Schwarz-Christoffel變換及其應用分析

李浩希

（華南理工大學，廣東 廣州 510641）

0 引言

Schwarz-Christoffel 變換在計算復雜多邊形邊界的數值方法中具有重要意義。學者對其進行了深入的研究，對于推動Schwarz-Christoffel 變換的應用具有重要啟示。

Howe[1]提出了一種高效的數值方法，用于計算復雜多邊形邊界的Schwarz-Christoffel 變換方程的常數，它采用了直接搜索單純性技術來最小化多邊形尺寸誤差的平方和，同時使用高斯-雅各比求積公式來評估誤差函數的元素。Hu[2]開發出能實現Schwarz-Christoffel共形變換的雙連通多邊形區域的軟件。該軟件選擇計算參數準確性高、計算速度快、映射“擁擠”區域的能力強，解決了與映射函數相關的所謂附加參數問題，并評估正向和反向映射。Natarajan[3]利用Schwarz-Christoffel 映射將多邊形域映射到單位圓盤，并采用基于單位圓盤的中點求積規則。這一方法避免了通常需要的兩級等參映射，并確保雅可比矩陣的正定性。并在多邊形有限元的背景下，對一些基準問題進行了數值計算，結果表明所提出的方法能夠獲得準確的結果。崔建斌等[4]研究了Schwarz-Christoffel變換及其數值解法，采用Levenberg-Marquardt 算法求解非線性系統中的變換參數，針對奇異積分問題進行了區間細分和高斯-雅各比型積分的校正，提高了計算的精度，并用算例驗證了該方法的可行性。

綜上所述，學者們提出了高效的理論和數值方法來計算復雜多邊形邊界的變換常數，并開發了軟件來實現Schwarz-Christoffel 共形映射。這些研究為Schwarz-Christoffel 變換的應用和改進提供了有價值的參考。本文對Schwarz-Christoffel 變換的概念、原理進行介紹，并分析其應用價值。

1 Schwarz-Christoffel變換簡介

1.1 基本概念

Schwarz-Christoffel(SC)變換是使用解析函數將一個平面上復雜形狀的幾何體映射到另一個平面上得到簡單形狀的幾何體的映射方法。它由數學家Hermann Schwarz 和Elwin Christoffel 在19 世紀末提出。其基本思想是通過利用已知幾何圖形邊界與所求解析函數在邊界上的值之間的關系，得到該函數在該幾何區域內的值，并通過求解特定的常微分方程，將這個解析函數映射到多邊形區域內，從而可以方便地求解該多邊形區域內的問題。

在復平面Z上的多邊形有N條邊，它的頂點和內角分別為Zi和παi()i= 1,2,…,N。將T 平面上幾何體上的點映射到Z平面上的Schwarz-Christoffel變換公式為[5]：

式中：K——形狀系數；

C——位置系數；

παi——Z平面上多邊形的內角；

ai——T平面x軸上的點。

1.2 變換示意

對橢圓和正方形映射到單位圓的Schwarz-Christoffel 變換進行介紹。通過將橢圓形和正方形變換成簡單的圓形，可以更方便地進行相關的計算和分析。

（1）橢圓至單位圓的Schwarz-Christoffel變換

Tobin[6]提出由橢圓形至單位圓的Schwarz-Christoffel變換，設橢圓形的半長軸長為a，半短軸長為b，(z=x+yi)為平面上橢圓形范圍內點的坐標（坐標應該有兩個值？，這是不是“坐標方程”）。由橢圓形至單位圓的Schwarz-Christoffel變換如下：

式中：

橢圓形通過上述Schwarz-Christoffel 變換共形映射到圓形的過程如圖1所示。

圖1 橢圓至單位圓的SC變換示意圖[11]

（2）正方形至單位圓的Schwarz-Christoffel變換

Chamberlain Fong[7]提出由正方形至圓形的Schwarz-Christoffel 變換，坐標在范圍x∈[- 1,1 ],y∈[- 1,1 ]內的單位正方形至單位圓的Schwarz-Christoffel映射如下所示：

其中:

通過公式即可將橢圓形或正方形共形映射到單位圓。

2 Schwarz-Christoffel工具箱及其作用

2.1 Schwarz-Christoffel工具箱

SC Toolbox 即為Schwarz-Christoffel 工具箱，Schwarz-Christoffel 工具箱提供了調用函數和圖形界面兩種方式來輸入圖形信息，并將輸入的圖形進行Schwarz-Christoffel共形映射。

Schwarz-Christoffel 工具箱的前身是SCPACK，SCPACK 是L.N.Trefethen 在20 世紀80 年代早期開發的基于Fortran 編程語言的程序。Schwarz-Christoffel 工具箱在SCPACK 的基礎上加入了交互功能以及可視化功能，而且也不需要用戶進行編程。使得程序在計算Schwarz-Christoffel共形映射時更加直觀便捷。

