變、行、計：小學(xué)數(shù)學(xué)估算教學(xué)“新視界”

南京師范大學(xué)附屬小學(xué)（210008） 鄧 云

估算是人們在日常生活中廣泛運用的一種高效的粗略計算方法。它基于數(shù)感、生活實踐經(jīng)驗和計算經(jīng)驗，旨在對一些無法或無須進(jìn)行精確測量和計算的數(shù)量進(jìn)行粗略估計，并對數(shù)量關(guān)系做出合理推斷。估算在學(xué)習(xí)和生活中都有廣泛應(yīng)用，無論是制訂暑假作業(yè)計劃，還是確定修建大橋所需建筑材料的數(shù)量，估算都扮演著重要角色。因此，學(xué)生估算能力的培養(yǎng)勢在必行。

一、內(nèi)容定位之“新”：明估算教學(xué)之“變”，踩準(zhǔn)估算教學(xué)著力點

關(guān)于估算，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱《2011 課程標(biāo)準(zhǔn)》）和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》）都指出，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須結(jié)合理論學(xué)習(xí)和實踐經(jīng)驗，重視估算在數(shù)學(xué)教學(xué)的重要作用。但估算在《2011 課程標(biāo)準(zhǔn)》和《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》中所屬的內(nèi)容板塊和相關(guān)要求又有著明顯的變化（見表1）。

表1 《2011課程標(biāo)準(zhǔn)》和《2022課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于估算的內(nèi)容

從表1 可以看出，對于估算的內(nèi)容，《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》除了要求內(nèi)容在學(xué)段上更加細(xì)化，新增了具體的學(xué)業(yè)要求和教學(xué)提示，最明顯的一個變化是將估算從“數(shù)的運算”板塊劃入了“數(shù)量關(guān)系”板塊。對估算做出這樣的調(diào)整，體現(xiàn)了以下幾點導(dǎo)向。

（一）估算應(yīng)用的場域之“變”

《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》將估算放入了“數(shù)量關(guān)系”板塊，并強(qiáng)調(diào)估算教學(xué)需要借助真實問題情境。這意味著估算不僅僅是一種運算方法，涉及估算的題型也從簡單的比較大小擴(kuò)充到解決綜合的實際問題。這要求學(xué)生調(diào)動分析問題的能力，利用估算和相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系解決更復(fù)雜的真實情境中的問題。因此，《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》突出了估算應(yīng)用的場域之“變”，即通過緊密聯(lián)系真實生活情境，調(diào)動學(xué)生解決問題的綜合能力。因此，將估算納入數(shù)量關(guān)系板塊似乎更具有意義。

（二）估算應(yīng)用的聯(lián)結(jié)之“變”

對于估算，《2011 課程標(biāo)準(zhǔn)》和《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》都提到“選擇合適的單位進(jìn)行簡單估算”。這讓筆者想到“數(shù)的一致性”的本質(zhì)是計數(shù)單位的累加，如10×1=100×0.1=1000×=10。進(jìn)一步地，筆者又想到乘法數(shù)量關(guān)系“份數(shù)×每份的數(shù)量=總量”，就像總量固定時，計數(shù)單位的累加次數(shù)取決于計數(shù)單位的大小，而乘法數(shù)量關(guān)系中份數(shù)的多少則取決于每份數(shù)量的大小。在估算中，對數(shù)量的估計也必然取決于選取的單位大小。如果單位較大，估計的數(shù)量就會較??；如果單位較小，估計的數(shù)量就會較大。這些都符合乘法數(shù)量關(guān)系。下面就以一個教學(xué)案例來說明。

【案例1】抓豆子（如圖1）

圖1

師：我今天準(zhǔn)備了一些豆子，想讓大家來估一估有多少粒。這是一碗蠶豆，請一位小朋友來抓一抓和數(shù)一數(shù)。

（教師指導(dǎo)學(xué)生抓的標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)的方法，生1 抓一把蠶豆并得出準(zhǔn)確數(shù)據(jù)。）

