透析試題結構 探尋思維路徑
——一道中考題的解法探究與思考

沈敏輝 馬 飛

(象山縣高塘學校,浙江 寧波 315734)

中考壓軸題通常以結構化數學知識為載體,具有結構優美、解法多樣等典型特征,所以一直以來都是教師研究的主要對象.本文以2021年嘉興市中考數學第9題為例,對其進行結構類型分析、解法探究和反思內化,供讀者參考.

1 試題呈現

如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,點D在AC上,且AD=2,點E是AB上的動點,連結DE.F,G分別是BC和DE的中點,連接AG,FG.當AG=FG時,線段DE長為( ).

圖1 試題示意圖

2 結構分析

2.1 條件分析

由∠BAC=90°,AB=AC=5可知△ABC是等腰直角三角形,并且可求得相關角度和邊長.由AD=2可得到CD=3.因為F,G分別是BC和DE的中點,由中點和直角三角形,可聯想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即AG=DG=GE.由中點和等腰直角三角形,可聯想到等腰三角形“三線合一”性質,連接AF,進而得到AF⊥BC.由條件AG=FG可以考慮AG=DG=GE=GE,進而得到A,D,E,F在以點G為圓心圓上.

2.2 結論分析

一方面,因為A,D,E,F在以點G為圓心的圓上,∠BAC=90°,所以DE是此圓的直徑.根據已知條件可構造全等三角形,從而得出各條線段的長度,然后計算線段DE的長度.在構造全等三角形的基礎上,可以引入“一線三等角”模型.另一方面,根據圖形特征,可以通過設未知數構造方程的方式,將DE的長度表示出來.另外,可考慮建立直角坐標系,利用兩點之間的距離公式,設未知數構造方程,從而解得DE的長度.

3 解法探究

思路1 本題是一道選擇題,故可考慮將四個選項一一代入,觀察得到的結論和條件是否矛盾.

圖2 解法1示意圖

思路2 在直角三角形中,可以通過設未知數的方式將DE表示出來,遇到這類問題通常利用題中的等量關系聯立方程,求出未知數.

思路3 若學生觀察到本題可以分離成多個直角三角形,存在多條線段相等,則通過添加輔助線的方式,構造全等三角形.

圖4 解法3示意圖

圖6 解法5示意圖

思路4 根據等腰直角△DEF角度的特殊性,可以采用構造“一線三等角”的基本圖形.根據圖形的局部特征也可以構造相似三角形,利用相似比求解.

圖8 解法7示意圖

思路5 基于△ABC是等腰直角三角形,可以A點為原點,AB為x軸正方向,AC為y軸正方向建立坐標系,把題目中的等量關系表示出來.

4 解題思考

4.1 篩選試題,包含主干知識

教師在進行中考專題復習時,應該精心挑選涵蓋主干知識、具備多種解法途徑的典型例題,帶領學生一起對這些試題進行深度探究,運用綜合知識和數學方法解決問題,總結類型和反思內化.把典型試題當作發展學生核心素養的有效載體,能全面提高學生符號意識、幾何直觀、空間觀念等核心素養[1].

4.2 分析試題結構,尋找多種解法

在解題過程中,學生之所以出現困難,有一大部分原因是學生沒有進行細致的結構分析.分析題目的結構時,要將題目條件逐一進行適當轉化,并標注在圖形上,相關重要線段的長可以用未知數代替,可以用此未知數表示出與其相關的其他線段的長度,實現代數與幾何的數形結合.

4.3 反思內化,提高核心素養

解題完成后,筆者帶領學生進行解法反思.裴光亞老師說過:“教學生解題,就是教學生猜想,洞察出最后的結果.”學生表示,建立直角坐標系,通過設未知數的方式能夠較快求出結果.最后,學生總結得出了解決線段長度問題的基本思路.