2023年全國乙卷圓錐曲線解法探討與推廣

賀鳳梅 李昌成

(1.鞏留縣高級中學,新疆 伊犁 835400;2.烏魯木齊市第八中學,新疆 烏魯木齊 830002)

直線與圓錐曲線的綜合題一直是高考命題的熱點,也是學生學習的難點,大部分學生對這部分知識的學習有畏懼心理.在學習過程中,他們僅停留在記憶相關概念、結論,或者模仿教材和教師的解題思路,并沒有真正理解概念、結論的意義,也沒有總結圓錐曲線中各種題型的內在關聯,或僅僅流于形式,因此考試時往往只能得一部分基礎分[1].據此,以此次高考試題中圓錐曲線的解答為契機,談談自己的看法,以期拋磚引玉.

1 題目呈現

(1)求C的方程;

(2)過點(-2,3)的直線交C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.

2 總體分析

此題是2023年全國乙卷的解答題第20題,屬于壓軸題.這道圓錐曲線題的第(1)問實屬常規的送分題,而第(2)問落腳點雖然是定點問題,但與平時訓練時見到的題的問法還是有差異.考后筆者了解了一下,在考場上不少考生只是設出直線PQ方程的點斜式,與橢圓方程聯立,但由于計算復雜,沒有學會合理轉化,止步于此了.

其實,直線與圓錐曲線的綜合問題,主要是以位置關系為載體,所以根據題意設直線方程,與圓錐曲線進行聯立,借助根與系數的關系進行轉化求解;同時將問題進行分步拆解,需要設未知量時果斷設未知量以及必要的方程,最終設而不求,成功突破.筆者通過思考、解答與總結,嘗試厘清問題的本質,現分享于此,以饗讀者.

3 試題解答

以下著重探討第(2)問.

視角1常規轉化.

解法1 (直線的斜截式方程聯合求解)

如圖1,易知直線PQ的斜率存在,設其方程為y=kx+m,過點(-2,3),所以m=2k+3.

①

圖1 解法1示意圖

設P(x1,y1),Q(x2,y2),

消y,整理得

(4k2+9)x2+8kmx+4m2-36=0,

△=64k2m2-4(4k2+9)(4m2-36)>0,

即m2<4k2+9.

由根與系數的關系,得

②

y1=kx1+m,y2=kx2+m.

③

聯合③整理,得

將②代入,繼續化簡整理得

由①可得m-2k=3.

所以線段MN中點為定點(0,3)[2].

解法2 (直線的點斜式方程聯合求解)

設直線PQ方程為y-3=k(x+2),

即y=kx+(2k+3).

(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+4(2k+3)2-36=0.

④

不妨設直線AM為y=k1(x+2),令x=0,則y=2k1,所以點M(0,2k1).

同理N(0,2k2).

故線段中點坐標為N(0,k1+k2).

將④代入整理,得

所以線段MN中點為定點(0,3).

評注以上兩種解法大同小異,解法1設直線PQ的斜截式方程,將點(-2,3)代入,明確數量關系m=2k+3;同時與橢圓方程進行聯立,設點的坐標,根據韋達定理得出兩根之和與兩根之積待用.接著進行下一步轉化,結合條件設法將點M的坐標表示出來,再利用同一法表示點N的坐標,進而表示出MN中點的坐標.此時,隨著問題的分步求解,發現本質上就是求兩直線AP與AQ的斜率之和為定值.分式進行通分,非對稱性轉化為對稱性,代入韋達定理的式子化簡等都屬于常規操作.因此,解決問題的關鍵還是在于我們拿到試題后進行思考、分析、整合,將未知轉化為已知,將陌生轉化為熟悉,這也是當前新課改后國家選拔人才的要求.解法2只是設直線方程不同,求解路徑稍有不同,進行部分分離變量后,式子更簡單明了,這也需要通過一定的訓練才能達到熟能生巧,靈活變通,不再贅述.

視角2齊次化轉化.

解法3(平移齊次化求解)

將圖象整體向右平移兩個單位,則點(-2,3)平移至(0,3),點A(-2,0)平移至(0,0).

