基于曲梁理論的覆冰分裂導(dǎo)線舞動(dòng)非線性動(dòng)力分析

張孜航，韓艷 ，盛國(guó)剛，李凱

（長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114）

高壓輸電線常采取分裂導(dǎo)線來(lái)抑制電暈放電和減少線路電抗，以此顯著提高線路的輸電能力，例如雙分裂、三分裂、四分裂甚至八分裂導(dǎo)線.舞動(dòng)是導(dǎo)線覆冰形成非圓截面后在氣動(dòng)力作用下產(chǎn)生的一種低頻、大振幅的自激振動(dòng)，覆冰的分裂導(dǎo)線比單導(dǎo)線在風(fēng)中更容易舞動(dòng)［1-2］.為了全面描述覆冰導(dǎo)線的舞動(dòng)行為，提出了涉及垂直、水平和扭轉(zhuǎn)的三自由度模型［3］，結(jié)果表明在順風(fēng)方向上，導(dǎo)線的垂直、水平和扭轉(zhuǎn)之間存在相互作用.

分裂導(dǎo)線的舞動(dòng)可能會(huì)出現(xiàn)多階模態(tài)的參與，而已有的模型并沒(méi)有考慮到多階模態(tài)的影響.為了更加精確地描述輸電線舞動(dòng)，提出了考慮多模態(tài)多自由度的分裂導(dǎo)線模型［4-6］.研究表明，三自由度下覆冰分裂導(dǎo)線的舞動(dòng)考慮了“扭轉(zhuǎn)效應(yīng)”對(duì)分裂導(dǎo)線舞動(dòng)特征的影響，將更符合真實(shí)狀態(tài)下分裂導(dǎo)線的舞動(dòng)行為，其結(jié)論更值得參考.另外，離散方法（直接離散法與間接離散法）對(duì)覆冰導(dǎo)線的頻率、相位以及幅值都有一定程度的影響，且在扭轉(zhuǎn)方向上，選擇不同的離散方法所得的幅值差別較大；同時(shí)針對(duì)具體的覆冰導(dǎo)線進(jìn)行舞動(dòng)特征分析時(shí)，離散方法的不同可能會(huì)導(dǎo)致理論結(jié)果與實(shí)際工況存在差異，但是由于階數(shù)過(guò)高時(shí)會(huì)使得計(jì)算過(guò)于復(fù)雜、計(jì)算效率降低，因此最多只考慮到了前六階模態(tài).