Schwarz-Christoffel 共形映射是將一個平面的上半平面映射成另一個平面上的多角形區域，當多角形的頂點大于3 時，映射函數的求取就已經變得十分困難了，依靠傳統解析方法往往很難解出映射函數。基于MATLAB 編程的Schwarz-Christoffel 工具箱為這一類問題的求解提供了可能，可以用來求解復雜多邊形（包括無邊界區域、邏輯四邊形和通道）對應的Schwarz-Christoffel映射函數。Schwarz-Christoffel工具箱包括一個用于在具有分段常數邊界條件的此類區域上可以快速求解拉普拉斯方程的模塊，這是它快速求解出圖形對應的Schwarz-Christoffel 映射函數的基礎。除此之外，Schwarz-Christoffel 工具箱還可以通過交互式界面進行圖形信息輸入、對圖形進行Schwarz-Christoffel 共形映射等操作。

2.2 Schwarz-Christoffel工具箱的作用

應用Schwarz-Christoffel 工具箱，可以將多邊形的頂點坐標作為所要轉換的目標圖形坐標通過polygon指令輸入Schwarz-Christoffel 工具箱中；再通過diskmap指令構造一個由多邊形向單位圓的共形映射；之后再通過center指令定義轉換后的單位圓圓心坐標。

除了將圖形信息通過調用polygon 指令輸入之外，還可以通過scgui 指令在交互式界面中畫出目標形狀，然后再通過可視化操作界面轉換為單位圓。

通過Schwarz-Christoffel Toolbox 轉換前后的多邊形如圖2所示。

圖2 通過Schwarz-Christoffel Toolbox變換前后的多邊形

在對圖形成功變換后，可以通過evalinv 指令得到原圖形變換后位于單位圓內的等效坐標，也可以通過eval指令由單位圓上的點得到變換前該點的原坐標。

通過上述操作即可求得任意多邊形到單位圓的Schwarz-Christoffel共形映射。

綜上所述，Schwarz-Christoffel 工具箱可以通過輸入多邊形的頂點坐標來實現多邊形到單位圓的Schwarz-Christoffel 共形映射。它提供了方便的指令和交互式界面，使得轉換過程更加直觀和可視化。通過Schwarz-Christoffel Toolbox，我們可以快速而準確地獲得所需的共形映射結果。這為多邊形幾何形狀的分析和處理提供了有力的工具和方法。

3 Schwarz-Christoffel變換的應用

Schwarz-Christoffel 變換通常用于解決有界幾何區域的變形問題，以及求解該區域中的電勢、熱勢等物理問題。其在數學、物理學、工程學、計算機科學等領域都有廣泛應用。

3.1 在電氣領域的應用

Balakrishnan[8]基于Schwarz-Christoffel 變換提出計算磁路中氣隙磁阻的方法。該方法應用于示例配置的電感計算，并通過與基于有限元數值分析方法的計算結果進行比較，驗證了其有效性。Fosset[9]討論了在電化學問題中使用坐標變換的實用性，特別是與微電極上的非線性擴散相關的問題。使用Schwarz-Christoffel變換得到了雙帶電極穩態極限電流的精確表達式，并通過實驗證明了數字模擬的準確性。

3.2 在流體力學領域的應用

Hasheminejad[10]基于Schwarz-Christoffel 變換，對填充水平圓柱形容器的自由液體橫向振蕩特性進行研究；通過精確的二維流體動力學分析，考慮了不可壓縮液體和不同擋板配置；并研究了填充水平、擋板布置和長度對振蕩頻率和流體壓力的影響；還討論了方法的收斂性和結果的有效性。Chahar[11]基于Schwarz-Christoffel變換，采用逆方法得出了一種精確解，用于描述通過均勻各向同性多孔介質下的淺層排水層的弧形渠道滲流問題。此外，解還包括描述渠道輪廓形狀和施壓線軌跡的一組參數方程。

3.3 在材料領域的應用

Wang[12]基于Schwarz-Christoffel 變換，在半無限各向同性介質中，將遠場III 模式加載下斜向邊緣裂紋附近的螺型位錯映射到應用加載下的自由表面附近的螺型位錯簡單情況，并推導了復雜勢、應力場、應力強度因子、位錯圖像力、應變能等。

綜上所述，Schwarz-Christoffel 變換通常應用于解決有界幾何區域的變形問題，以及求解該區域中的電勢、熱勢、流勢等物理問題，是一種廣泛應用的數學工具，在各個領域中都有其獨特的應用。

4 結束語

本文為了分析Schwarz-Christoffel 變換的應用價值，在介紹其基本原理的基礎上，分析Schwarz-Christoffel 工具箱及其在實現Schwarz-Christoffel 變換方面具有的重要作用，并介紹Schwarz-Christoffel 變換在電氣領域、流體力學領域和材料領域的應用。分析認為，Schwarz-Christoffel 變換可解決有界幾何區域的變形問題，以及求解該區域中的電勢、熱勢、流勢等物理問題，是一種廣泛應用的數學工具，在各個領域中都有其獨特的應用。隨著Schwarz-Christoffel 變換繼續發展和應用，它將在更廣泛的工程和科學領域中發揮重要作用，并為實際問題的解決提供創新和有效的解決方案。