師（出示蠶豆、花生、黃豆）：請比較它們的大小。

師（請生1 抓一把花生，如圖2-1 所示）：生1 抓了多少粒花生？

圖2-1

（學(xué)生猜完后，讓生1攤開手，如圖2-2所示。）

圖2-2

師：現(xiàn)在請估一估生1抓了多少?；ㄉ?。

生2：十幾?；ㄉ?/p>

師：為什么比生1抓的蠶豆數(shù)量多呢？

生3：因為花生比蠶豆小。

師：如果生1 抓一把黃豆，你覺得他能抓多少粒？

生4：三十幾粒。

師：為什么比生1抓的花生數(shù)量多呢？

生5：因為黃豆比花生要小，每粒黃豆占的空間比每粒花生占的小，所以黃豆數(shù)量會比花生多。

師：你們說的都非常棒！你們的感覺準(zhǔn)不準(zhǔn)呢？抓一把黃豆到底能抓多少粒呢？……

這是一年級數(shù)學(xué)下冊“綜合與實踐”的“我們認(rèn)識的數(shù)”的教學(xué)片段，可以看出，雖然學(xué)生還沒有接觸到估算，但他們在估計一把豆子的數(shù)量時已經(jīng)運用了以往的生活經(jīng)驗，使用了“豆子數(shù)量×1 粒豆子的體積=1 只手容納豆子的體積”的乘法數(shù)量關(guān)系，知道“每粒豆子的體積越小，能抓起的豆子數(shù)量就越多”。此外，《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》給出的例18（如圖3）中使用了估算來解決實際問題，應(yīng)用了加法模型“分量+分量=總量”。由此可見，《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》更加突出了估算與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)結(jié)。估算與數(shù)量關(guān)系是密不可分的，依托于數(shù)量關(guān)系，能更好地解釋如何進(jìn)行估算和計算。因此，將估算納入數(shù)量關(guān)系板塊更加合情合理。

圖3

（三）估算應(yīng)用的效能之“變”

《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)提示中提到了數(shù)量關(guān)系的教學(xué)：在具體情境中，利用加法或乘法表示數(shù)量之間的關(guān)系，建立加法模型和乘法模型，知道模型中數(shù)量的意義。估算的重點是解決實際問題。相比以往將估算放入“數(shù)的運算”中，現(xiàn)在的調(diào)整更突出了估算應(yīng)用的效能之“變”，即將估算作為數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的一個生長點，能使數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)更加具有系統(tǒng)性，更能通過估算教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的模型思想和應(yīng)用意識。

通過以上對《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》中估算教學(xué)變化的分析，可以幫助教師踩準(zhǔn)估算教學(xué)的著力點：在估算教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生對具體情境進(jìn)行分析，選擇合適的單位，并運用相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行估算，從而解決實際問題。此外，教師還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生清晰描述估算過程的能力，而不僅僅是簡單地教給他們估算的方法和技巧。

二、匡正誤區(qū)之“新”：辨估算教學(xué)之“行”，彌補(bǔ)估算教學(xué)不足

根據(jù)《2022 課程標(biāo)準(zhǔn)》，筆者收集了估算教學(xué)的一些成功案例，也總結(jié)了一些當(dāng)前存在的教學(xué)誤區(qū)。希望通過對比這些案例和誤區(qū)，能幫助教師在今后的估算教學(xué)中避免教學(xué)偏差，走上一條正確的通往核心素養(yǎng)培養(yǎng)的估算教學(xué)之路。

（一）“行”之范式

【案例2】設(shè)計運輸方案（如圖4）

圖4

師：像此類設(shè)計運輸方案的問題，首先應(yīng)該考慮什么呢？

生1：要考慮滿足2 個條件，一是要使運費最少，二是要盡可能保證每輛車都裝滿不浪費。

師：你考慮得很周全。確實如你所說，同時滿足這2 個條件的方案才是最優(yōu)方案。那么如何使運費最少呢？

生2：哪種車載每噸沙子的運費最少就盡量多用這種車，這樣就最劃算。

師：如何判斷哪種車載每噸沙子的運費最少？

師（出示4種學(xué)生的做法，如圖5所示）：比較這幾種做法，你更喜歡哪種？為什么？

圖5

生3：我喜歡第2種，因為第2種方法最簡便。

生4：第2 種方法不適用于所有的題目。我喜歡第4 種，它只需要簡單地估算就能比較出用哪種車最便宜。

生5：我也喜歡第4種，我真佩服這位同學(xué)能想出這種好方法。根本不用費腦子算，與10 比較一下就能選出運費最低的車子了。

在該教學(xué)案例中，教師對于估算教學(xué)的引導(dǎo)非常到位，在信息量較多的情況下首先幫助學(xué)生分析問題情境，厘清最優(yōu)設(shè)計的思路，并引導(dǎo)學(xué)生找出解決問題的關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系，然后讓學(xué)生自主解決問題。在這個過程中，不同學(xué)生展現(xiàn)了不同的思維水平和解題方法：有學(xué)生采用了精確計算的方法，他在計算過程中更加注重精確性；有學(xué)生展現(xiàn)出了較強(qiáng)的數(shù)感，但方法存在一定的漏洞；有學(xué)生采用了估算的方法，并巧妙地選取“10”為比較對象，使得解題過程更加簡潔高效。從學(xué)生的反饋來看，他們也在這樣的教學(xué)中感受到了用估算解決實際問題的“鮮活”和“靈動”。因此，正確、活躍而靈活的估算教學(xué)對于學(xué)生估算意識的覺醒、思維水平的發(fā)展和提升核心素養(yǎng)都具有促進(jìn)作用。