應(yīng)用于覆冰導(dǎo)體舞動(dòng)的有限元方法首先由Desai 等［7］提出，他使用一個(gè)三節(jié)點(diǎn)的索單元來(lái)模擬覆冰導(dǎo)體，采用時(shí)間積分算法對(duì)輸電線舞動(dòng)進(jìn)行了分析，驗(yàn)證了該模型的優(yōu)越性.李黎等［8］基于考慮扭轉(zhuǎn)的索單元，建立了連續(xù)多檔分裂導(dǎo)線舞動(dòng)分析的有限元模型.通過(guò)對(duì)漢江大跨越工程覆冰導(dǎo)線的舞動(dòng)分析驗(yàn)證了模型的可行性；并利用該模型研究了風(fēng)速與初始攻角對(duì)舞動(dòng)的影響.王黎明等［9］建立了考慮平動(dòng)三自由度多檔導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)模型，利用Fluent對(duì)一條500 kV 覆冰四分裂導(dǎo)線的舞動(dòng)進(jìn)行了研究.結(jié)果表明：在起舞風(fēng)速與舞動(dòng)最大幅值對(duì)應(yīng)的風(fēng)速之間，舞動(dòng)幅值隨風(fēng)速的增加近似呈現(xiàn)線性增加的趨勢(shì).Zhou 等［10］利用ABAQUS 模擬輸電線路舞動(dòng)時(shí)，通過(guò)自定義的索單元對(duì)覆冰八分裂導(dǎo)線進(jìn)行了節(jié)段模型的風(fēng)洞試驗(yàn)，證明了數(shù)值方法的有效性.劉小會(huì)等［11］采用等參單元離散覆冰導(dǎo)線，用歐拉梁?jiǎn)卧x散間隔棒，建立了覆冰分裂導(dǎo)線非線性有限元方程，通過(guò)算例驗(yàn)證了模型的正確性.向玲等［12］開(kāi)展了不同檔距四分裂線路的舞動(dòng)特性和相地間隔棒防舞仿真分析，建立了不同檔距四分裂線路和相地間隔棒的有限元模型，結(jié)果表明：不同檔距四分裂線路的舞動(dòng)特性不同，相地間隔棒的不同配置方案起到了明顯的抑舞作用.Zhang 等［13］基于Desai 的索模型建立了分裂導(dǎo)線舞動(dòng)的混合模型，并將該模型與有限元模型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明該模型精確性高，可用于分析輸電線舞動(dòng).這些覆冰分裂導(dǎo)線的有限元模型是基于經(jīng)典的索結(jié)構(gòu)理論，忽略了彎曲剛度，然而Luongo 等［14-15］認(rèn)為彎曲梁理論可以更好地模擬軸向和扭轉(zhuǎn)應(yīng)變之間的耦合，并提出了一個(gè)考慮幾何非線性與扭轉(zhuǎn)的曲梁一致模型，同時(shí)認(rèn)為在分析中不能忽略抗彎剛度對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度的影響.伍川等［16］基于ABAQUS 提出一種考慮偏心覆冰作用的導(dǎo)線數(shù)值模擬方法，并利用典型新月形覆冰四分裂導(dǎo)線算例驗(yàn)證了該方法的正確性.結(jié)果表明，考慮偏心覆冰作用后，覆冰四分裂導(dǎo)線的位移和扭轉(zhuǎn)角幅值明顯增大，振動(dòng)形態(tài)更為復(fù)雜.因此，在研究覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)時(shí)，有必要考慮偏心覆冰作用的影響.

有限元方法能夠有效地考慮橫向與扭轉(zhuǎn)之間的耦合作用.Zhu 等［17］提出了基于曲梁理論的六自由度單元模型，該單元考慮了彎曲剛度、平動(dòng)振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的耦合.Yan 等［18］將此六自由度的曲梁模型用于分析輸電線的舞動(dòng)響應(yīng)，分析表明該模型能有效地模擬輸電線舞動(dòng)的特性.Chen 等［19］針對(duì)受自激氣動(dòng)力影響的三自由度系統(tǒng)的模態(tài)頻率、阻尼比和耦合運(yùn)動(dòng)，給出了復(fù)特征值問(wèn)題的顯式閉合解.然后將其應(yīng)用于覆冰輸電導(dǎo)線的三自由度舞動(dòng)分析，并使用四分裂導(dǎo)線證明了方案的準(zhǔn)確性.Foti 等［20］在更新的拉格朗日方法的背景下，提出了考慮索的幾何非線性的共旋坐標(biāo)系下的梁索單元公式.Xiong等［21］對(duì)曲梁模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，并通過(guò)經(jīng)典算例對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明輸電線的彎曲模量對(duì)平移和扭轉(zhuǎn)頻率的影響較大，同時(shí)覆冰導(dǎo)線偏心率可略微降低導(dǎo)線的頻率，但并沒(méi)有分析氣動(dòng)力對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響.

本文考慮覆冰產(chǎn)生的偏心慣性作用，假設(shè)間隔棒為剛體，提出了一種考慮彎曲剛度的曲梁覆冰分裂導(dǎo)線舞動(dòng)分析混合模型，利用虛功原理建立了該混合模型的有限元方程并采用時(shí)間積分算法對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了求解.同時(shí)進(jìn)行了單元的無(wú)關(guān)性驗(yàn)證.通過(guò)有限元方法可考慮任意高階模態(tài)對(duì)輸電線舞動(dòng)的影響，從而確定了模態(tài)的收斂性.分析了氣動(dòng)力對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響.由于考慮了抗彎剛度、抗拉剛度與抗扭剛度的影響，該模型能更加準(zhǔn)確地描述輸電線的各自由度耦合舞動(dòng)行為，有助于闡明分裂導(dǎo)線舞動(dòng)的發(fā)生機(jī)理.

