透析試題結(jié)構(gòu) 探尋思維路徑
——一道中考題的解法探究與思考

沈敏輝 馬 飛

(象山縣高塘學校,浙江 寧波 315734)

中考壓軸題通常以結(jié)構(gòu)化數(shù)學知識為載體,具有結(jié)構(gòu)優(yōu)美、解法多樣等典型特征,所以一直以來都是教師研究的主要對象.本文以2021年嘉興市中考數(shù)學第9題為例,對其進行結(jié)構(gòu)類型分析、解法探究和反思內(nèi)化,供讀者參考.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,點D在AC上,且AD=2,點E是AB上的動點,連結(jié)DE.F,G分別是BC和DE的中點,連接AG,FG.當AG=FG時,線段DE長為( ).

圖1 試題示意圖

2 結(jié)構(gòu)分析

2.1 條件分析

由∠BAC=90°,AB=AC=5可知△ABC是等腰直角三角形,并且可求得相關(guān)角度和邊長.由AD=2可得到CD=3.因為F,G分別是BC和DE的中點,由中點和直角三角形,可聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即AG=DG=GE.由中點和等腰直角三角形,可聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”性質(zhì),連接AF,進而得到AF⊥BC.由條件AG=FG可以考慮AG=DG=GE=GE,進而得到A,D,E,F在以點G為圓心圓上.

2.2 結(jié)論分析

一方面,因為A,D,E,F在以點G為圓心的圓上,∠BAC=90°,所以DE是此圓的直徑.根據(jù)已知條件可構(gòu)造全等三角形,從而得出各條線段的長度,然后計算線段DE的長度.在構(gòu)造全等三角形的基礎(chǔ)上,可以引入“一線三等角”模型.另一方面,根據(jù)圖形特征,可以通過設(shè)未知數(shù)構(gòu)造方程的方式,將DE的長度表示出來.另外,可考慮建立直角坐標系,利用兩點之間的距離公式,設(shè)未知數(shù)構(gòu)造方程,從而解得DE的長度.

3 解法探究

思路1 本題是一道選擇題,故可考慮將四個選項一一代入,觀察得到的結(jié)論和條件是否矛盾.

圖2 解法1示意圖

思路2 在直角三角形中,可以通過設(shè)未知數(shù)的方式將DE表示出來,遇到這類問題通常利用題中的等量關(guān)系聯(lián)立方程,求出未知數(shù).

思路3 若學生觀察到本題可以分離成多個直角三角形,存在多條線段相等,則通過添加輔助線的方式,構(gòu)造全等三角形.

圖4 解法3示意圖

圖6 解法5示意圖

思路4 根據(jù)等腰直角△DEF角度的特殊性,可以采用構(gòu)造“一線三等角”的基本圖形.根據(jù)圖形的局部特征也可以構(gòu)造相似三角形,利用相似比求解.

圖8 解法7示意圖

思路5 基于△ABC是等腰直角三角形,可以A點為原點,AB為x軸正方向,AC為y軸正方向建立坐標系,把題目中的等量關(guān)系表示出來.

4 解題思考

4.1 篩選試題,包含主干知識

教師在進行中考專題復(fù)習時,應(yīng)該精心挑選涵蓋主干知識、具備多種解法途徑的典型例題,帶領(lǐng)學生一起對這些試題進行深度探究,運用綜合知識和數(shù)學方法解決問題,總結(jié)類型和反思內(nèi)化.把典型試題當作發(fā)展學生核心素養(yǎng)的有效載體,能全面提高學生符號意識、幾何直觀、空間觀念等核心素養(yǎng)[1].

4.2 分析試題結(jié)構(gòu),尋找多種解法

在解題過程中,學生之所以出現(xiàn)困難,有一大部分原因是學生沒有進行細致的結(jié)構(gòu)分析.分析題目的結(jié)構(gòu)時,要將題目條件逐一進行適當轉(zhuǎn)化,并標注在圖形上,相關(guān)重要線段的長可以用未知數(shù)代替,可以用此未知數(shù)表示出與其相關(guān)的其他線段的長度,實現(xiàn)代數(shù)與幾何的數(shù)形結(jié)合.

4.3 反思內(nèi)化,提高核心素養(yǎng)

解題完成后,筆者帶領(lǐng)學生進行解法反思.裴光亞老師說過:“教學生解題,就是教學生猜想,洞察出最后的結(jié)果.”學生表示,建立直角坐標系,通過設(shè)未知數(shù)的方式能夠較快求出結(jié)果.最后,學生總結(jié)得出了解決線段長度問題的基本思路.