（二）“行”之偏差

在實際的教與學(xué)中，盡管教師非常重視估算教學(xué)，并且學(xué)生也意識到估算的價值和意義，但學(xué)生在估算學(xué)習(xí)方面的效果卻不佳，經(jīng)常出現(xiàn)各種問題。

1.無視問題情境，將“大約”視為估算

在平時的作業(yè)和練習(xí)中，一些學(xué)生只要看到問題中有“大約”這個詞，就會條件反射地想到使用估算方法，而不管實際上是否需要估算。另外，他們還傾向于對最終的結(jié)果進(jìn)行四舍五入處理。

如圖6 所示的問題實際上并不屬于估算的題目，這里的“大約”僅僅是因為草坪不是規(guī)整的平行四邊形，而是近似平行四邊形，所以在算鋪草坪費用時才用到了“大約”，旨在突出數(shù)學(xué)問題表達(dá)的準(zhǔn)確性。

圖6

但有些學(xué)生卻受到思維定式的影響，看到“大約”就要用估算，這是不可取的。教師在估算教學(xué)中要時刻引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會辨析問題情境，根據(jù)題意靈活運用估算，注意區(qū)分需要和不需要用到估算時的兩種“大約”的不同含義。

2.數(shù)感量感薄弱，瞎估亂估

良好的數(shù)感和量感能幫助學(xué)生選擇合適的單位，從而進(jìn)行準(zhǔn)確的估算，順利解決問題。然而，在一些數(shù)與量的教學(xué)中，如果因為組織教學(xué)難度大、教學(xué)時長不夠、教具不足等原因，而未給予學(xué)生親身感知數(shù)與量大小、數(shù)量的機(jī)會，會導(dǎo)致許多學(xué)生在進(jìn)行估算時容易瞎估亂估，無法順利解決問題。例如，教學(xué)“1平方米”時，如果只是讓學(xué)生了解1平方米的大小是以1 米為邊長的正方形面積的大小，卻未組織學(xué)生親自去圍一圍、鋪一鋪，大部分學(xué)生對于1 平方米的大小的感知仍然是比較匱乏的。因此，當(dāng)遇到類似“100 個學(xué)生做廣播操大約需要多少面積的場地？”這樣的問題時，學(xué)生就無法準(zhǔn)確清晰地感知和估算。長此以往，學(xué)生的數(shù)感和量感無法建立起來，他們就無法準(zhǔn)確選擇合適的單位，只能盲目地進(jìn)行估算，導(dǎo)致估算教學(xué)變得困難重重。

還有一些學(xué)生在舉例時可能比較隨意，舉一些不恰當(dāng)?shù)?、不符合實際情況的例子（見案例3），如果教師聽之任之，同樣不利于學(xué)生數(shù)感、量感的培養(yǎng)和建立。

【案例3】

師（出示圖7）：你認(rèn)為應(yīng)該選哪個？為什么？

圖7

生1：選D。因為雖然五（1）班的平均體重比五（2）班的重，但也有可能五（1）班劉曉的體重是1 kg，五（2）班李軍的體重是100 kg；或者他們倆的體重都是50 kg；或者劉曉的體重是100 kg，李軍的體重是1 kg。因此，選項A、B、C都不對，只能選D。

師：你們贊同生1 的說法嗎？（大部分學(xué)生表示贊同，少部分學(xué)生發(fā)出質(zhì)疑的聲音）看來有同學(xué)對生1的回答存在質(zhì)疑。

生2：我贊同，但是生1舉的例子不太恰當(dāng)。因為不可能有同學(xué)的體重是1 kg，體重是100 kg 的可能性也極小。如果拿體重舉例子的話，25 kg~50 kg是比較合適的。