1 分裂導(dǎo)線混合模型

為了將單導(dǎo)線公式擴(kuò)展到分裂導(dǎo)線，混合模型需做出如下假設(shè)［13］：

1）忽略縱向慣性力與阻尼力，只考慮分裂導(dǎo)線的整體運(yùn)動(dòng)；

2）導(dǎo)線垂跨比較小；

3）分裂導(dǎo)線繞參考曲線的旋轉(zhuǎn)很小，且墊片是剛性的；

4）子導(dǎo)體的縱向運(yùn)動(dòng)彼此相同，且質(zhì)心曲線的縱向運(yùn)動(dòng)相同；

5）在每個(gè)單元之間的節(jié)點(diǎn)上都有一個(gè)剛性墊片，墊片位于同一平面上，變形后沒(méi)有翹曲.

Zhang等［13］基于Desai的索模型建立了分裂導(dǎo)線舞動(dòng)的混合模型，但該模型并沒(méi)有考慮彎曲剛度的影響.而Zhu 等［17］提出的六自由度曲梁模型對(duì)于應(yīng)變-位移關(guān)系考慮得過(guò)于復(fù)雜，會(huì)導(dǎo)致有限元的計(jì)算量顯著增加.因此本節(jié)采用虛功原理對(duì)考慮彎曲剛度的分裂導(dǎo)線混合模型進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)考慮偏心慣性作用，對(duì)分裂導(dǎo)線的舞動(dòng)進(jìn)行了模擬，該混合模型的應(yīng)變-位移關(guān)系簡(jiǎn)單，可適用于任意數(shù)量的分裂導(dǎo)線，且更有利于后續(xù)舞動(dòng)控制的實(shí)現(xiàn).

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，圖1（a）僅給出單跨兩分裂導(dǎo)線示意圖.桿塔與鄰跨具有沿X方向和沿Z方向的剛度KST，絕緣體具有沿X方向的剛度和沿Z方向的剛度KIX與KIZ.其中X、Y、Z為模型的全局坐標(biāo).忽略鄰跨慣性作用的影響并且認(rèn)為支撐塔是剛性的，假設(shè)覆冰沿輸電線分布完全相同.圖1（b）給出了空間坐標(biāo)系下的三節(jié)點(diǎn)覆冰分裂導(dǎo)線的混合模型曲梁?jiǎn)卧鼈兾挥诜至褜?dǎo)線的參考曲線上，其中，參考曲線的位置如圖1（a）所示；U、V、W分別表示分裂導(dǎo)線在參考曲線的法向、副法向和切向的單元位移；s表示單元的弧坐標(biāo)，單元隨著局部坐標(biāo)系x、y、z運(yùn)動(dòng)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有四個(gè)自由度（x、y、z方向的平動(dòng)以及繞x方向的轉(zhuǎn)動(dòng)）.分裂導(dǎo)線混合模型單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移u見(jiàn)式（1），節(jié)點(diǎn)位移ue見(jiàn)式（2）.

圖1 分裂導(dǎo)線模型Fig.1 Bundle conductor model

混合模型的基礎(chǔ)是將分裂導(dǎo)線的行為等效為單導(dǎo)線的行為，這已被證明是有效的［13］.由于混合模型的曲梁?jiǎn)卧Ｐ驮诳臻g坐標(biāo)系中的三個(gè)節(jié)點(diǎn)位于參考曲線上，由圖1（c）可推導(dǎo)出參考曲線上的等效單元形心節(jié)點(diǎn)與第i個(gè)子導(dǎo)線之間的位移關(guān)系：

已知第i個(gè)子導(dǎo)線的節(jié)點(diǎn)位移，通過(guò)形函數(shù)可得到第i個(gè)子導(dǎo)線單元任一點(diǎn)的位移：

式中：ui為第i個(gè)子導(dǎo)線的單元位移；N為形函數(shù)矩陣［7］.

