一致性視角下分數除法運算教學的堅守與突圍

郝高峰 王永濤 童燕

【摘 要】基于計數單位的一致性視角，當前分數除法運算教學表現出鮮明的階段性和個性化特征。文章結合對一致性和階段性關系的討論，以現行北師大版數學教材“分數除以分數”教學為例，在尊重教材的基礎上創新教學實踐，理順多樣化算法與通用算法之間的關系，堅守直觀輔助教學、通用算法優先等有效經驗，適時分階段引入形式化推理、演繹推理等，構建長程學習路徑，實現突圍，以期達成一致性與階段性的有效統一。

【關鍵詞】分數除法；一致性；階段性；計數單位；堅守與突圍

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）的頒布，在全國基礎教育界掀起了一輪又一輪學習和踐行新課標理念的浪潮。具體到小學數學課堂教學，關于一致性，尤其是數與運算一致性的討論高潮迭起，基于計數單位視角重構數與運算教學已成為大家的共識。然而，在落實新課標理念的過程中，我們發現用計數單位統領除法的教學實踐，特別是分數除法的教學則稍顯力不從心，新的“不一致”悄然出現。

一、問題與現狀

基于計數單位視角理解加法、減法運算的算理順理成章，即不論是整數、小數，還是分數的加減法都是對相同計數單位的個數進行累加或遞減運算。比如異分母分數加減法先通分，就是為了轉化成同分母分數，也就是計數單位相同的分數后，再對其個數進行相應運算。在實際教學中，教師只要基于以前的教學經驗強化計數單位即可。即便是第二級運算中的乘法，因脫胎于加法運算，其一致性表現為計數單位相乘得到新的計數單位，個數相乘得到新的個數。教學中亦可與原有教學雙線并行，相得益彰。比如，分數乘分數時，分子相乘的積做分子，實際算的就是積中計數單位的個數；而分母相乘的積做分母，實則確定的是積的計數單位。于是，加、減、乘法都可統一為兩步，即定單位和算個數。實際計算中，也常常表現為先算個數，再定單位。整體來看，加、減、乘法在運算上表現得比較一致。對于除法，整數和小數除法的算理要基于計數單位去解釋并開展教學也并非難事，即單位相除確定新的單位，個數相除得到新的個數，或統一單位后個數間進行除法運算。但分數除法因其現行通用算法為“甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數”，與基于計數單位一致性的算理解釋出入較大，表現出極強的個性化特征。再加上分數除法算理的解釋呈現出多樣化的特點，一方面造成對運算一致性建構的直接干擾；另一方面，也使得教師教學難免顧此失彼，給教學實踐中具體方法的選擇和取舍帶來一定困擾。

二、分析與思考

（一）現行教材對分數除法算理教學的實踐

（二）基于演繹推理的除法算理一致性建構

鞏子坤等學者從數的概念與運算的本源性、一致性與整體性出發，統整核心概念、基本規

（三）一致性和階段性關系的討論

新課標指出，核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現。［6］事實上，整體性、一致性和階段性是事物發展的普遍規律，數學學習當然也不例外。整體性是基礎，它決定了數學內部邏輯的一致性。又因為事物是發展變化的，數學學習也就必然會表現出一定的階段性。這樣，一致性和階段性統一于整體性之下，就構成了事物發展的兩個辯證的維度，即共性和個性。而數學的無限發展正是在諸多對立面的辯證運動中得到實現的［7］。因此，數學教學需要關注階段性和一致性，科學地處理局部知識與整體知識、階段發展與長遠發展的關系。［8］

基于這樣的認識，數的概念與運算整體上應該基于計數單位和計數單位的個數進行建構，這體現了其內在邏輯的一致性。由于四則運算之間的衍生關系，第一級運算加、減法集中表現出一致性的一面。而第二級運算中的乘法在保持一致性的前提下已經展露出一定的階段性。到除法運算，尤其是分數除法，階段性表現得更為突出，一致性反而有所內斂。這也耦合了事物發展的一般規律。需要特別指出的是，一致性與階段性之間也是有層級的。在某一階段內，往往會表現出新的一致性，新的一致性內部又會產生階段性（如圖1）。