可以看出，生2 的數(shù)感、量感和生活經(jīng)驗非常出色，因此他的回答更加準(zhǔn)確和嚴(yán)謹(jǐn)。而生1 的數(shù)感不一定不好，他可能是為了突出問題而選擇了極端的數(shù)據(jù)。然而，數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性很強(qiáng)的學(xué)科，對于那些需要突出學(xué)生數(shù)感和量感的問題，教師應(yīng)該盡可能引導(dǎo)學(xué)生貼近實際生活舉例，而不是憑空捏造數(shù)據(jù)或無根據(jù)地進(jìn)行瞎估亂估，這樣才能在日常的課堂教學(xué)中使學(xué)生潛移默化地建立準(zhǔn)確的數(shù)感和量感。

3.僅關(guān)注結(jié)果，以算代估、先算再估

學(xué)生在解決問題時常常出現(xiàn)“假估”的現(xiàn)象，例如以算代估或者先計算出精確值再進(jìn)行估算。這種解題思路并沒有充分展現(xiàn)出估算的思想、方法和過程。出現(xiàn)這種現(xiàn)象可能有以下幾個原因。首先，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生主要接觸精確計算，思維定式的影響使得學(xué)生更傾向于相信精確計算的結(jié)果，而對估算持有不確定、不敢用、不信任的態(tài)度，因此更傾向于追求精確計算而非估算。其次，學(xué)生缺乏對估算意義的理解，不清楚估算的優(yōu)勢在哪里，缺乏對估算這種思想方法的深刻認(rèn)識。最后，估算對學(xué)生的數(shù)感要求較高，導(dǎo)致學(xué)生面對估算時會退縮，甚至不再關(guān)注。

因此，在進(jìn)行估算教學(xué)時，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生是否真正進(jìn)行了估算，確認(rèn)學(xué)生是“先估后算”，關(guān)注學(xué)生估算過程和思考的路徑，這樣學(xué)生的估算能力和應(yīng)用意識才能得到培養(yǎng)。

三、教學(xué)策略之“新”：探估算教學(xué)之“計”，尋求估算教學(xué)多條途徑

（一）豐富活動經(jīng)驗，培養(yǎng)數(shù)感與量感

數(shù)感和量感是估算教學(xué)的基礎(chǔ)。在估算教學(xué)中，教師應(yīng)該在課堂上組織豐富的觀察比較、動手實踐和操作活動，讓學(xué)生親身感受數(shù)和量的大小和多少。例如，教學(xué)長度單位時，讓學(xué)生選取合適的單位后先估算再測量課桌的高度、學(xué)校到家的距離等；教學(xué)質(zhì)量單位時，讓學(xué)生先估算1 千克雞蛋、蘋果等大約有多少個再實際稱量；教學(xué)面積單位時，讓學(xué)生先制作1 平方米大小的圖形，再估算教室、操場等的面積。通過將實際測量的結(jié)果與之前的估算結(jié)果進(jìn)行比對，能夠重塑學(xué)生對數(shù)量大小的感受，進(jìn)一步形成數(shù)感。在這個教學(xué)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在對單位大小的感受上進(jìn)行明確估算，而不是無根據(jù)地瞎估或亂估。

數(shù)感和量感的培養(yǎng)是一個漸進(jìn)的過程，貫穿整個小學(xué)階段，這是一個需要持之以恒的過程。只有通過多樣化的教學(xué)方法和實踐活動，才能幫助學(xué)生建立起對數(shù)和量的敏感性和準(zhǔn)確感，從而提升他們的估算能力和應(yīng)用意識。

（二）總結(jié)估算方法，提升估算技能

針對學(xué)生容易先算后估或以算代估而導(dǎo)致的“假估”的問題，教師要讓學(xué)生熟練掌握各種估算方法或技巧，這樣才能在解決問題時讓估算“真發(fā)生”。估算方法的學(xué)習(xí)分布廣、跨度大，每當(dāng)教學(xué)一種新的估算方法時，教師都要指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合以往的方法做出比較、歸納總結(jié)，從而讓學(xué)生系統(tǒng)螺旋上升式總結(jié)估算方法，靈活掌握估算技能。目前常用的估算方法有以下幾種。

1.近似取整

在計算時進(jìn)行估算，一定是先估后算，其中常見的一種方式是將數(shù)據(jù)估算為整十或整百數(shù)，然后進(jìn)行計算。例如，對于“28×7”，一般會將28 估算為30 后進(jìn)行計算，得到的乘積近似等于210。類似地，對于“827+199”，簡便計算的操作是“827+200-1”，這個方法中也蘊含著近似取整估算的思想。

