基于自助法的弧齒錐齒輪齒面修正

趙巖，李聚波，2，王松林，蘇建新，2，李天興，2，蔣闖，2

(1.河南科技大學機電工程學院，河南洛陽 471003；2.機械裝備先進制造河南省協同創新中心，河南洛陽 471003)

0 前言

弧齒錐齒輪廣泛應用于相交軸的機械傳動系統中，其齒面精度直接影響齒輪的性能。所以需要在生產過程中提升其加工精度，從而更好地促進機械性能的提升，實現生產效率的提高[1]。齒面形狀誤差直接影響接觸路徑從而影響齒輪的嚙合質量[2]，所以誤差的修正十分重要。

近年來，國內外學者針對齒面修正進行了深入研究。LI等[3]通過研究發現準雙曲面齒輪齒面偏差的修正和數據處理是實現數字化閉環制造的關鍵環節。李聚波等[4]以分度理論為基礎，分析了大型齒輪成型磨削時，分度機構的工作原理和分度誤差產生的原因，并通過試驗驗證了分度誤差理論分析的正確性。楊建軍等[5]以完全共軛大輪為基準面，提出一種大輪差齒面曲率修正構建方法。GE[6]研究了機床調整參數誤差對雙螺旋法加工的螺旋錐齒輪齒面誤差的影響，通過實例驗證了誤差齒面的修正效果。上述相關研究已經廣泛應用于企業的生產中。

自助法是由EFRON[7]于1979年在HUBBACK、MAHALANOBIS、SIMON 等的思想之上創造的以簡單再抽樣與自助分布為主導方向的方法。對于小樣本數據的集合，自助法的效果明顯。自助法的應用非常廣泛，且已形成一套完整的理論。ANTAL、TILLé[8]對經典自助法方法中沒考慮到的問題進一步分析，對比其他估計方法與自助法進行參數估計。時保吉[9]用自助法對軸承溫度數據進行區間預測，預測結果表明溫度預測區間幾乎包含所有實驗值，誤報率小、精度高。肖支才等[10]借助無先驗性的實際觀測數據，與目前自助法常用的2種抽樣方式在優劣性上進行對比。越來越多的學者將自助法應用于其他領域，但是在齒輪齒面偏差方面的應用較少[11-12]。本文作者提出一種基于自助法的齒面偏差修正方法，利用自助法對小樣本分析來預測整體趨勢，通過分析齒面上單個點的誤差，進而統計出齒輪齒面上整體誤差趨勢，為齒面偏差的修正提供基礎。

1 自助法修正原理

在弧齒錐齒輪的設計優化過程中，一般要進行齒面接觸分析(Tooth Contact Analysis，TCA)后確定齒面展成的理論最佳機床調整參數[13]。在齒輪的加工過程中，由于誤差的存在，導致齒輪在使用時無法達到預期效果。在實際生產過程中，加工齒面和理論設計齒面間的誤差會被修正，確保二者在幾何結構上趨于相同的位置，所以利用自助法齒面偏差預控修正理論減小齒面誤差非常重要。

自助法修正原理為：選取實際齒面測量數據點，得到各測量點的自助樣本均值，采用NURBS方法進行曲面擬合構建齒面均值差曲面，得到實際加工齒面。在此基礎上，建立實際齒面和理論設計齒面的關系，進行齒面的數字化預控修正補償，得到機床加工參數預控修正量。通過不斷修正機床調整參數，使實際加工齒面與理論設計齒面逐步靠近，當齒面偏差達到最小時，得到的齒面為最優實際加工齒面。修正的最終結果就是得到與理論設計齒面最優逼近的實際加工齒面。圖1所示為齒面偏差修正映射關系。

圖1 齒面偏差修正映射關系

rR(u,v)=rL(φ,θ;Φj)+δnL(φ,θ;Φj)

(1)

rD(u,v)=rL(φ,θ;Φj)-δnL(φ,θ;Φj)

(2)

式中：rL為HL(理論設計齒面)上齒面點的徑矢；φ、θ為設計變量；δ為均值差曲面所論點的偏差值；nL為HL上齒面點的法矢；u、v(0≤u,v≤1)為曲面重構參數；rR為HR(實際加工齒面的均值差曲面)上齒面點的徑矢；rD是齒面點沿法矢nL所在方向映射于HD(HR關于HL的對稱曲面)上的徑矢。

由式(1)和式(2)得到修正齒面徑矢的表達式為

rD(u，v)=rR(u，v)-2δnL(φ，θ；Φj)

(3)

通過分析圖1所示的齒面偏差映射關系，得到齒面偏差表達式：

δi(φi,θi;Φj)=(HL(φi,θi;Φj)-HR(ui,vi))×

nL(φi,θi;Φj)

(4)