1.1 應(yīng)變-位移關(guān)系

在局部坐標(biāo)系下，忽略曲梁的剪切變形，考慮軸向、兩個(gè)方向的彎曲以及扭轉(zhuǎn)變形，第i個(gè)子導(dǎo)線的幾何非線性應(yīng)變-位移關(guān)系為［20］：

1.2 單元?jiǎng)偠染仃?/h3>

第i個(gè)子導(dǎo)線的單元?jiǎng)偠染仃囉蓡卧€性剛度矩陣與單元非線性剛度矩陣組成：

式中：A為子導(dǎo)線的橫截面面積；E、G、I1、I2分別為子導(dǎo)線的彈性模量、剪切模量和繞v、w的抗彎慣性矩；J為子導(dǎo)線的扭轉(zhuǎn)慣性矩；T0為單元的初始拉力，線性與非線性應(yīng)變矩陣為：

根據(jù)子導(dǎo)線與參考曲線之間的位移關(guān)系，得到分裂導(dǎo)線混合模型的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?/p>

式中：n為子導(dǎo)線的根數(shù).

1.3 單元質(zhì)量矩陣

第i個(gè)子導(dǎo)線的單元的一致質(zhì)量矩陣為：

分裂導(dǎo)線混合模型的單元質(zhì)量矩陣為：

1.4 單元結(jié)構(gòu)阻尼矩陣

結(jié)構(gòu)的阻尼對(duì)輸電線舞動(dòng)的影響至關(guān)重要，對(duì)于覆冰導(dǎo)線的舞動(dòng)分析，通常通過(guò)假設(shè)瑞利阻尼并將其近似為對(duì)稱結(jié)構(gòu)阻尼矩陣［7，18］.第i個(gè)子導(dǎo)線的單元結(jié)構(gòu)阻尼與單元質(zhì)量和單元?jiǎng)偠扔嘘P(guān)，可寫成如下形式：

式中：α和β分別為質(zhì)量比例系數(shù)和剛度比例阻尼系數(shù).若僅測(cè)量垂直、水平和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的第一模態(tài)阻尼比，則阻尼矩陣可近似為質(zhì)量比例阻尼［7］.

分裂導(dǎo)線混合模型的單元阻尼矩陣為：

1.5 外荷載向量

第i個(gè)子導(dǎo)線的單元一致荷載矩陣可寫為：

式中：Fy、Fz和Mθ分別為每單位導(dǎo)線長(zhǎng)度的氣動(dòng)垂直力、側(cè)向力和力矩.每單位導(dǎo)線長(zhǎng)度的氣動(dòng)垂直力、側(cè)向力力矩通常通過(guò)風(fēng)洞測(cè)量在不同攻角下的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)升力Cy、阻力Cz和力矩系數(shù)Cθ來(lái)獲得.

通過(guò)對(duì)覆冰導(dǎo)體進(jìn)行準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)風(fēng)洞試驗(yàn)，確定其三分力系數(shù).在對(duì)三分力系數(shù)進(jìn)行擬合時(shí)，可采取如下的三次多項(xiàng)式：

式中：α為分裂導(dǎo)線混合模型的相對(duì)攻角［7，13］，α=0對(duì)應(yīng)分裂導(dǎo)線混合模型在覆冰偏心作用下的靜平衡位置.ai0表示靜態(tài)風(fēng)荷載，在時(shí)間積分過(guò)程中，可忽略該項(xiàng)對(duì)分裂導(dǎo)線舞動(dòng)的影響.

上式計(jì)算的單元荷載由于存在積分，會(huì)導(dǎo)致在后續(xù)計(jì)算中計(jì)算量非常大，為了減少計(jì)算量，可寫成單元集中荷載向量的形式［7］：

式中：Fyk和Fzk分別是單元第k個(gè)節(jié)點(diǎn)上的垂直與水平荷載；Mθk為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上的力矩荷載，k=1，2，3.

分裂導(dǎo)線混合模型的單元荷載矩陣為：

1.6 分裂導(dǎo)線舞動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)虛功原理，以fei代表作用于第i個(gè)子導(dǎo)線的單元的全部節(jié)點(diǎn)荷載，對(duì)該單元可寫出其虛功方程為：

式中：c為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)矩陣.