（四）新一致性視角下分數除法教學的其他幾種可能

方法1：運用商不變規律

生普遍容易理解。

方法2：“經分”法

方法3：分子相除商做分子，分母相除商做分母

方法4：根據運算的意義，借助直觀推理

三、實踐與建議

由上文分析不難發現，基于計數單位建構數的概念與運算一致性框架，從一致性視角審視數的運算教學有著積極的現實意義，它是促進學生數感、運算能力、符號意識、推理意識、模型意識等諸多數學核心素養形成的關鍵。由于事物發展變化的普遍規律，一致性和階段性相伴相生。分數除法運算在保持基于計數單位這一核心概念的基礎上，表現出了更多的階段特性，其算理和算法呈現出多樣化的特點。而基于計數單位進行分數除以分數運算時，算理過于抽象，算法操作性不強，與小學生擅長形象化思維的現實不符。因此，在分數除法教學中，教師不能盲目冒進。一方面，教師要堅守已經過實踐檢驗的好的做法；另一方面，教師要全面理解一致性，構建長程學習路徑，在合適的時機尋求突圍，最終實現二者的和諧共存。

（一）堅守直觀助力算理理解不動搖，形式化推理突圍

現行教材多采用分物或速度等現實情境，借助面積圖、線段圖等直觀模型助力學生理解分數除法算理，這種方式順應了小學生的思維特點，經受住了實踐的檢驗，是需要教師堅守的。但教學中發現，這些現實情境對數據的要求比較嚴苛。因此，教材一般通過選取特殊數據，通過不完全歸納，甚至類比、猜想等方式，規避掉可能與實際不符的一般數據進行說理。這樣的處理方式，降低了學習的難度，有助于保護學生學習數學的興趣。但也因為其缺少比較嚴密的邏輯證明而顯得美中不足。以現行北師大版數學教材為例，教材借助分餅情境（如圖3）和長方形的面積模型（如圖4），引導學生直觀理解一個整數除以單位分數，可以轉化為乘這個單位分數的倒數。這種方式符合學生的實際，但以此就得出“除以一個不為零的數，等于乘這個數的倒數”的結論還是略顯倉促。

需要指出的是，有人認為過多的形象化思維訓練會阻礙學生抽象思維能力的發展。事實上，抽象思維能力的培養不僅要靠抽象的邏輯推理活動，也要有一定量的具象思維活動的加持。即在抽象中可以培養抽象，在具象中也可以培養抽象。

（二）堅守通用算法教學為主不動搖，多樣化算法突圍

“甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數”是當下分數除法運算的一個通用算法，它也適用于小數和整數除法。教學中，教師不能因為它與基于計數單位建構的數與運算一致性表現得不一致而將其置之高閣，轉而另起爐灶追求表面的一致性，引導學生使用上文中提到的方法2——“經分”法或操作性不強的“單位相除得到新單位，個數相除得到新個數”的方法。相反，教師一定要堅守通用算法教學為主不動搖，因為這是經受住實踐檢驗的具有普適性的算法，且符合求簡的人性。但也不能將分數除法簡單地理解為算法的訓練和掌握，而應該將其放到解決問題的大背景中，這樣的教學才會更加地開放和靈動，也才會成為培養學生核心素養的契機。

（三）堅守短程凸顯階段性不動搖，長程實現一致性突圍

因為分數除法運算的特殊性，它可以承載更多的育人價值。如果跳出通用算法教學的羈絆，從一致性視角審視它時，會發現其表現出的階段內通用算法與基于計數單位所建構的數的運算框架的不一致，恰恰促進了人們對一致性的深度理解，即一致性也是有階段性的。因此，分數除法教學不應該被禁錮在一節課或一個單元以內，而應該構建一個更加長程的學習路徑。短程內凸顯它的個性，正視階段性；長程中揭示它的共性，關注一致性，在堅守中逐步突圍。