相應直線PQ的方程可設為

y=kx+3,

將平移后的橢圓化簡整理,得

4y2+9x2-36x=0.

齊次化,得

進一步整理得

從而平移后線段MN中點坐標為(2,3).

故線段MN中點為定點(0,3),得證[3].

解法4(配湊齊次化求解)

將4y2+9x2-36=0進行配湊得

4y2+9(x+2)2-36(x+2)=0.

與直線y=k(x+2)+3聯立并整理,得

4y2+(9k+12)(x+2)2-12y(x+2)=0.

故線段MN中點為定點(0,3),得證.

評注解法3是將點A平移至坐標原點,其余點與直線、橢圓均移至相應的位置,通過齊次化轉化,大大減少了運算量.不過此法建議給學習程度好、學有余力的同學嘗試,一定要講清原理,平移前與平移后的關系,再輔以適當的練習加以鞏固,這樣才能收到成效.解法4則是通過構造法整體處理,同樣需要老師給學生講清原理,感興趣的同仁不妨一試!

視角3 向量法.

解法5(設線求點及向量共線求解)

設直線AM:y=m(x+2),AN:y=n(x+2),則M(0,2m),N(0,2n),線段MN中點坐標為(0,m+n),即證m+n為定值.

設P(x1,y1),Q(x2,y2),

(4m2+9)x2+16m2x+16m2-36=0.

易得12m-4m2-9=12n-4n2-9.

又m≠n,所以m+n=3.

故線段MN中點為定點(0,3),得證.

視角4曲線系.

解法6 (借助曲線系巧妙消元代點求解)

結合解法5,經過三點的二次曲線為

[y-m(x+2)][y-n(x+2)]=0.

即y2-(m+n)(x+2)y+mn(x+2)2=0.

消去y2,得

顯然x≠-2,所以

即PQ的直線方程過點(-2,3),

代入整理并求解得m+n=3.

故線段MN中點為定點(0,3),得證.

評注曲線系在課本上有涉及,只是平時使用較少,所以大家并不熟悉,從以上解答來看,若能理解、掌握并應用到解題中去,確實有不一樣的效果,大家可以根據需要選擇!

4 嘗試推廣

此題的出題背景本質上就是極點極線,可以推廣得到以下兩個結論.

以上是焦點在y軸上的橢圓的一般結論,對于焦點在x軸上的橢圓的一般結論,大家可以參照得出,不再贅述.

5 試題鏈接

(1)求E的方程;

簡析該題中的同一法求解是本次真題中所用到的方法,包括直線過定點問題.只是設置的問題情境不盡相同.因此,在平時的學習及高考復習備考中,我們一定要關注和積累一些通性通法,所謂萬變不離其宗,很多試題均可以追本溯源,不管在知識上還是方法上,都有異曲同工之妙!

簡析該題是比較典型的已知斜率之和為定值,證明直線過定點問題,可以利用文中的常規方法求解,也可以利用平移齊次化或構造齊次化求解.相信大家只要學會整合與反思,一定能有收獲!

6 結束語

高中圓錐曲線的試題對學生思維能力及計算能力的要求都很高,教師在教學時要把握好重、難點,循序漸進,保證學生在夯實基礎的前提下,逐步提高難度.教學過程中,建議結合學生的學情來規劃教學的進度和難易程度,耐心細致地解答學生提出的問題及計算中的盲點及卡點.同時還需要有意識地培養學生的數形結合的能力,從而穩步提高圓錐曲線的教學效率.

命題專家指出,根據《普通高中數學課程標準(2017年版)》的要求,今年高考數學全國卷全面考查考生的數學核心素養,充分體現基礎性、應用性以及創新性的考查要求,突出理性思維,發揮數學學科在人才選拔中的重要作用.在全面推行素質教育的今天,新一輪國家教育課程改革之際,對新教材、學生新的學習方式的研究與探討顯得尤為重要.只有充分發揮青年一代的數學素養,才能提高全民素質,造就新一代的高質量新型人才!