理論機床加工參數為Φj(j=1,2,…,m),m表示機床參數個數。齒面偏差δi(i=0,1,…,45),i表示齒面被測點的個數。

通過不斷調整機床加工參數的修正值，使理論設計齒面向實際加工齒面逐步靠近。在此過程中，齒面偏差不斷減小，當齒面偏差充分小時，得到一組機床加工參數修正值。此時得到的機床參數修正值與理論最佳機床調整參數相加就是實際加工齒面時所對應的機床調整參數[14]。由于齒面偏差的影響，“修正齒面”無法與實際加工齒面完全重合，但是能夠保證它在齒面精度要求范圍內滿足實際工程需求。

2 實際加工齒面重構

2.1 NURBS曲面

曲面重構的常用方法有Bezier方法、B-spline方法和NURBS方法等。NURBS曲面擬合方法具有C2連續性及在縮放、旋轉、平移等坐標系下數學表達式保持不變的優點，所以，文中采用NURBS曲面擬合方法來重構弧齒錐齒輪的實際加工齒面。NURBS曲面是基于 NURBS曲線的張量積形式，也是B樣條曲面的擴展[15]，其定義為

(5)

式中：n、m分別為u向和v向控制頂點個數；Ni，k(u)、Nj，l(v)分別為u、v方向的B樣條基函數，k和l分別表示u向和v向B樣條基的次數；Vi，j為曲面控制頂點；Wi，j為權因子。

2.2 NURBS基函數

NURBS基函數的求取是一個遞推的過程，其基函數的遞推公式為

(6)

式中：Ni，k(u)中i表示基函數的序號，k表示次數，u為節點。根據基函數遞推公式可以得到各個基函數的值。根據NURBS曲線的數學定義，采用3次NURBS曲線擬合能夠滿足實際工程的需要。

3 應用實驗

3.1 齒面偏差檢測

大、小齒輪在數控銑齒機上進行批量銑齒后，在克林貝格齒輪測量儀P65上使用多功能3D掃描測頭對20組大、小輪進行齒面偏差測量。以小齒輪為例，其測量過程和測量結果如圖2、3所示。

圖2 小輪齒面偏差測量過程

圖3 修正前小輪齒面偏差測量結果

3.2 自助法齒面偏差修正

傳統方式分析齒輪齒面偏差時，往往會使用大量的樣本數據，然后通過大量的實驗尋找偏差變化趨勢；而自助法只需要從整體樣本數據中隨機抽取少量樣本數據進行分析。

通過測量實際齒面獲得小輪凸面數據點，選取小輪凸面上的20組數據，每組包含225個元素點，如表1所示。以表1中數據作為型值點，依據NURBS曲線擬合方法進行曲面擬合，得到小輪凸面造型，如圖4所示，然后根據擬合得到的小輪凸面構建均值差曲面，如圖5所示。

表1 小輪凸面樣本數據

圖4 小輪凸面擬合曲線

圖5 小輪均值差曲面

對于采用NURBS齒面重構后的小輪凸面，在齒面上隨機選取點1(第4行第3列)和點2(第11行第8列)進行局部放大且放大比例相同。整個過程中始終保持理論設計曲面和實際均值差曲面的間隔不變。兩者的誤差關系表明：通過自助法統計擬合得到的小輪凸面能夠作為實際加工齒面進行分析。

4 試驗分析

通過分析圖4所示齒面均值差曲面，得到曲面偏差的變化關系。根據均值差曲面描述的齒面偏差修正變化關系和齒面偏差表達式(4)進行小輪的預控補償修正，得到小輪的預控補償修正參數如表2所示。

表2 機床加工參數預控修正量

根據機床補償修正參數，在數控銑齒機上進行了小輪的修正銑齒試切，并按照同樣的方法進行齒面偏差檢測。修正后小輪的齒面偏差檢測結果如圖6所示。

圖6 修正后小輪齒面偏差測量結果

通過對比圖3、6可以看出：小輪總體齒面偏差經過預控補償后得到了有效降低，偏差值變化如表3所示。

表3 修正前后小輪齒面偏差值對比 單位：μm Tab.3 Comparison of pinion tooth surface deviation values before and after correction Unit：μm

由表3可知：修正前后齒面偏差值在凸面小端齒根處變化量最大，由修正前的-84.6 μm降到了修正后的-29.1 μm，變化量為55.5 μm。小輪齒面誤差各點平方和從修正前的0.461 1 mm2下降到0.107 6 mm2，降低了76.66%，且齒面偏差變化趨勢相對于補償修正前較為平緩，驗證了自助法齒面偏差預控修正理論的有效性。

5 結論

文中采用自助法對齒面偏差進行優化求解，運用NURBS曲面擬合方法重構實際加工齒面，并對修正前后的齒面偏差測量結果進行對比分析。研究結果表明：

(1)提出基于自助法的齒面偏差修正方法，得到了齒面預變形模型，確定了齒面偏差變化關系，得到機床加工參數的預控修正量，進而實現對齒面偏差的修正，為齒面加工參數修正提供了理論依據。

(2)經小輪的試驗驗證可知：利用自助法修正原理對齒面修正后，齒面偏差得到有效降低。