2.以小見大

當(dāng)要估算一個較大的數(shù)量時，可以將其先分解成小部分進(jìn)行估算。例如，要估算一個學(xué)校有多少名學(xué)生，就可以通過一個班的學(xué)生人數(shù)來進(jìn)行估算等。

3.概括規(guī)律

整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)中有很多規(guī)律（見表2），可以幫助學(xué)生快速地估算和判斷結(jié)果是否正確。

表2 整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的估算規(guī)律

4.估、算結(jié)合

筆算、估算都是計算方法，若學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能有機(jī)結(jié)合使用，無疑會提高解題的效率及準(zhǔn)確率。教師在設(shè)計計算練習(xí)時，一方面，可以讓學(xué)生在精算前運用估算對結(jié)果進(jìn)行預(yù)測，例如教材中有很多題目設(shè)置的是“不計算，比較下面幾組算式得數(shù)的大小”；另一方面，計算后還可以要求學(xué)生運用估算對結(jié)果進(jìn)行檢驗，例如在學(xué)習(xí)三位數(shù)除以兩位數(shù)時，可以通過估計商的位數(shù)及大小進(jìn)一步檢驗得數(shù)是否正確。

5.聯(lián)系實際

在解決問題時，如果需要使用估算，通常需要考慮實際情況，并從實際出發(fā)得出估算結(jié)果。例如租船、租車等問題，當(dāng)需要租船或租車來容納一定數(shù)量的人時，即使剩下的人無法坐滿一條船或一輛車，仍然需要租一條船或一輛車。類似地，在買衣服或買票等情況下，也需要考慮到多留出一些錢來應(yīng)對可能的額外費用或價格波動，以確保足夠的購買力。

（三）感受估算“魅力”，培養(yǎng)估算興趣

在平時的估算教學(xué)實踐中，估算意識強(qiáng)、估算方法妙、思維水平高的學(xué)生還是有不少的，如案例4。

【案例4】

師（出示圖8）：你選哪個選項？你是怎樣判斷的？

圖8

生1：選A。 因為209×18=3762，299×98=29302，算式乘積一定在3762~29302 之間，所以排除選項C。又因為個位上的8×9=72，乘積的個位數(shù)一定是2，所以排除選項B。

生2：因為乘積的個位數(shù)一定是2，先把選項B排除，再像生1那樣求出乘積最大值29302，最后的得數(shù)一定小于或等于最大值，因此只能選A。

生3：我也是先根據(jù)乘積的個位數(shù)排除選項B，然后根據(jù)“2□9＜300，□8＜100”知道乘積一定小于30000，排除了選項C。只能選A。

師：3 位同學(xué)分別展示了3 種不同的思路與方法。比較這3種方法，你更喜歡哪一種？為什么？

生4：我喜歡生3的方法，因為這個方法不僅好理解，而且算起來比較方便，直接口算就可以了，更簡單一些。我認(rèn)為做這類選擇題不需要精確計算，先進(jìn)行估算會更方便一些。

正如上述案例所描述的那樣，教師要善于利用那些估算意識強(qiáng)的學(xué)生的精彩發(fā)言，抓住這種生成性的教學(xué)資源，突出估算的價值與優(yōu)越性，帶領(lǐng)學(xué)生分析其中運用到的估算方法，讓學(xué)生真正感受到估算的魅力，使他們變“不愿估算”為“喜歡估算”，從而培養(yǎng)學(xué)生的估算意識，提高學(xué)生的估算能力。

（四）挖掘估算素材，提高估算意識

學(xué)習(xí)估算的目的是使其服務(wù)于現(xiàn)實生活。在估算教學(xué)中，教師可以要求學(xué)生在日常生活中有意識地進(jìn)行一些估算活動，挖掘估算的素材。例如，在逛超市時，可以先估算所購商品的總價格。在估算的過程中，學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)一些簡便的估算方法。估算完成后，讓學(xué)生將估算結(jié)果與小票上的實際總價格進(jìn)行對比。生活中處處都有估算的機(jī)會，類似這種將估算活動融入日常生活的做法，有助于培養(yǎng)學(xué)生的估算意識，并促使他們在實際情境中運用估算。

學(xué)生估算意識的形成和估算能力的提升不是一蹴而就的，需要教師每堂課堅持不懈、持之以恒地努力。只有這樣，學(xué)生才能將估算內(nèi)化為一種自覺意識，才會主動運用各種靈活的估算方法解決學(xué)習(xí)和生活中的各種問題。