例談橢圓中離心率問題的常用二級結論及教學建議

陸艷肖

【摘要】橢圓離心率問題是高考的典型問題之一，需要學生掌握圓錐曲線問題的相關知識點并能夠靈活運用所學知識解決實際問題.本文介紹并證明此類問題的三個常用二級結論，并結合實例運用二級結論解決問題，提出教學建議.

【關鍵詞】橢圓；離心率；高中數學

對于這類題型，常規方法計算會有些繁瑣.而使用一些二級結論，可以省去推導的步驟，是解決橢圓離心率小題的優解優法.本文將著重介紹有關此類問題的三個二級結論，并結合實例探索具體應用情境，歸納總結解題思路，以供參考.

結論1? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點為F1，F2，P是橢圓C上的一點，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，則e=sin（α+β）sinα+sinβ.

證明? 已知F1F2=2c，則應用正弦定理可得

2csin∠F1PF2=PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠PF1F2，

由橢圓的性質可得PF1+PF2=2a，

所以e=ca=F1F2PF1+PF2=sin（α+β）sinα+sinβ.

例1? 已知橢圓C的兩個焦點為F1，F2，P是橢圓C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1= 60°，則橢圓C的離心率為（? ）

（A）1－32.??? （B）2－3.

（C）3－12.? ?（D）3－1.

解析? e=ca=sin（α+β）sinα+sinβ=sin（60°+30°）sin60°+sin30°=132+12=3－1.

結論2? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點為F1，F2，有一過焦點F1，斜率為k的直線與橢圓交于點A，B，且滿足|AF1|=λ|BF1|，則e=1+k2λ－1λ+1.

證明? 設BF1=x，則AF1=λx，

根據橢圓的性質可得AF2=2a－λx，BF2= 2a－x.

因為直線的斜率為k，

所以tan∠AF1F2=k，

得到cos∠AF1F2=1k2+1.

同時cos∠BF1F2=1k2+1，

在△AF1F2，△BF1F2中應用余弦定理可以得到

x=（λ+1）（a2－c2）2λa，

cos∠AF1F2=1k2+1

=λ2x2+4c2－（2a－λx）22·λx·2c=λ－1ca·（λ+1），

從而e=1+k2λ－1λ+1.

例2? 經過橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點F1作傾斜角為60°的直線與橢圓相交于A，B兩點，若|AF1|=2|BF1|，求橢圓C的離心率.

解析? 直線AB的斜率k=tan60°=3，

代入公式可得e=1+k2λ－1λ+1=23.

結論3? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），一直線l與橢圓交于A，B兩點，其中M是線段AB的中點，則kOM·kAB=e2－1.

證明? 設點A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，兩式相減可得到

（x1+x2）（x1－x2）a2+（y1+y2）（y1－y2）b2=0，

轉化后y1－y2x1－x2·y1+y2x1+x2=－b2a2，

kOM=y1+y22x1+x2x=y1+y2x1+x2，

kAB=y1－y2x1－x2，

結合橢圓中a，b，c三者之間的關系可得

－b2a2=－c2－a2a2=e2－1，

則可得到kOM·kAB=e2－1.

例3? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過點M（1，1）作斜率為－12的直線與橢圓相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為.

解析? 因為M（1，1），所以kOM=1，

已知kAB=－12，

則kOM·kAB=－12=e2－1，

由此可得e=22.

教學建議? 在實際教學過程中，教師可以列出一些橢圓離心率問題的例題，先利用常規方法解決題目，在得出答案后，拓展介紹結論并進行證明，最后再利用結論得到答案，最后將其與常規解法的步驟進行對比，比較方法的優劣，并且幫助學生在練習過程中記憶結論.

結語

上述三個結論是在特定情境下求解，在解題時，要關注題目中的關鍵詞，選擇與其對應的二級結論，再代入求值即可.在教學中，要引導學生多去嘗試利用二級結論解題，理解結論的內涵并能夠熟練應用于其他類型的題目中.

參考文獻：

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［2］沈濤.淺談構造法解圓錐曲線中離心率范圍問題［J］.數理化解題研究，2022（19）：44-46.

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