上式經(jīng)過(guò)組裝后最終形成如下的非線性動(dòng)力學(xué)方程：

式中：M、C、KL和KNL分別為分裂導(dǎo)線混合模型的質(zhì)量、阻尼、線性與非線性剛度矩陣；KQCL、KQCNL、KQL和KQNL分別為分裂導(dǎo)線混合模型的氣動(dòng)線性阻尼、氣動(dòng)非線性阻尼、氣動(dòng)線性剛度和氣動(dòng)非線性剛度矩陣；U為輸電線的位移；分別為分裂導(dǎo)線混合模型位移對(duì)時(shí)間的一階與二階導(dǎo)數(shù).氣動(dòng)力采用簡(jiǎn)化的式（18）進(jìn)行計(jì)算.

式（24）在不考慮阻尼、非線性剛度與氣動(dòng)非線性剛度的情況下可寫成如下的線性方程：

由式（25）可得到考慮氣動(dòng)線性剛度下的覆冰分裂導(dǎo)線的固有頻率，當(dāng)氣動(dòng)線性剛度（KQL）為零時(shí)，可得到覆冰分裂導(dǎo)線本身的固有頻率.

2 舞動(dòng)分析方法

可采用與單導(dǎo)線相同的方法分析分裂導(dǎo)線的舞動(dòng)，即考慮空氣動(dòng)力和偏心重力載荷作用在所有子導(dǎo)線上，同時(shí)不考慮子導(dǎo)線間的遮擋效應(yīng)，即假設(shè)各個(gè)子導(dǎo)線的氣動(dòng)力相等.通常，式（24）可以使用模態(tài)疊加法轉(zhuǎn)換為前幾個(gè)模態(tài)向量的模態(tài)空間［7，18］，然后通過(guò)二階有限差分算法求解.前幾個(gè)模態(tài)的選擇可通過(guò)模態(tài)分析確定.應(yīng)注意的是，為了減少計(jì)算量，在迭代過(guò)程中使用了靜態(tài)平衡中的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣.有關(guān)有限差分算法和時(shí)間積分的更多細(xì)節(jié)，請(qǐng)參考文獻(xiàn)［7］.該算法可用于集成涉及非線性剛度、質(zhì)量、阻尼、氣動(dòng)載荷和偏心重力載荷的動(dòng)態(tài)平衡方程.

3 模型驗(yàn)證

在本節(jié)，通過(guò)一個(gè)經(jīng)典算例［13］驗(yàn)證前面章節(jié)中描述的方法的準(zhǔn)確性，該算例是基于Desai 的索模型分析分裂導(dǎo)線的舞動(dòng).二分裂、三分裂和四分裂導(dǎo)線橫截面如圖2 所示.子導(dǎo)線的彎曲剛度根據(jù)實(shí)體截面計(jì)算.具體子導(dǎo)線參數(shù)如表1 所示.Aice為覆冰導(dǎo)線的總橫截面面積，μ為單位長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的質(zhì)量，二分裂、三分裂和四分裂導(dǎo)線的動(dòng)力學(xué)參數(shù)可參考文獻(xiàn)［13］.需要注意的是在該算例中初始迎角和風(fēng)速分別為40°和4 m∕s，時(shí)間步長(zhǎng)為0.01 s.二分裂、三分裂和四分裂導(dǎo)線相應(yīng)的跨中豎向靜平衡位移分別為1.524 m、1.536 m 和1.572 m，滿足小垂跨比的要求.有限元模型沿參考曲線有21個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)21 分別為左邊界和右邊界，邊界條件為簡(jiǎn)單支撐（V=θ=0，U≠0，W≠0），同時(shí)在分裂導(dǎo)線其他節(jié)點(diǎn)上配置了19 個(gè)虛擬的間隔棒且忽略間隔棒自身的質(zhì)量與覆冰.