以現行北師大版數學教材為例，筆者以為，分數除以分數的教學大致可以分為以下幾個階段。（1）通用算法教學階段。五年級下學期新課教學時，結合具體情境，借助幾何直觀、不完全歸納、類比推理等初步理解算理算法，適時用商不變規律等做形式化證明，盡可能完善邏輯結構，構建相對完整的邏輯體系。這一過程可持續至整個教材單元的學習，重在學懂通用算法。（2）多樣化算法輔助階段。五年級下學期單元復習（也可提前至練習課）時，選擇合適的時機引導學生用上文中的多種方法（不建議過早介入一致性框架中提到的演繹推理）嘗試計算。這一階段可再細分為學生自主生成和教師刻意設計兩個層次。這一階段不以追求方法的“多”為目的，貴在適宜，強調學通方法。其間，教師需及時點明算法間的關聯，讓學生初步體會不同算法間的一致性。這個階段可持續至期末復習。（3）靈活應用階段。主要指在具體的解決問題及計算過程中，學生會熟練運用通用算法，并靈活選擇不同的方法進行計算。比如，面對同分母分數相除時只除分子，分子和分母分別有倍數關系時用分子、分母分別相除，化小數方便計算時化小數計算等。學生在應用的過程中反芻算理和算法，體悟其一致性。這一過程貫穿六年級上學期，可一直持續到后續學習中，重在一個“活”字。（4）總結提升階段。這個階段建議放至六年級下學期總復習，可適當增加若干課時［9］，幫助學生總結提升，也可以根據情況適當提前。教師可以引導學生嘗試基于運算本源，借助運算律及等式性質進行演繹推理，點透分數除法運算基于計數單位的一致性，讓學生再次梳理已學的不同算法，初步感受一致性與階段性的辯證關系（如圖6）。

需要強調的是，分數除法基于計數單位的一致性建構需要經歷一個循序漸進、循環往復、逐步深化的過程。以上四個階段各有側重，但又沒有絕對的界限。它們之間可以根據學生的實際情況靈活調整。

四、結語

綜上所述，一致性和階段性是事物發展所表現出來的普遍規律，它不是簡單的整體一樣，固化標準。其實質就是共性與個性的二元對立統一，即一致性中會展露階段性，一定階段內又可能出現新的一致性。整體來看，本質上又具有一致性。而一致性視角下分數除法運算的教學既不是因循守舊地故步自封，也不是全盤否定地推倒重來。它應該以學生核心素養的形成為旨歸，以解決問題為抓手，基于學生實際，繼承以往教學中注重直觀、通用算法先行等可行經驗，進一步完善推理邏輯體系，豐富一致性框架的內涵，重視課程內容的連續性、整體性和遞進性［10］，幫助學生深刻理解算理，掌握算法，在堅守中逐步實現突圍。以上思考或許還不夠成熟，也可能過于膚淺甚至有失偏頗。之所以冒昧地提出來，是因為目前關于這個話題的討論還不夠豐富和深刻，一線教師十分迷茫。希望經過討論，能更好地促進一致性框架在小學數學教學實踐中落地，從而有效推動學生核心素養的發展。

參考文獻：

［1］趙莉，王春英，史寧中. 分數概念表述和分數除法運算的比較研究及其對教學的啟示［J］. 數學教育學報，2021（3）：46-51.

［2］鞏子坤，史寧中，張丹. 義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性［J］. 課程·教材·教法，2022（6）：45-51，56.

［3］鞏子坤，張希，張丹，等. 基于演繹推理的分數除以整數學習路徑研究［J］. 教學月刊小學版（數學），2022（9）：48-53.

［4］張希，張丹，邵漢民，等. 基于演繹推理的一個數除以分數學習路徑研究［J］. 教學月刊小學版（數學），2022（11）：58-62.

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［7］鄭毓信. 新數學教育哲學［M］. 上海：華東師范大學出版社，2015.

［8］魏光明. 長程設計：關注階段性和一致性［J］. 江蘇教育（小學教學），2014（5）：57-58.

［9］趙莉，吳正憲，史寧中. 小學數學教學數的認識與運算一致性的研究與實踐：以“數與運算”總復習為例［J］. 課程·教材·教法，2022（8）：122-129.

［10］徐偉. 結構化視域下數學有序課堂構建的實踐研究［J］. 中小學課堂教學研究，2023（5）：51-54.