幾何最值中巧用隱形圓解題

付波勇

在初中數學題型中，有一類涉及到動點與最值的幾何題型，題目中并沒有圓，但是動點的運動軌跡形成了圓，從而轉化為與圓有關的最值問題，我們把這種類型稱為最值問題的隱形圓模型。這里對此進行探究，以找出它們共有的特征，總結出解題方法。

實際教學時，教師可先復習圓外一點到圓上的最長距離與最短距離的求解方法。

【復習】已知點P為圓O外一點， 則 P 到圓O 上一點的最小距離和最大距離為______。

解答：連PO并延長，分別交圓于點M′和M，則P到圓 O 上的最小距離和最大距離分別為PM′和PM。

【探究】如圖，邊BC為定值，它所對的角度數不變（也就是定長對定角），那么以BC為邊能畫出幾個這樣的角？

由圓周角定理可知，等弧所對的圓周角相等，能畫出這樣的角有無數個，查看這些頂點A經過的軌跡，得出定長對定角，角的頂點A運動軌跡在以定長BC為弦的圓上。

由此可以得出結論：定長對定角，則定角頂點（動點）的運動軌跡是以定長為弦的圓。如上題ΔABC中，點A的運動軌跡是以BC為弦的圓。

再引導學生嘗試用這個知識點來解決動點與最值問題。

例1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面內的一個動點，且AE⊥BE，則線段CE的最大值為多少？

【分析】AB=4，∠AEB＝90°定長對定角，動點E的運動軌跡是以AB為弦的圓。求CE的最大值，就轉化成了求圓外一點到圓上的最長距離。

【解答】解：∵∠AEB＝90°，

∴點E在以AB為直徑的圓上，如圖所示，設圓心為O，

∵AB＝4，AB是⊙O的直徑，

∴OE＝2，

在Rt△OBC中，OC=[OB2+BC2]=[22+62]=2[10]，

∴連接CO并延長，交⊙O于點E′，則CE′為最大值，

∴CE′＝OE+OC＝2+2[10]，

∴CE的最大值＝2+2[10]．

【小結】找出隱形圓，把求線段的最大值轉換成求圓外一點到圓上的最長距離來解題。

例2.? ? 如圖，邊長為 3 的等邊ΔABC ， D、E 分別為邊 BC、AC 上的點，且∠AP B = 120?， AD、BE交于 P 點，求CP 的最小值為______ 。

【分析】 本題和例1共同點都是定長對定角，所以動點P的運動軌跡也是圓。它們的區別，在于本題中∠APB不是直角，所以定長AB也不是直徑。點P的運動軌跡是以AB為弦，包含120°的圓周角的弧。連接OC交⊙O于N，這樣就轉化成求圓外一點到圓上的最短距離，當點P運動到N點時，CP的值最小。

【解答】解：由垂徑定理可知，圓心O在弦AB的垂直平分線上，如圖，

∵∠APB＝120°，

∴點P的運動軌跡是在以O為圓心，OA為半徑的弧上運動，

此時∠AOB＝120°，∠AOC=[12] ∠AOB= 60°? ? ? OA=[3]，

∵∠ACO＝[12] ∠ACB= 30°

∴∠OAC＝90°

∴OC＝2OA＝2[3]，

連接OC交⊙O于N，當點P運動到與N重合時，CP的值最小，

最小值＝OC-ON＝2[3]-[3]=[3]．

故答案為：[3]。

【小結】定長對定角，可以找出動點的運動軌跡即隱形圓。如果定角不是直角，那么定長就只是圓的弦，需要在弦的垂直平分線是確定圓心。

【方法總結】定長對定角，那么定角頂點（動點）的運動軌跡是以定長為弦的圓，找出隱形圓后，轉化成圓外一點到圓上的最長距離與最短距離來求線段的最值。