表1 子導(dǎo)線參數(shù)Tab.1 Conductor parameters

圖2 分裂導(dǎo)線橫截面Fig.2 Bundle conductor cross section

3.1 單元無(wú)關(guān)性檢驗(yàn)

模型單元的劃分對(duì)有限元結(jié)果具有極大影響，為了檢驗(yàn)單元的無(wú)關(guān)性，討論了不同的單元數(shù)量對(duì)二分裂、三分裂和四分裂覆冰導(dǎo)線前6 階固有頻率的影響，從而合理確定單元數(shù)目.第一階模態(tài)、第二階模態(tài)和第三階模態(tài)分別表示側(cè)向振動(dòng)、豎向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的一階模態(tài).另外，第四階模態(tài)、第五階模態(tài)和第六階模態(tài)表示相應(yīng)的二階模態(tài).

由圖3可以看出，當(dāng)將分裂導(dǎo)線劃分為8個(gè)單元后，前六階的頻率并沒(méi)有明顯的變化.同時(shí)除了保證解具有一定的精度，還應(yīng)考慮后續(xù)計(jì)算的時(shí)間成本，因此選取10個(gè)單元進(jìn)行后續(xù)舞動(dòng)時(shí)程分析的計(jì)算.

圖3 單元無(wú)關(guān)性檢驗(yàn)Fig.3 Element independence verification

3.2 模態(tài)收斂性

輸電線的舞動(dòng)可能會(huì)出現(xiàn)多模態(tài)的參與，因此，分析前十階模態(tài)對(duì)二分裂、三分裂和四分裂覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)的響應(yīng)，討論分裂導(dǎo)線的模態(tài)收斂性.

由圖4 可知：無(wú)論是二分裂、三分裂還是四分裂覆冰導(dǎo)線，前三階、前五階和前十階模態(tài)的位移時(shí)程結(jié)果是一致的，而前二階和前三階的時(shí)程曲線均有明顯差異，說(shuō)明對(duì)于這些覆冰分裂導(dǎo)線的舞動(dòng)起主要作用的是前三階模態(tài)，因而在后續(xù)的舞動(dòng)時(shí)程分析中可只取前三階模態(tài)進(jìn)行分析即可滿足計(jì)算要求.

圖4 不同階模態(tài)計(jì)算結(jié)果Fig.4 Calculation results of different mode

3.3 舞動(dòng)分析對(duì)比

本小節(jié)將分裂導(dǎo)線分為10 個(gè)單元，首先覆冰分裂導(dǎo)線本身的固有頻率可通過(guò)式（25）得到，見(jiàn)表2.同時(shí)由式（24）計(jì)算覆冰分裂導(dǎo)線舞動(dòng)時(shí)程，得到了對(duì)應(yīng)的舞動(dòng)穩(wěn)態(tài)的極限環(huán)結(jié)果，從而驗(yàn)證模型的正確性，如圖5所示.

表2 固有頻率對(duì)比Tab.2 Comparison of natural frequencies Hz

圖5 跨中舞動(dòng)位移對(duì)比Fig.5 Comparison of galloping displacement in mid-span

由表2 可知，分裂導(dǎo)線固有頻率計(jì)算結(jié)果與Zhang 等［13］的基本一致，同時(shí)圖5 表明混合模型計(jì)算結(jié)果與對(duì)比值基本一致，且各分裂導(dǎo)線的豎向極限環(huán)振幅在幅值上結(jié)果相差不大，它們比分裂導(dǎo)線的水平位移大得多，因此在實(shí)測(cè)中，分裂導(dǎo)線發(fā)生豎向運(yùn)動(dòng)是普遍的.同時(shí)驗(yàn)證了基于曲梁理論的分裂導(dǎo)線混合模型可用于計(jì)算覆冰分裂導(dǎo)線的舞動(dòng).

3.4 氣動(dòng)力對(duì)頻率影響

前面的小節(jié)已驗(yàn)證了模型的正確性，本小節(jié)在式（18）的基礎(chǔ)上通過(guò)改變風(fēng)速使得氣動(dòng)力發(fā)生變化，然后通過(guò)式（25）計(jì)算得出氣動(dòng)力對(duì)頻率的影響.

