的水分子散射成像模擬結果與Poludniowski等[19]計算結果的對比。由圖8可看出,基于本文計算得到的分子干涉函數計算得到的水分子成像結果與Poludniowski等的計算結果吻合較好。通過圖8的對比分析可發現,考慮分子干涉效應模擬得到的水分子散射成像在光子動量轉移較小時與采用獨立原子形狀因子近似模擬得到的結果存在明顯的差異。對于光子與水分子散射成像結果可看出,考慮分子干涉效應會導致相干散射的前向散射顯著減少。圖9示出本文模擬得到的乙醇分子的散射成像模擬結果,由圖9的結果對比可得出與水分子散射成像模擬相同的結論,即考慮分子干涉效應時,相干散射的前向散射明顯減少。

圖8 采用獨立原子形狀因子近似(a)和考慮分子干涉效應(b)的水分子響應信號對比Fig.8 Comparison of scattering image of water using independent atom form factor approximation (a) and molecular interference effect (b)

圖9 采用獨立原子形狀因子近似(a)和考慮分子干涉效應(b)的乙醇分子響應信號對比Fig.9 Comparison of scattering image of ethanol using independent atom form factor approximation (a) and molecular interference effect (b)

3 結論

本文介紹了基于獨立原子形狀因子近似的傳統相干散射截面計算方法,同時為了實現對于X射線衍射的數值模擬,本文介紹了考慮分子干涉效應的相干散射截面計算方法。基于分子動力學模擬獲得了水分子和乙醇分子的分子干涉函數,對光子-原子ACE格式數據庫中相應數據進行了修正,并利用蒙特卡羅程序對水分子和乙醇分子的散射成像效果進行了數值模擬。數值結果顯示,對于水分子和乙醇分子,考慮分子干涉效應會導致光子的前向散射顯著減少。