選取了一些常見(jiàn)的舞動(dòng)風(fēng)速.由圖6（a）可知，二分裂導(dǎo)線在風(fēng)速持續(xù)上升到25 m∕s 的過(guò)程中，第一階扭轉(zhuǎn)頻率（第三階模態(tài)）增大到了0.757 Hz，與無(wú)風(fēng)條件下的頻率相比增大了25.99%；第二階扭轉(zhuǎn)頻率（第六階模態(tài)）增大到了1.212 Hz，與無(wú)風(fēng)條件下的頻率相比增加14.25%.圖6（b）所示三分裂導(dǎo)線的第一階扭轉(zhuǎn)頻率增大到了0.675 Hz，增加17.88%；第二階扭轉(zhuǎn)頻率增大到了1.112 Hz，增加6.87%.圖6（c）所示四分裂導(dǎo)線的第一階扭轉(zhuǎn)頻率增大到了0.723 Hz，增加21.03%；第二階扭轉(zhuǎn)頻率增大到了1.174 Hz，增加8.38%.無(wú)論是二分裂、三分裂還是四分裂導(dǎo)線，它們的第一階與第二階的側(cè)向與豎向頻率（第一階模態(tài)、第四階模態(tài)、第二階模態(tài)與第五階模態(tài)）基本無(wú)變化.結(jié)果表明，氣動(dòng)力對(duì)側(cè)向與橫向頻率基本無(wú)影響，而對(duì)扭轉(zhuǎn)頻率影響較大且對(duì)第一階扭轉(zhuǎn)頻率的影響更為明顯.

圖6 氣動(dòng)力對(duì)頻率的影響Fig.6 Influence of aerodynamic force on frequency

4 結(jié)論

基于空間曲梁理論的應(yīng)變-位移關(guān)系，采用虛功原理建立了考慮氣動(dòng)剛度與氣動(dòng)阻尼的覆冰分裂導(dǎo)線舞動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)混合模型，利用振型疊加結(jié)合時(shí)間積分算法對(duì)方程進(jìn)行求解.在數(shù)據(jù)仿真中，進(jìn)行了單元和時(shí)間無(wú)關(guān)性檢驗(yàn)和模態(tài)收斂性的計(jì)算，最后分析了氣動(dòng)力對(duì)不同分裂導(dǎo)線舞動(dòng)前六階頻率的影響，可以得出以下結(jié)論：

1）通過(guò)與以往文獻(xiàn)的比較，驗(yàn)證了目前的研究結(jié)果.此外，由于單元的簡(jiǎn)單性和有效性，本混合模型對(duì)于覆冰分裂導(dǎo)線的動(dòng)態(tài)控制具有更好的適用性.

2）根據(jù)單元與時(shí)間無(wú)關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果，在本例中單元的數(shù)量不應(yīng)少于8 個(gè).此外，通過(guò)對(duì)覆冰分裂導(dǎo)線進(jìn)行非線性動(dòng)力分析可得到在舞動(dòng)計(jì)算中選擇前三階模態(tài)是合理的.對(duì)于不同的模型，為了滿足計(jì)算精度的要求，單元數(shù)量和模態(tài)截?cái)鄶?shù)量可能會(huì)發(fā)生變化.這些結(jié)果為準(zhǔn)確建立覆冰導(dǎo)線的非線性動(dòng)力學(xué)模型提供了計(jì)算依據(jù).

3）當(dāng)風(fēng)速增加到25 m∕s時(shí)，二分裂、三分裂和四分裂導(dǎo)線一階扭轉(zhuǎn)頻率分別增加25.99%、17.88%和21.03%，二階扭轉(zhuǎn)頻率分別增加14.25%、6.87%和8.38%.而一階和二階橫向和垂直頻率基本保持不變，說(shuō)明氣動(dòng)力對(duì)扭轉(zhuǎn)頻率影響較大且對(duì)第一階扭轉(zhuǎn)頻率的影響更為明顯.計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確地反映了覆冰分裂導(dǎo)線的動(dòng)態(tài)特性，同時(shí)為后續(xù)動(dòng)態(tài)控制的實(shí)施提供更為準(zhǔn)確的依據(jù).